夏 嫦

(成都文理學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 四川 成都 610400)

完備Brouwerian格上@-Fuzzy關(guān)系方程有唯一解的判別法

夏 嫦

(成都文理學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 四川 成都 610400)

在完備Brouwerian格上討論了@-Fuzzy(其中@表示inf-α合成)關(guān)系方程有唯一解的問(wèn)題，首先定義了@-Fuzzy關(guān)系方程的特征矩陣，然后利用特征矩陣給出了方程有唯一解的判別法.

完備Brouwerian格； 交既約元； @-Fuzzy關(guān)系方程； 極大解； 唯一解

自從1976年E. Sanchez[1]介紹了max-min合成Fuzzy關(guān)系方程的理論后,許多研究工作者進(jìn)一步擴(kuò)大了此理論的研究，如文獻(xiàn)[2-7]． 1985年，A. Di Nola等[8]引入了@-Fuzzy關(guān)系方程并找到了方程的最小解，得到了@-Fuzzy關(guān)系方程有解的一個(gè)充要條件，即一個(gè)@-Fuzzy關(guān)系方程有解當(dāng)且僅當(dāng)方程有最小解．1989年，A. Di Nola等[9]在線性格上討論了@-Fuzzy關(guān)系方程并構(gòu)造出其極大解．人們發(fā)現(xiàn)定義在完備Brouwerian格上的@-Fuzzy關(guān)系方程的解集通常是一交半格,解集是由一個(gè)個(gè)區(qū)間構(gòu)成的[9]．因此，如果能夠證明對(duì)@-Fuzzy關(guān)系方程的每個(gè)解至少存在一個(gè)大于或等于它的極大解，且這樣的極大解只有有限個(gè)，那么方程的整個(gè)解集就可以確定．因此，圍繞定義在完備Brouwerian格上的@-Fuzzy關(guān)系方程的解集中的每個(gè)解是否存在一個(gè)大于或等于它的極大解問(wèn)題，研究者們做了大量的工作[10]．模糊關(guān)系方程的極小(大)解的求解問(wèn)題與矩陣的覆蓋問(wèn)題密切相關(guān)[11],熊清泉[12]討論了[0,1]格上inf-IT合成模糊關(guān)系方程極大解與特征矩陣的覆蓋問(wèn)題的關(guān)系，并通過(guò)特征矩陣的覆蓋問(wèn)題獲得方程有唯一(極大)解的充要條件．之前的討論多集中在[0,1]格上，本文在完備Brouwerian格上討論@-Fuzzy關(guān)系方程有唯一解的判別問(wèn)題.

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)A=(aij)I×J為完備Brouwerian格上的矩陣,B=(bi)i∈I為完備Brouwerian格上的一列常向量，X=(xj)j∈J為取值于完備Brouwerian格上的一未知向量，I、J為有限集，則稱

A@X=B,

(1)

即

為@-Fuzzy有限關(guān)系方程，其中,“@”表示inf-α合成．

本文研究方程(1)有唯一解的判別方法，并記

χ*={x∈χ:x是χ的極大元}.

定義1.1[11]設(shè)(P,≤)為一個(gè)偏序集且X?P，如果p∈X，不存在x∈X使得xgt;p，則稱p為X的極大元.

注1.1由定義1.1，x*∈χ是χ的極大元當(dāng)且僅當(dāng)?x∈χ，x≥x*蘊(yùn)含x=x*.

定義1.2設(shè)A=(aij)n×m,B=(bij)m×k，定義A⊙B=(dij)n×k如下：

定義1.3[13]設(shè)L為格，任取x,y,b∈L，如果b=x∧y蘊(yùn)含x=b或x=a，則稱b為格L的交既約元.

引理1.1[14]設(shè)L為完備Brouwerian格，?a,b∈L,aαb≥b.

引理1.2[10]aαx=b有解當(dāng)且僅當(dāng)a∧b是解.進(jìn)一步，當(dāng)aαx=b有解時(shí)，x∈[a∧b,b].

引理1.3[9]χ≠?當(dāng)且僅當(dāng)AT⊙B∈χ.進(jìn)一步，AT⊙B是方程(1)的最小解.

以下均假設(shè)?i∈I,bi為交既約元.

引理1.4如果x=(xj)j∈J∈χ當(dāng)且僅當(dāng)?i∈I,j∈J，有aijαxj≤bi，并且對(duì)每一個(gè)i∈I，存在j∈J使得aijαxj=bi.

證明由于?i∈I,bi為交既約元，結(jié)論顯然成立.

2 解的唯一性

定義2.1對(duì)于方程(1)的最小解x*=(xj*)j∈J，方程(1)的特征矩陣Q=(qij)I×J定義如下：

?i∈I,j∈J.

(2)

特征矩陣Q中的每個(gè)元qij中的值xj∈[xj*,bi]滿足aijαxj*=bi.

由引理1.4和定義2.1容易得到以下定理.

定理2.1χ≠?當(dāng)且僅當(dāng)Q的每一行都不全是空集.

證明必要性 設(shè)χ≠?，則方程有最小解x*，由引理1.4知?i∈I,存在j∈J使aijαxj*=bi,則由定義2.1知qij=[xj*,bi],即qij≠?，故Q的每一行都不全是空集.

充分性 設(shè)Q的每一行都不全是空集，則?i∈I,存在j0∈J，使qij0=[xj0*,bi]≠?，且aij0αxj0*=bi，令y=(yj)j∈J滿足：

則y∈χ，即χ≠?.

例2.1設(shè)格L=([0,1]2,∨,∧),任取〈c1,c2〉,〈d1,d2〉∈L,定義〈c1,c2〉≤〈d1,d2〉當(dāng)且僅當(dāng)c1≤d1,c2≤d2；

〈c1,c2〉∧〈d1,d2〉=〈c1∧c2,d1∧d2〉,
〈c1,c2〉∨〈d1,d2〉=〈c1∨c2,d1∨d2〉,
〈c1,c2〉α〈d1,d2〉=〈c1αc2,d1αd2〉.

任取e,f∈L，記[e,f]={x∈L:elt;xlt;f}.考慮方程A@X=B,其中

b1=〈1,0.4〉,b2=〈0.4,1〉均為交既約元.該方程有解，且最小解為

因此特征矩陣為

Q=

(3)

定義2.2若對(duì)所有的j∈J，都有qi2j?qi1j，則說(shuō)Q的第i1行控制第i2行.易知，若Q的第i1行控制第i2行,則bi2≤bi1.由引理2.1可知，若Q的一個(gè)行控制了其他一個(gè)或幾個(gè)不全為0的行，則該行可被排除掉.

定義2.3?j∈J,若存在i∈I，使qij是Q的第i行唯一一個(gè)非空集，則稱j在核ker(Q)中，即j∈ker(Q)={j∈J|qij為Q的第i行的唯一一個(gè)非空集}.

對(duì)?j∈J，設(shè)Mj={i∈I|qij為Q的第i行的唯一一個(gè)非空集}，顯然Mj≠?當(dāng)且僅當(dāng)j∈ker(Q).?j∈J，設(shè)

(4)

推論2.1設(shè)χ≠?，則(1)式有唯一極大解當(dāng)且僅當(dāng)?j∈J,j∈ker(Q).

而且，(1)式有唯一解當(dāng)且僅當(dāng)?j∈J,j∈ker(Q).

由定理2.1和推論2.2容易得到下面定理：

定理2.3設(shè)χ≠?，則Q的每一行恰有一個(gè)非空元素且每個(gè)非空元素為單點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)(1)式的解唯一.

例2.2設(shè)L為例2.1中定義的格，考慮方程A@X=B,其中

b1=〈0.3,1〉,b2=〈0.4,1〉均為交既約元.該方程有解，且最小解為

因此特征矩陣為

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2010MSC:03E72； 06D72； 08A72

(編輯 周 俊)

The Determinant Method That @-Fuzzy Relational Equation on Complete Brouwerian Lattices Has a Unique Solution

XIA Chang

(CollegeofMathematicsandStatistics,ChengduCollegeofArtsandSciences,Chengdu610400,Sichuan)

In this paper we study the unique solution problem for the @-fuzzy relational equation on complete Brouwerian Lattices, where @ denotes inf-αcomposition. We firstly define a characteristic matrix of the @-fuzzy relational equation and then use it to give a criteria for the existence of the unique solution of the equation.

complete Brouwerian lattices; meet irreducible element; @-fuzzy relational equation; maximmal solution; unique solution

O159

A

1001-8395(2017)06-0787-04

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.06.013

2017-01-10

國(guó)家自然科學(xué)基金(61273242)

夏 嫦(1981—)，女，講師,主要從事格上關(guān)系方程的研究，E-mail：028xiachang@163.com