蒲 浩， 黃建文， 趙愛亮， 劉衍民

(1. 遵義師范學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院, 貴州 遵義 563006; 2. 西南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 重慶 400715)

具有非線性脈沖效應(yīng)和反應(yīng)擴(kuò)散項(xiàng)的Cohen-Grossberg型模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的指數(shù)同步

蒲 浩1， 黃建文2， 趙愛亮1， 劉衍民1

(1. 遵義師范學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院, 貴州 遵義 563006; 2. 西南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 重慶 400715)

研究了具有非線性脈沖效應(yīng)和反應(yīng)擴(kuò)散項(xiàng)的Cohen-Grossberg型模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的指數(shù)同步,通過Lyapunov穩(wěn)定性理論和不等式技巧,利用p-范數(shù)得到了新的指數(shù)同步的充分條件.

模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò); 非線性脈沖效應(yīng); Cohen-Grossberg型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò); 反應(yīng)擴(kuò)散項(xiàng); 混合時(shí)滯;p-范數(shù)

自從1983年M. A. Cohen和S. Grossberg[1]首次提出Cohen-Grossberg型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型以來,引起了許多學(xué)者對Cohen-Grossberg型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型同步的廣泛研究,得到了很多有用的不同類型的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型同步的理論[2-6].這些理論不僅在很多理論研究中有著重要應(yīng)用,而且還被廣泛的應(yīng)用到生產(chǎn)實(shí)踐中.例如,聯(lián)想記憶、安全通信和人工智能系統(tǒng).

對于自然界中的一個(gè)實(shí)際的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),要實(shí)現(xiàn)信號傳遞的同步,不可避免的受到來自系統(tǒng)自身因素和外界因素的影響,比如信號在不同的神經(jīng)元之間的傳遞過程中,由于信號傳遞的速度是有限的,從而引起信號在不同神經(jīng)元之間傳遞過程中有滯后現(xiàn)象出現(xiàn)[7];由于電子在一個(gè)非均勻的電磁場運(yùn)動(dòng)時(shí),不可避免的在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中會(huì)出現(xiàn)擴(kuò)散現(xiàn)象[8-9];信號在不同的神經(jīng)元之間傳遞時(shí),不可避免的要受到外界的干擾,出現(xiàn)信號的短暫振動(dòng)現(xiàn)象[10].

1 模型和預(yù)備知識

考慮如下的具有非線性脈沖效應(yīng)和反應(yīng)擴(kuò)散項(xiàng)的Cohen-Grossberg型模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

(1)

其中i∈I={1,2,…,n},Z+={1,2,…};x=(x1,x2,…,xm)T∈Ω?Rm,Ω={(x1,x2,…,xm)T||xl|lt;ll,l∈M={1,2,…,m}}在空間Rm上是一個(gè)有光滑邊界Ω的有界緊集且mesΩgt;0;∧和∨分別表示模糊“與”,模糊“或”算子;Ii表示對第i個(gè)神經(jīng)元的偏斜輸入量;fj(·)和gj(·)分別表示在t時(shí)刻對空間位置x處的第j個(gè)神經(jīng)原的激活函數(shù);ui(t,x)表示第i個(gè)神經(jīng)元在t時(shí)刻和空間位置x處的狀態(tài)變量;0≤τj(t)≤τj表示t時(shí)刻不同的神經(jīng)元之間信號的轉(zhuǎn)換時(shí)滯,σjgt;0表示對第j個(gè)神經(jīng)元的離散擾動(dòng)時(shí)滯;bij、cij、ωij都是常數(shù)且常數(shù)qilgt;0,τj≤σj,j∈I;脈沖時(shí)刻tk∈{tk|0≤tk-1lt;tk,k∈Z+}且

和

pik(u)=pik(u1,u2,…,un)∈[Rn,R]

表示tk時(shí)刻第i個(gè)單元的非線性脈沖擾動(dòng)函數(shù).

對應(yīng)于系統(tǒng)(1)的初值條件為

ui(s,x)=φi(s,x),

(s,x)∈[-r,0]×Ω,i∈I,

ui(t,x)=0,

(t,x)∈[-r,+∞)×?Ω,i∈I,

(2)

其中

φ(s,x)=(φ1(s,x),φ2(s,x),…,φn(s,x))T∈

C=([-r,0]×Ω,Rn)

指的是把[-r,0]×Ω映射到Rn上的所有連續(xù)函數(shù)，組成的一個(gè)具有p-范數(shù)的Banach空間(p≥1是一個(gè)正整數(shù)),其中p-范數(shù)在本文中定義形式為

對于系統(tǒng)(1),假設(shè):

|fj(vj)-fj(uj)|≤Lj|vj-uj|,

|gj(vj)-gj(uj)|≤Nj|vj-uj|,

對任意的uj,vj∈R,j∈I成立;

(H2) 對任意i∈I,存在一個(gè)常數(shù)γigt;0,使得

(4)

對任意的ui,vi∈R且ui≠vi成立;

|hi(vi)-hi(ui)|≤Fi|vi-ui|

對任意的i∈I,ui,vi∈R成立.

把系統(tǒng)(1)作為主驅(qū)動(dòng)系統(tǒng).為了同步,引入如下的響應(yīng)系統(tǒng)

(5)

其中Ki(t)表示的是如下的外部輸入控制

(6)

每一個(gè)kij(i∈I)是一個(gè)常數(shù)叫做控制收益.

響應(yīng)系統(tǒng)(5)的初值條件是

vi(s,x)=φi(s,x),
(s,x)∈[-r,0]×Ω,i∈I,
vi(t,x)=0,
(t,x)∈[-r,+∞)×?Ω,i∈I,

其中

φ(s,x)=(φ1(s,x),φ2(s,x),…,φn(s,x))T∈

C([-r,0]×Ω,Rn).

定義同步誤差為

ei(t,x)=vi(t,x)-ui(t,x),i∈I.

由系統(tǒng)(1)和(5),可以得到如下誤差系統(tǒng)

(7)

定義1如果存在常數(shù)M≥1使得

(8)

就稱驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(1)和響應(yīng)系統(tǒng)(5)是全局指數(shù)同步的,其中范數(shù)定義為

和

v(t,x)=(v1(t,x),v2(t,x),…,vn(t,x))T

是驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(1)和響應(yīng)系統(tǒng)(5)滿足初值條件φ,φ∈C([-r,0]×Ω,Rn)的解.

2 幾個(gè)引理

引理1[14]假設(shè)ui、vi是系統(tǒng)(1)和(5)中的2個(gè)狀態(tài)變量，則有

對任意的bij、cij及i,j∈I成立.

對任意的uj∈R,j∈I成立.

記

(9)

則下式成立:

(10)

為了方便,記

(11)

(13)

(14)

(H5) 假設(shè)λi-αi-βi-digt;0對任意的i∈I成立.

為了證明結(jié)論,構(gòu)造一個(gè)以εi為變量的一元函數(shù)

由假設(shè)(H5)知Fi(0)gt;0.

因此,關(guān)于εi的方程

λi-αi-βieεiσi-dieεiσi-εi=0,i∈I

由引理2知,不等式

(15)

(16)

(17)

成立.

引理3[16]若p≥2是一個(gè)正整數(shù),ll(l∈M)是一個(gè)正常數(shù),Ω={(x1,…,xm)T||xl|lt;ll,l∈M},d(x)是一個(gè)實(shí)值函數(shù)且d(x)∈C1(Ω),同時(shí)d(x)|?Ω=0,則有

為了后面證明結(jié)論的需要，結(jié)合邊界條件(2)和引理3,有如下式子成立:

x.(18)

為了得到文章的主要結(jié)論,給出下面幾個(gè)假設(shè)

對任意的(u1,u2,…,un)∈Rn,(v1,v2,…,vn)∈Rn,i∈I和k∈Z+成立.

(H8) 存在一個(gè)常數(shù)α≥0使得

3 主要結(jié)果

定理1如果(H1)～(H8)都成立,則驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(1)和響應(yīng)系統(tǒng)(5)是全局指數(shù)同步的.

證明構(gòu)造如下形式的Lyapunov函數(shù)

(19)

其中

zi(t,x)=μieε*t|ei(t,x)|p,i=1,2,…,n.

當(dāng)t≠tk時(shí),結(jié)合(7)式，利用引理1～3所得的結(jié)論(9)～(18)及假設(shè)(H1)～(H6),對V(t,x)關(guān)于t計(jì)算Dini右上導(dǎo)數(shù),可以得到下面的式子

|ej(t-τj(t),x)||ei(t,x)|p-1+

(20)

定義

(21)

根據(jù)(19)和(20)式有

(22)

根據(jù)(19)和假設(shè)(H7),對k∈Z+,

(24)

由(22)和(23)式有

(25)

對任意的t∈(tk-1,tk],k∈Z+,其中δ0=1.由假設(shè)(H8)可知，δk≤eα(tk-tk-1),k∈Z+.

由上式可得下列結(jié)果

z(t,x)≤eα(t1-t0)eα(t2-t1)…×

eα(tk-1-tk-2)V(0,x)≤eαtV(0,x)

對任意的t∈(tk-1,tk],k∈Z+成立.

當(dāng)t=0時(shí),

(26)

由(25)式可得

z(t,x)≤eαtV(0,x),

(27)

從而

(28)

其中

說明系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(5)是指數(shù)同步的.

4 推論

推論1如果假設(shè)(H1)～(H4)及(H6)都成立,同時(shí)

則驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(1)和響應(yīng)系統(tǒng)(5)是全局指數(shù)同步的.

如果在驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(1)和響應(yīng)系統(tǒng)(5)中反應(yīng)擴(kuò)散項(xiàng)中的qil=0時(shí),根據(jù)本文中的定理1,有下列結(jié)論成立.

推論2如果(H1)～(H4)及(H6)～(H8)成立,同時(shí)

則驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(1)和響應(yīng)系統(tǒng)(5)是全局指數(shù)同步的.

注2當(dāng)有式子

時(shí),

更容易成立,通過此式可以發(fā)現(xiàn)一個(gè)有趣的現(xiàn)象,神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中有反應(yīng)擴(kuò)散項(xiàng)比沒有反應(yīng)擴(kuò)散項(xiàng)容易實(shí)現(xiàn)同步.

[1] COHEN M A, GROSSBERG S. Absolute stability of global pattern formation and parallel memory storage by competitive neural networks[J]. IEEE Trans Syst, Man and Cybernetics,1983,13(5):815-826.

[2] YU J, HU C, JIANG H J, et al. Exponential synchronization of Cohen-Grossberg neural networks via periodically intermittent control[J]. Neurocomputing,2011,74(10):1776-1782.

[3] YANG X S, CAO J D, YU W W. Exponential synchronization of memristive Cohen-Grossberg neural networks with mixed delays[J]. Cognitive Neurodynamics,2014,8(3):239-249.

[4] GAN Q T. Exponential synchronization of stochastic Cohen-Grossberg neural networks with mixed time-varying delays and reaction-diffusion via periodically intermittent control[J]. Neural Networks,2012,31:12-21.

[5] CHEN Z, YANG H. Complete synchronization for impulsive Cohen-Grossberg neural networks with delay under noise perturbation[J]. Chaos, Solitions amp; Fractals,2009,42(3):1664-1669.

[6] LI T, SONG A G, FEI S M. Synchronization control for arrys of coupled discrete-time delayed Cohen-Grossberg neural networks[J]. Neurocomputing,2010,74(1):197-204.

[7] YAN P, LYU T. Exponential synchronization of fuzzy cellular neural networks with mixed delayed and general boundary conditions[J]. Commum Nonlinear Sci Numer Simulat,2012,17(2):1003-1011.

[8] LI J M, ZHANG W Y, CHEN M L. Synchroization of delay reaction-diffusion neural networks via an adaptive learing control approach[J]. Comput Math Appl,2013,65(11):1775-1785.

[9] JING K. Exponential stability of FCNNs with time-varying leakage delays and reaction-diffusion terms[J]. Neurocomputing,2014,145(12):363-368.

[10] LONG S J, SONG Q K, WANG X H, et al. Stability analysis of fuzzy cellular neural networks with time delay in the leakage term and impulsive perturbations[J]. J Franklin Inst,2012,349(7):2461-2479.

[11] FENG X M, ZHANG F Q, WANG W J. Global exponential synchronization of delayed fuzzy cellular neural networks with impulsive effects[J]. Chaos, Solitons Fractals,2011,44(1/2/3):9-16.

[12] DING W. Synchronization of delayed fuzzy cellular neural networks with impulsive effects[J]. Commun Nolinear Sci Numer Simulat,2009,14(11):3945-3952.

[13] SHENG L, YANG H Z. Exponential synchronization of a class of neural networks with mixed time-varying delays and impulsive effects[J]. Neurocomputing,2008,71(16/17/18):3666-3674.

[14] YU J, HU C, JIANG H J, et al. Exponential lag synchronization for delayed fuzzy cellular neural networks via periodically intermittent control[J]. Math Comput Simul,2012,82(5):895-908.

[15] GAN Q T. Exponential synchronization of stochastic fuzzy cellular neural networks with reaction-diffusion terms via periodically intermittent control[J]. Neural Process Lett,2013,37(3):393-410.

[16] HU C, YU J, JIANG H J, et al. Exponential synchronization for reaction-diffusion networks with mixed delays in terms ofp-norm via intermittent driving[J]. Neural Networks,2012,31(12):1-11.

2010MSC:82C32

(編輯 周 俊)

Exponential Synchronization for Cohen-Grossberg Fuzzy Neural Networks with Nonlinear Impulsive Effects and Reaction-Diffusion Terms

PU Hao1, HUANG Jianwen2, ZHAO Ailiang1, LIU Yanmin1

(1.SchoolofMathematics,ZunyiNormalCollege,Zunyi563006,Guizhou;2.SchoolofMathematicsandStatistics,SouthwestUniversity,Chongqing400715)

In this paper, we study the exponential synchronization for Cohen-Grossberg fuzzy neural networks with nonlinear impulsive effects and reaction-diffusion terms. By the Lyapunov functinoal method and some inequality techniques, some new and useful sufficient conditions on the exponential synchronization are obtained from ap-norm.

fuzzy neural networks; nonlinear impulsive effect; Cohen-Grossberg neural networks; reaction-diffusion terms; mixed delays;p-norm

O175.1

A

1001-8395(2017)06-0772-08

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.06.011

2016-04-01

國家自然科學(xué)基金(71461027)和貴州省科技計(jì)劃課題(黔科合LH字[2015]7053號、[2015]7001號和[2015]7007號)

蒲 浩(1986—),男,講師,主要從事神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步的研究,E-mail:puhao2100@163.com