厲曈曈，梁偉，安晨，段夢蘭

1 中國石油大學(北京)海洋工程研究院，北京 102249 2 中國石油大學(北京)機械與儲運工程學院，北京 102249

變截面深水鉆井隔水管系統(tǒng)渦激振動模型及其解法

厲曈曈1,2，梁偉2，安晨1*，段夢蘭1

1 中國石油大學(北京)海洋工程研究院，北京 102249 2 中國石油大學(北京)機械與儲運工程學院，北京 102249

現(xiàn)有深水隔水管渦激振動模型都以等截面圓柱體為假設(shè)推導得出，但是實際隔水管系統(tǒng)的截面隨著水深而變化，因此只有建立隔水管系統(tǒng)水深方向截面變化的渦激振動模型，才能更加準確地反映隔水管系統(tǒng)的動力特性。本文將渦激振動模型與尾流振子非線性模型結(jié)合，建立了變截面深水鉆井隔水管系統(tǒng)渦激振動模型，并提出一種快速、精確的基于廣義積分變換法(GITT)的任意變截面鉆井隔水管系統(tǒng)動力學行為的半解析預測方法。文中以3 000 m超深水隔水管系統(tǒng)為例，驗證了新建立模型以及解法的正確性和有效性，對不同海流速度下的變截面深水鉆井隔水管進行時域分析和頻域分析。當隔水管系統(tǒng)隨水深方向的截面發(fā)生變化時，會造成系統(tǒng)在響應幅值、振動頻率以及鎖頻區(qū)域等方面的明顯差異。本文研究結(jié)果對正確認識和預測深水隔水管系統(tǒng)動力特性，指導超深水鉆井隔水管系統(tǒng)結(jié)構(gòu)設(shè)計，確保深水鉆井的安全操作都具有重要的意義。

變截面；隔水管；渦激振動；積分變換；流固耦合

0 引言

隔水管系統(tǒng)是連接海底井口與海上鉆井平臺的關(guān)鍵部件，主要功能包括隔絕海水、提供鉆井液的循環(huán)通道、引導鉆具進入海底地層、下放或回收防噴器組等。隨著世界油氣工業(yè)的重心向深水、超深水轉(zhuǎn)移，隔水管系統(tǒng)已成為深水油氣開采的重要鉆采裝備之一。目前世界深水鉆井記錄為3 052 m，該記錄由Transocean創(chuàng)造[1]。與此同時，我國油氣田開發(fā)也已全面向深水以及超深水發(fā)展。深海環(huán)境復雜多變，致使隔水管系統(tǒng)面臨更為嚴峻的挑戰(zhàn)。在海流、波浪以及平臺漂移的作用下，隔水管由于尾流旋渦釋放而產(chǎn)生振動，進而可能引起結(jié)構(gòu)的疲勞失效。國內(nèi)外學者針對渦激振動問題已開展了大量的理論、數(shù)值以及實驗研究[2-8]。

針對隔水管的渦激振動問題，Burke[9]首先建立了數(shù)學模型對隔水管系統(tǒng)進行靜力和動力分析，研究了海流以及船體運動對隔水管動力行為的影響。Simmonds[10]運用有限差分法對隔水管模型進行動力學分析，結(jié)果與API的試驗數(shù)據(jù)較為吻合。Vandiver[11]等人針對深水隔水管渦激振動問題開發(fā)了SHEAR7半理論渦激振動分析程序，并得到廣泛應用。Irani[12]等人將管內(nèi)流體以附加質(zhì)量的形式應用到隔水管動力響應分析中，發(fā)現(xiàn)內(nèi)流的存在將導致結(jié)構(gòu)剛度下降。國內(nèi)學者也已在隔水管渦激振動響應方面獲得較多的研究成果。石曉兵和陳平[13]考慮了隔水管小應變大變形的特點，運用有限元方法分析三維載荷對鉆井隔水管動力特性的影響。李軍強[14]等人考慮了隨機波浪力對隔水管動力特性的作用，同時研究了風速對其橫向振動的影響，發(fā)現(xiàn)當風度較大時，忽略其影響將造成結(jié)果的較大誤差。唐友剛[15]等人開展了深水立管參數(shù)-渦激聯(lián)合振動試驗，分析了立管在渦激振動和平臺垂蕩共同作用下的動力特性，總結(jié)了海流速度、船體運動對隔水管振動幅值以及鎖頻區(qū)域的影響規(guī)律。

在工程實際中，由于隔水管頂部需要承受巨大的頂部張緊集中力，同時底部也承受著巨大的海水壓力，因而在整個隔水管系統(tǒng)中，頂部和底部隔水管單根往往具有比中間管段更大的壁厚?，F(xiàn)有深水隔水管渦激振動模型僅考慮等截面隔水管，而工程實際中隔水管系統(tǒng)的截面并非均勻不變。已有學者意識到，截面變化對隔水管系統(tǒng)動力特性的影響是研究的難點之一，針對這個問題展開的相關(guān)研究尚不完善[16]。對于變截面梁結(jié)構(gòu)，由于數(shù)學上的困難，尚無求得統(tǒng)一解析解的方法，在研究中只能根據(jù)具體情況加以求解[17]。即使一個變截面結(jié)構(gòu)十分簡單，也需要采取一定程度的近似，求解精度不高[18]。本文利用廣義積分變換法(GITT)求解變截面鉆井隔水管渦激振動問題，該方法為一種半數(shù)值半解析方法，是解決傳熱、流體力學問題的經(jīng)典方法，目前其應用范圍已延伸至結(jié)構(gòu)力學[19-21]以及流固耦合范疇。文獻[22-26]采用GITT法分別針對單向流海底管道懸跨段及海洋立管、氣液兩相流輸運管道及氣液混輸管道流固耦合和渦激振動問題展開研究，但僅考慮了等截面管道。該方法的最大優(yōu)勢是自動控制全局誤差，通過積分變換，可以將高階偏微分方程變換為低階常微分方程組，計算準確、快速。本文結(jié)合尾流振子模型[27]，建立了變截面深水鉆井隔水管系統(tǒng)渦激振動模型，提出了基于GITT的變截面鉆井隔水管系統(tǒng)動力行為的預測方法，該模型適用于任意變截面深水鉆井隔水管系統(tǒng)。本文以Cameron公司3 000 m超深水隔水管系統(tǒng)為例，討論了變截面深水鉆井隔水管在不同海流速度下的動力特性。

1 變截面深水鉆井隔水管系統(tǒng)渦激振動模型

深水鉆井隔水管是一種大長徑比的圓柱體，其長徑比一般都在5 000:1以上，是典型的細長管結(jié)構(gòu)。設(shè)坐標原點位于隔水管底端，對于長度為L、軸線和橫向振動方向分別為x和z方向的等截面隔水管，其在渦激振動作用下的橫向運動方程為：

該模型采用van der Pol非線性振子方程描述橫流向旋渦的脫落特性，根據(jù)Facchinetti關(guān)于尾流振子耦合項的討論，當耦合項為加速度時，計算結(jié)果與實驗結(jié)果更為吻合[27]。同時，該模型忽略剪切流和波浪的作用，假設(shè)外流速度恒定，內(nèi)流流速為零，不計內(nèi)壓。

式中z為結(jié)構(gòu)的橫向位移，m，它是軸向坐標x和時間t的函數(shù)；x為結(jié)構(gòu)的軸向坐標，m；t為時間，s；EI為抗彎剛度，Nm2；T為頂張力，N；Ae為外截面面積，m2；D為管道外徑，m；C為結(jié)構(gòu)阻尼rs和流體附加阻尼rf之和，N/(m2/s)；M為單位長度隔水管及內(nèi)含液體質(zhì)量mr+mi與外流附加質(zhì)量me之和，kg/m；V為外流流速，m/s；ρe為海水密度，kg/m3；q為約化振子函數(shù)；CL0為固定管道繞流時的升力系數(shù)；α和ε分別為尾流振子模型中的流體參數(shù)(均可通過實驗獲得[27])；ωf為渦脫頻率(也稱Strouhal頻率)，rad/s。me、ωf、rs和rf可分別通過以下函數(shù)獲得：其中CM為附加質(zhì)量系數(shù)；

ωf=2πStV/D，其中St為Strouhal數(shù)(亞 臨界 區(qū)內(nèi)取值為0.2)；

rs其中ωs為兩端簡支隔水管固有角頻率，ξ是結(jié)構(gòu)阻尼系數(shù)；

rf=，其中表示外流附加阻尼系數(shù)，CD為拖曳力系數(shù)。

對于變截面深水鉆井隔水管(如圖1所示)，由于D、EI、M、ωf均為水深方向的變量，因此，在式 (1)的基礎(chǔ)上得到變截面深水鉆井隔水管渦激振動控制方程如下：

設(shè)隔水管上、下兩端邊界條件為簡支，故其邊界條件表達式如下：

圖1 深水鉆井隔水管渦激振動示意圖Fig. 1 Schematic diagram of the VIV model for the deepwater drilling riser

對式 (2) 進行無量綱化，引入以下無量綱參數(shù)：

其中Dm是隔水管中點截面外徑，m2；Im是隔水管中點截面慣性矩，m4；mrm是隔水管中點截面單位質(zhì)量，kg/m。

為書寫方便，省略無量綱化后方程中的*號，并整理得：

根據(jù)文獻[28]，在t=0時刻向系統(tǒng)輸入振幅為10-3數(shù)量級的初始擾動：

2 模型的積分變換解法

根據(jù)廣義積分變換法求解偏微分方程的思想，首先需要根據(jù)邊界條件確定方程(5)的特征值問題。兩端簡支鉆井隔水管的渦激振動位移和尾流振子方程的特征值問題分別為式(7a)和(7b)：

相應的兩端簡支邊界條件表達式為：

式中，Xi(x)和Yk(x)分別為 (7a) 和 (7b) 的特征方程，而φi和ψk分別為對應的特征值，并且滿足以下正交性：δij和δkl為克羅內(nèi)克函數(shù)，i≠j或k≠l，其值為0，相反，若i=j或k=l，其值為1。于是，歸一化積分為：

將邊界條件表達式代入特征值問題中，解得 (7a) 和(7b) 的特征方程表達式分別為：

特征值的解為：

因此，Ni和Nk的值分別為：

特征函數(shù)的特征向量為：

根據(jù)GITT法的思路，需引入一組積分變換方程，即歸一化特征函數(shù)的積分變換方程與逆變換方程。對于隔水管橫向振動位移z(x,t)和尾流振子q(x,t)，積分變換方程分別見式 (15a、15b) 和 (16a、16b)：

根據(jù)式 (15a) 和 (16a) 的積分變換法則，并通過積分算子和對式 (5) 及其初始條件進行積分變換，同時依據(jù)(15b)和(16b)逆變換過程，整理得：

式中，各系數(shù)表達如下：

積分變換后的初始條件為：

可以看出，通過積分變換，原四階偏微分控制方程組轉(zhuǎn)化為僅關(guān)于時間t的二階常微分方程組。根據(jù)計算精度需要設(shè)定式 (15b) 和 (16b) 中的展開項數(shù)目(N項)，求得方程 (17a和17b) 中zi(t)和qk(t)的解后，再次利用式 (15b) 和 (16b)，最終得到z(x,t)和q(x,t)的半解析解。

3 模型及解法的驗證

為驗證模型及其解法的正確性，采用Song[29]等人文章中等截面模型管線參數(shù)，如表1所示。利用Mathematica完成程序編制和計算，利用NDSolve函數(shù)求解積分變換后的常微分方程組 (17)。文獻[30-31]詳細討論了有關(guān)GITT法的收斂性分析，證明即使展開項N取值很小，結(jié)果也可以表現(xiàn)出很好的收斂性。因此本文不再對收斂性進行討論，以下所有計算中，展開項N= 12。

其他流體參數(shù)取值分別為：St =0.17，CM=1.0，CD=1.2，CL0=0.3，α=36，ε =0.3。

圖2為模型管線均方根位移分布圖，GITT法的結(jié)果與文獻[29]中實驗結(jié)果吻合較好，但由于數(shù)學模型中選取的流體參數(shù)為經(jīng)驗值，使得GITT法的計算結(jié)果略大于實驗結(jié)果，且最大相對誤差小于3.5%(見表2)。

4 算例與討論

隔水管和外部海流的基本參數(shù)見表3，變截面鉆井隔水管幾何參數(shù)參考Cameron公司10 000ft超深水隔水管系統(tǒng)，如表4所示。根據(jù)配置情況，整個隔水管系統(tǒng)總長3 026.66 m(9 930 ft)，外徑均為0.546 1 m(21.5 in)，根據(jù)內(nèi)徑的不同配置，將隔水管由下而上分為5段：第1段長269.748 m(885 ft)，內(nèi)徑0.518 m(20.375 in)；第2段長463.296 m(1 520 ft)，內(nèi)徑0.521 m(20.5 in)；第3段長926.592 m(3 040 ft)，內(nèi)徑0.524 m(20.625 in)；第4段長1072.896 m(3 520 ft)，內(nèi)徑0.521 m(20.5 in)；第5段長294.132 m(965 ft)，內(nèi)徑0.518 m(20.375 in)。

4.1 時域分析

為更好地討論變截面隔水管的振動特性，引入約化速度的概念，約化速度為圓柱在一個振動周期內(nèi)的運動尺度λ與圓柱特征長度的比值：

表1 Song[29]渦激振動實驗數(shù)據(jù)Table 1 Parameters of the VIV test from Song[29]

圖2 均方根位移分布Fig. 2 Distribution of RMS displacement-to-diameter ratio

表2 均方根位移結(jié)果對比Table 2 Comparison of the RMS displacement

表3 深水鉆井隔水管及海流基本參數(shù)[1]Table 3 Physical properties of the deepwater drilling riser and external current[1]

其中，fs為圓柱一階固有頻率(Hz)。

對于等截面隔水管系統(tǒng)，其一階固有頻率可通過式 (21) 計算：

通過計算，與算例中變截面隔水管長度相等，且橫截面與變截面隔水管系統(tǒng)第三段相同的等截面隔水管的一階固有頻率fs-middle為0.015 858 Hz。為便于對比變截面隔水管與等截面隔水管在相同外流速度下的振動特性，計算約化速度時，選取fs-middle的值處理。

圖3為變截面隔水管與等截面隔水管(截面與變截面系統(tǒng)第三段相同)在不同約化速度下的響應幅值?？梢钥闯?，等截面隔水管系統(tǒng)在約化速度為6時，振幅達到最大值；而變截面隔水管系統(tǒng)在約化速度為5時，振幅達到最大值。這是由于變截面隔水管系統(tǒng)與等截面隔水管系統(tǒng)固有頻率的差異，導致系統(tǒng)發(fā)生鎖頻現(xiàn)象的外流流速范圍發(fā)生變化，造成渦激振動鎖頻區(qū)域發(fā)生偏移。

表4 Cameron 公司10 000ft超深水鉆井隔水管系統(tǒng)配置Table 4 Configuration of the 10 000ft ultra-deepwater drilling riser system by Cameron

圖3 隔水管最大振幅隨約化速度變化關(guān)系圖Fig. 3 Relation between the maximum deflection and the reduced velocity Vr

圖5 等截面隔水管中點位移時程曲線Fig. 5 Time history of the displacement of the uniform cross-section drilling riser mid-point

圖4 變截面隔水管中點位移時程曲線Fig. 4 Time history of the displacement of the varying cross-section drilling riser mid-point

圖6 最大位移分布Fig. 6 Distribution of the maximum displacement-to-diameter ratio

圖4和圖5分別為變截面隔水管系統(tǒng)和等截面隔水管系統(tǒng)中點(x= 0.5)在約化速度Vr= 5.5時的位移時程曲線。圖6為隔水管系統(tǒng)的最大位移分布圖。通過計算可知，變截面隔水管系統(tǒng)與等截面隔水管系統(tǒng)在振動幅值上有所不同，同時，算例中變截面隔水管系統(tǒng)的最大振幅出現(xiàn)在x= 0.42處，而等截面隔水管系統(tǒng)的最大振幅出現(xiàn)在x= 0.44處。

圖7計算了在約化速度為4.5～10.5時，變截面隔水管系統(tǒng)的三維振型圖?？梢钥闯觯敿s化速度Vr小于7.5時，變截面隔水管系統(tǒng)以一階模態(tài)振動；當約化速度Vr達到7.5時，變截面隔水管系統(tǒng)開始以二階模態(tài)振動；隨著約化速度Vr的進一步增加，達到10.5時，變截面隔水管系統(tǒng)開始以三階模態(tài)振動。

4.2 頻域分析

通過隔水管系統(tǒng)穩(wěn)定振動后的時程曲線的結(jié)果進行快速傅里葉變換(FFT)，獲得相應的隔水管渦激振動響應頻譜圖。圖8 (a) 和 (b) 分別為變截面隔水管中點和等截面隔水管中點在Vr= 4.5，Vr= 5.5，Vr= 6.5，Vr= 7.5共4種約化速度下的響應頻譜圖。圖9為隔水管系統(tǒng)振動頻率與Strouhal渦脫頻率的關(guān)系圖。通過分析可以看出，Strouhal頻率隨外流流速的增加而線性增加。在約化速度為4.5～7.5時，等截面隔水管系統(tǒng)振動頻率與Strouhal渦脫頻率的變化趨勢基本保持一致，而算例中變截面隔水管在約化速度為6.5～7.5時發(fā)生振動頻率的突變，說明在該算例中，變截面隔水管系統(tǒng)的鎖頻現(xiàn)象發(fā)生在更小的外流流速范圍內(nèi)，且更易發(fā)生更高階的振動。這與時域分析中圖3的結(jié)果一致。

圖7 變截面隔水管三維振動圖型Fig. 7 GITT solutions of dimensionless displacement z(x, t) in 3-D

圖8 隔水管系統(tǒng)渦激振動響應頻譜Fig. 8 Spectral analysis of the drilling riser

圖9 Strouhal渦脫頻率和振動頻率關(guān)系圖Fig. 9 Relation between vortex-shedding frequency and vibration frequency

5 結(jié)論

本文建立了水深方向變截面深水鉆井隔水管系統(tǒng)渦激振動模型，提出基于廣義積分變換法(GITT)的任意變截面鉆井隔水管系統(tǒng)動力行為預測方法。對變截面隔水管系統(tǒng)進行時域及頻域分析，并通過與等截面隔水管系統(tǒng)動力特性做比較，發(fā)現(xiàn)變截面隔水管系統(tǒng)在響應幅值、振動頻率以及鎖頻區(qū)域等方面均與等截面隔水管系統(tǒng)具有較明顯的差異。提出的變截面深水鉆井隔水管系統(tǒng)渦激振動模型，適用于任意變截面隔水管系統(tǒng)，能夠更加準確、合理地預測隔水管系統(tǒng)的動力行為，對隔水管系統(tǒng)結(jié)構(gòu)設(shè)計、疲勞壽命分析以及深水鉆井安全操作具有一定的理論價值和工程指導意義。本文的主要結(jié)論總結(jié)如下：

(1)基于GITT的變截面隔水管系統(tǒng)動力行為預測方法，將偏微分控制方程組變換為以基函數(shù)為解的特征方程和常微分方程，可以得到任意變截面鉆井隔水管系統(tǒng)動力特性的半解析解，且在計算精度和計算效率上有較強的優(yōu)勢。

(2)隔水管系統(tǒng)在水深方向的截面變化，使得系統(tǒng)的響應幅值以及出現(xiàn)最大變形的位置發(fā)生變化。本文所建立的數(shù)學模型及其解法可以準確地預測隔水管系統(tǒng)的變形情況，是正確預測結(jié)構(gòu)疲勞壽命以及損傷位置的重要保障。

(3)時域分析與頻域分析的結(jié)果表明，隔水管系統(tǒng)在水深方向的截面變化，會造成鎖頻區(qū)域發(fā)生偏移，在分析隔水管系統(tǒng)的動力行為時，單純地將其視作等截面結(jié)構(gòu)，會造成結(jié)構(gòu)的明顯誤差。只有充分考慮隔水管系統(tǒng)的截面變化，才能正確預測結(jié)構(gòu)的動力學特性，進而指導、優(yōu)化隔水管系統(tǒng)結(jié)構(gòu)設(shè)計，確保系統(tǒng)在服役期間的安全運行。

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A fluid-structure interaction model of variable cross-section deepwater drilling risers and its solution

LI Tongtong1,2, LIANG Wei2, AN Chen1, DUAN Menglan1
1 Institute for Ocean Engineering, China University of Petroleum-Beijing, Beijing 102249, China 2 College of Mechanical and Transportation Engineering, China University of Petroleum-Beijing, Beijing 102249, China

Current mathematical models for analyzing the fluid-structure interaction of deepwater drilling risers are derived on the assumption that the deepwater riser system is a cylinder with a uniform cross-section. In fact, the cross-section varies from the top to the bottom of the drilling riser. Therefore, it is necessary to establish a mathematical model that considers the variation of the cross-section of the drilling riser. In the present paper, a mathematical model for the fluid-structure interaction of any variable cross-section drilling riser is established combined with a wake oscillator model. The mathematical model is solved by the generalized integral transform technique (GITT), which is a semi-analytical method with the advantages of being fast and accurate.

The mathematical model and the solution method are verified against previous experimental studies. In addition, time and frequency domain analyses were carried out for a 3 000 m drilling riser system under different flow velocities. The varying cross-section will significantly change the vibration amplitude, frequency and the lock-in region of the system. Results can serve as a guide for the dynamic response prediction and the structural design of the deepwater drilling riser systems, and are of great importance for ensuring the safety operation of deepwater drilling.

variable cross-section; drilling riser; vortex-induced vibration (VIV); integral transform; fluid-structure interaction

*通信作者, anchen@cup.edu.cn

2017-03-17

國家重點研發(fā)計劃項目(2016YFC0303700)、國家自然科學基金(51509258)和國家科技重大專項(2016ZX05033-004-004)聯(lián)合資助

厲曈曈, 梁偉, 安晨, 段夢蘭.變截面深水鉆井隔水管系統(tǒng)渦激振動模型及其解法. 石油科學通報, 2017, 04: 507-518

LI Tongtong, LIANG Wei, AN Chen, DUAN Menglan. A fluid-structure interaction model of variable cross-section deepwater drilling risers and its solution. Petroleum Science Bulletin, 2017, 04: 507-518.doi:10.3969/j.issn.2096-1693.2017.04.047

10.3969/j.issn.2096-1693.2017.04.047

(編輯 馬桂霞)