陳 敏

高中生數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的獲得研究
——以“基本不等式”教學(xué)為例

陳 敏

為了讓高中生獲得更多的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，以“基本不等式”的教學(xué)為例，提出“模擬（演示）實(shí)驗(yàn)、動(dòng)手操作、研討探究、數(shù)學(xué)建?！彼膫€(gè)不同層次的獲得數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的途徑，教師在明確數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)與學(xué)生發(fā)展的關(guān)系，深刻理解其本質(zhì)內(nèi)涵的條件下，把握數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的目的性、主動(dòng)性、深刻性、層次性，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，確保學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的獲得。

高中數(shù)學(xué)；基本活動(dòng)體驗(yàn)；獲得途徑

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》提出了“四基”，即學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)，獲得必需的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。義務(wù)教育階段的教師積極踐行課標(biāo)精神，教學(xué)中注意學(xué)生的主體體驗(yàn)。但高中數(shù)學(xué)由于內(nèi)容多、難度大、教學(xué)時(shí)間緊等原因，教師一般不敢放手讓學(xué)生去體驗(yàn)，擔(dān)心學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)完成不了，數(shù)學(xué)理論掌握不好，造成高中數(shù)學(xué)教學(xué)的現(xiàn)狀是結(jié)論告知的多，過(guò)程經(jīng)歷的少；教師講解的多，學(xué)生探究的少；解題程式訓(xùn)練的多，活動(dòng)體悟到的經(jīng)驗(yàn)少。相比小學(xué)與初中，高中生基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的獲得研究具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

筆者結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐認(rèn)為，數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)離不開(kāi)數(shù)學(xué)活動(dòng)，好的數(shù)學(xué)活動(dòng)一般有特定的問(wèn)題情境和明確的學(xué)習(xí)目標(biāo)，有較廣的探索空間，教師要積極引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)腦、動(dòng)口、動(dòng)手、動(dòng)情，多種感官協(xié)調(diào)統(tǒng)一，根據(jù)不同的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)目標(biāo)，按數(shù)學(xué)活動(dòng)開(kāi)展和學(xué)生經(jīng)驗(yàn)獲得的難易綜合程度，多層次地使學(xué)生獲得數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。下面以“基本不等式”的教學(xué)為例，談一談“模擬（演示）實(shí)驗(yàn)、動(dòng)手操作、研討探究、數(shù)學(xué)建?！钡葞追N不同層次的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的獲得途徑。

一、模擬實(shí)驗(yàn)，重在悟其道

當(dāng)現(xiàn)實(shí)條件不具備，或是沒(méi)有必要現(xiàn)場(chǎng)實(shí)物操作，或者教學(xué)要求不高、思維難度不大時(shí)，有些數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教師可以采用計(jì)算機(jī)動(dòng)畫(huà)仿真模擬，讓學(xué)生認(rèn)真觀察，進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象。這一過(guò)程重在“悟其道”，所謂“悟其道”就是拋去模擬實(shí)驗(yàn)場(chǎng)景的外衣，用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)與思想方法尋求模擬實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象數(shù)學(xué)解釋?zhuān)诰蚱浔澈蟮臄?shù)學(xué)本質(zhì)。

如在教學(xué)“基本不等式”時(shí)，學(xué)生做不等臂天平的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，不可能也沒(méi)有必要人手一臺(tái)天平，這時(shí)教師可以用flash動(dòng)畫(huà)模擬演示，如圖1。

圖1

探究問(wèn)題：假設(shè)有一個(gè)兩臂長(zhǎng)不等的天平，把一個(gè)物體放在該天平的一個(gè)托盤(pán)上，在另一個(gè)托盤(pán)上放砝碼使天平平衡，稱(chēng)得物體的質(zhì)量為a，再把物體與砝碼調(diào)換，稱(chēng)得物體的質(zhì)量為b，通常的做法是用表示物體的實(shí)際質(zhì)量M，這樣合理嗎？物體真實(shí)的質(zhì)量是多少？

事實(shí)上，設(shè)天平左右臂長(zhǎng)分別為l1，l2。根據(jù)杠桿原理，Ml1=al2，Ml2=bl1兩式相乘得，M2l1l2=abl1l2，所以即物體的實(shí)際質(zhì)量M=

當(dāng)然，計(jì)算機(jī)動(dòng)畫(huà)模擬只是模擬實(shí)驗(yàn)場(chǎng)景，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)沒(méi)有實(shí)際發(fā)生，當(dāng)實(shí)驗(yàn)物質(zhì)條件具備時(shí)，可以考慮現(xiàn)場(chǎng)演示實(shí)驗(yàn)，由教師或個(gè)別學(xué)生在講臺(tái)上現(xiàn)場(chǎng)演示，其他學(xué)生仔細(xì)觀察，認(rèn)真思考，努力尋求現(xiàn)象背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)。如上述模擬實(shí)驗(yàn)中，如果條件許可，就可以把不等臂天平拿到教室講臺(tái)上現(xiàn)場(chǎng)演示，學(xué)生觀察后，用數(shù)學(xué)的方法求出物體的實(shí)際質(zhì)量

二、親手操作，重在解其理

親手操作做數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是學(xué)生運(yùn)用有關(guān)工具（如紙張、剪刀、模型、測(cè)量工具、作圖工具以及計(jì)算機(jī)等）進(jìn)行的一種以實(shí)際操作為主要特征的數(shù)學(xué)驗(yàn)證或探究活動(dòng)。其目的是讓學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中切身體驗(yàn)數(shù)學(xué)理論的產(chǎn)生發(fā)展過(guò)程。親手操作是獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)體驗(yàn)的最直接的方法，其重點(diǎn)是理解其中的數(shù)學(xué)之理。

如在教學(xué)“基本不等式”時(shí)，可以讓學(xué)生做這樣的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：如圖2，把兩張邊長(zhǎng)不等的正方形紙（a≥b＞0）沿對(duì)角線對(duì)折后拼成右邊的圖形，詢(xún)問(wèn)學(xué)生這一圖形同基本不等式0，b＞0）有何關(guān)系，能否直觀地看出大多少，等號(hào)何時(shí)成立。

圖2

三、研討探究，重在得其法

學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生發(fā)展過(guò)程，積極研討探究，切身體驗(yàn)，用心感悟，總結(jié)提煉，尋求解決問(wèn)題的一般方法，從而內(nèi)化為自己的數(shù)學(xué)能力與數(shù)學(xué)素養(yǎng)。研討探究活動(dòng)要用心感悟過(guò)程，總結(jié)提煉數(shù)學(xué)問(wèn)題的一般研究方法是重點(diǎn)。

在教學(xué)過(guò)程中，先是通過(guò)不等臂天平的演示實(shí)驗(yàn)抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題：算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的大小關(guān)系如何；然后是猜想驗(yàn)證，利用特殊值歸納猜想的大小關(guān)系，學(xué)生自主判斷、探究、證明（基本呈現(xiàn)比較法、分析法、綜合法的雛形）；接著是演繹證明，利用不等式證明的基本方法（比較法、分析法、綜合法）嚴(yán)格證明得到數(shù)學(xué)結(jié)論最后是理解賞析，賞析基本不等式的平衡和諧之美、數(shù)形結(jié)合之美。甚至教師還可以進(jìn)一步縱深引導(dǎo)：從平衡和諧美的角度，你還能提出兩個(gè)正數(shù)的其他“平均數(shù)”嗎？它們與算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的大小關(guān)系如何？三個(gè)正數(shù)呢？n個(gè)正數(shù)呢？從而使學(xué)生對(duì)于基本不等式的認(rèn)識(shí)更加深入全面。事實(shí)上，以上數(shù)學(xué)理論的探究過(guò)程：動(dòng)手操作（或是模擬實(shí)驗(yàn)）→數(shù)學(xué)抽象→猜想驗(yàn)證→演繹證明→數(shù)學(xué)理論→理解賞析，就是數(shù)學(xué)問(wèn)題的一般研究方法。

四、數(shù)學(xué)建模，重在盡其用

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不是為了學(xué)而學(xué)，其最終目的是學(xué)以致用，即綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)、觀念、方法建立數(shù)學(xué)模型，解決實(shí)際問(wèn)題。通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)“用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)思維分析世界，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界”。事實(shí)上，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)從本質(zhì)上講就是個(gè)體面對(duì)復(fù)雜的、不確定的情境時(shí)，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)、觀念、方法解決實(shí)際問(wèn)題所表現(xiàn)出來(lái)的關(guān)鍵能力與必備品質(zhì)。它是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中逐步形成的。數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)探究等綜合實(shí)踐活動(dòng)是學(xué)生獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的有效方式，也是培育學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要途徑。

如在“基本不等式”學(xué)習(xí)時(shí)，教師可以鼓勵(lì)學(xué)生到學(xué)校文印室或是校外印刷廠調(diào)研在排版面積一定的條件下紙張的用量問(wèn)題：

如圖3，一份矩形印刷品的排版面積為A，它的左右兩邊都留有寬為a的空白，頂部和底部都留有寬為b的空白。如何選擇紙張的尺寸，才能使紙張的用量最少？

圖3

解析：設(shè)排版矩形的長(zhǎng)和寬分別是 x，y，則 xy=A，紙張的面積為

以上是結(jié)合“基本不等式”的教學(xué)，提出“模擬（演示）實(shí)驗(yàn)、親手操作、研討探究、數(shù)學(xué)建?！钡葞追N不同層次的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)體驗(yàn)的獲得途徑。不難看出，“模擬（演示）實(shí)驗(yàn)”中數(shù)學(xué)活動(dòng)沒(méi)有實(shí)際發(fā)生，或僅僅觀察到教師的實(shí)驗(yàn)操作，所獲得的經(jīng)驗(yàn)是淺層次的，實(shí)際課堂教學(xué)也比較容易實(shí)現(xiàn)。“動(dòng)手操作”則是每個(gè)學(xué)生人手一套實(shí)驗(yàn)儀器、工具、材料等，課堂教學(xué)物質(zhì)條件要求更高，但是學(xué)生動(dòng)手操作，獲得的是摸得著的切身體驗(yàn)。以上兩種多數(shù)情況下都是為達(dá)成某一個(gè)具體的教學(xué)目標(biāo)而進(jìn)行的，學(xué)生獲得的是一些孤立的個(gè)別的數(shù)學(xué)活動(dòng)體驗(yàn)。而“研討探究”則是把這些孤立的個(gè)別的數(shù)學(xué)活動(dòng)體驗(yàn)串起來(lái)，總結(jié)提煉，尋求解決問(wèn)題的一般方法。最后“數(shù)學(xué)建模”是對(duì)于客觀現(xiàn)實(shí)世界，數(shù)學(xué)地觀察、數(shù)學(xué)地分析、數(shù)學(xué)地解決、數(shù)學(xué)地表達(dá)，這是數(shù)學(xué)教學(xué)的價(jià)值追求，這種經(jīng)驗(yàn)的獲得需要一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程，不可一蹴而就。當(dāng)然以上這些不同層次的學(xué)生數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的獲得，一定要結(jié)合不同的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)目標(biāo)，適合的才是最好的。

除此以外，教師引導(dǎo)學(xué)生參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)還要注意以下幾個(gè)問(wèn)題：一是目的性，活動(dòng)是為教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成服務(wù)的，不同的目標(biāo)定位會(huì)設(shè)計(jì)出不同的活動(dòng)，也就會(huì)產(chǎn)生不一樣的教學(xué)效果；二是主動(dòng)性，實(shí)踐證明，要使活動(dòng)更加積極有效，就必須注意學(xué)生學(xué)習(xí)體驗(yàn)的主動(dòng)性，如果學(xué)生被教師牽著鼻子走，照著教師的要求，按部就班進(jìn)行體驗(yàn)，學(xué)生獲得不了真正屬于自己的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)；三是多樣性，活動(dòng)方式包括課外數(shù)學(xué)閱讀、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、撰寫(xiě)小論文與實(shí)驗(yàn)報(bào)告、數(shù)學(xué)儀器、工藝品的制作、數(shù)學(xué)游戲等，其中數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)探究等綜合實(shí)踐活動(dòng)是學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)體驗(yàn)的有效方式；四是深刻性，教師創(chuàng)設(shè)的數(shù)學(xué)活動(dòng)，不能片面追求形式的“美麗”，要注重?cái)?shù)學(xué)內(nèi)涵的“魅力”，學(xué)生不僅僅是“做數(shù)學(xué)”，還要“思數(shù)學(xué)”，更要“悟數(shù)學(xué)”，把握數(shù)學(xué)活動(dòng)情景背后的數(shù)學(xué)之理。

總之，教師只有明確數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)與學(xué)生發(fā)展的關(guān)系，深刻理解數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)內(nèi)涵，了解基本的高中生基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的獲得途徑，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，才能確保學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的獲得。

G633.6

A

1005-6009（2017）67-0034-03

陳敏，江蘇省錫山高級(jí)中學(xué)（江蘇無(wú)錫，214174）教師，高級(jí)教師，無(wú)錫市學(xué)科帶頭人。