張倩雯，谷 峰

(杭州師范大學理學院，浙江 杭州 310036)

S-度量空間中二次方型壓縮映象的公共不動點定理

張倩雯，谷 峰

(杭州師范大學理學院，浙江 杭州 310036)

本文在完備的S-度量空間中引入了一類二次方型壓縮映象，討論了這類壓縮映象公共不動點的存在性和唯一性問題，得到了幾個新的公共不動點定理. 改進和推廣了某些已知結(jié)果.

完備S-度量空間；公共不動點；二次方型壓縮映象

1 引言和預備知識

2006年，Mustafa和Sims[1]引入了廣義度量空間的概念，簡稱G-度量空間.2007年，Sedghi,Rao和Shobe[2]引入了D*-度量空間的概念，并給出了D*-度量空間一些基本性質(zhì).最近Sedghi,Shobe和Aliouche[3]推廣了G-度量空間和D*-度量空間的概念，提出了S-度量空間的概念.隨后，Afra[4-5],Raj和Hooda[6]，Sedghi和Dung[7],Hieu,Ly和Dung[8]建立了S-度量空間中的一些不動點定理.

本文是上述工作的繼續(xù)，我們在S-度量空間中引入了一類二次方型的壓縮映象，證明了這類映象的兩個新的公共不動點定理. 我們的結(jié)果本質(zhì)地改進和推廣了前述文獻中的某些相關(guān)結(jié)果. 事實上，由于每個G-度量一定是D*-度量，每個D*-度量也一定是S-度量，但反之不真. 因此本文結(jié)果比G-度量空間和D*-度量空間中的結(jié)果更具有廣泛性和適用性，有更高的應用價值.

為后面研究的需要，首先給出一些基本概念和已知結(jié)論.

定義1[1]設(shè)X是一個非空集，G:X×X×X→R+是一個滿足下面條件的三元函數(shù)：

(G1)G(x,y,z)=0?x=y=z；(G2)G(x,x,y)gt;0,?x,y∈X,x≠y；(G3)G(x,x,y)G(x,y,z),?x,y,z∈X,z≠y；(G4)G(x,y,z)=G(x,z,y)=G(y,z,x)=…(對稱性)；(G5)G(x,y,z)G(x,a,a)+G(a,y,z),?x,y,z,a∈X(矩形不等式).則函數(shù)G稱為X上的廣義度量，或者稱之為X上的一個G-度量，稱(X,G)為廣義度量空間或簡稱為G-度量空間.

定義2[2]設(shè)X是一個非空集，D*:X×X×X→R+是一個滿足下面條件的三元函數(shù)：

1)D*(x,y,z)=0?x=y=z；2)D*(x,y,z)=D*(p{x,y,z}),?x,y,z∈X(對稱性)，其中p{x,y,z}是置換函數(shù)；3)D*(x,y,z)D*(x,y,a)+D*(a,z,z),?x,y,z,a∈X.則函數(shù)D*稱為X上的一個D*-度量，稱(X,D*)為D*-度量空間.

定義3[3]設(shè)X是一非空集合，S:X×X×X→R+是一個三元函數(shù)，且對任意的x,y,z,a∈X，滿足以下條件:(S1)S(x,y,z)=0?x=y=z；(S2)S(x,y,z)S(x,x,a)+S(y,y,a)+S(z,z,a).

則稱函數(shù)S是X上的一個S-度量，這時稱(X,S)是一個S-度量空間.

例1[3]S-度量空間的幾個例子:

1)設(shè)X=n，‖·‖是X上的范數(shù)，則S(x,y,z)=‖y+z-2x‖+‖y-z‖是X上的一個S-度量.

2)設(shè)X=n，‖·‖是X上的范數(shù)，則S(x,y,z)=‖x-z‖+‖y-z‖是X上的一個S-度量.

3)設(shè)X是一非空集，d是X上的一個通常的度量，則S(x,y,z)=d(x,z)+d(y,z)是X上的一個S-度量.

注1每個G-度量一定是D*-度量，每個D*-度量也一定是S-度量，反之不真，反例可見文獻[1]和[3].

引理1[3]設(shè)(X,S)是一S-度量空間，那么對任意的x,y∈X，有S(x,x,y)=S(y,y,x).

引理2[4，6]設(shè)(X,S)是一S-度量空間，那么對任意的x,y,z∈X，有

S(x,x,z)2S(x,x,y)+S(y,y,z),S(x,x,z)2S(x,x,y)+S(z,z,y).

定義6[3]稱S-度量空間(X,S)為S-完備的，若對于(X,S)中每個Cauchy列在S中都是S-收斂的.

定義7設(shè)(X,S)與(X′,S′)為S-度量空間，稱f:X→X′在點x∈X處是S-連續(xù)的，當且僅當f在x處是S-序列連續(xù)的.即若{xn}S-收斂到x，則{f(xn)}S-收斂到f(x).

2 主要結(jié)果

定理1設(shè)(X,S)為一完備的S-度量空間，T,G:X→X是X上的兩個自映象，且存在常數(shù)h∈(0,1),滿足條件:

S2(Tx,Tx,Gy)hS(Tx,Tx,x)S(Gy,Gy,y)， ?x,y∈X.

(1)

則映象T,G有唯一公共不動點u，且T和G在點u處是S-連續(xù)的.

證明證明過程分兩步來完成.

Ⅰ)證明T的不動點也是G的不動點.事實上，設(shè)p∈X，使得Tp=p，由條件(1)，可得

S2(Tp,Tp,Gp)hS(Tp,Tp,p)S(Gp,Gp,p)=hS(p,p,p)S(Gp,Gp,p)=0.

即S2(Tp,Tp,Gp)=0，因此就有Gp=Tp=p. 于是p也是G的一個不動點.

同理可證G的不動點也是T的不動點.

Ⅱ)證明T和G有唯一公共不動點.

?x0∈X,定義序列{xn}為x2n+1=Tx2n，x2n+2=Gx2n+1，n=0,1,2,…. 若對某個n=2m有xn=xn+1，則p=x2m是T的一個不動點，且由第1步可得p是T和G的一個公共不動點.同理可證當n=2m+1時，p=x2m+1是T和G的一個公共不動點.不失一般性，可假設(shè)對任給的n≥0，xn≠xn+1.

下面證明{xn}是X中的S-Cauchy序列. 事實上，由式(1)和引理1，可得

S2(x2n+1,x2n+1,x2n+2)=S2(Tx2n,Tx2n,Gx2n+1)hS(Tx2n,Tx2n,x2n)S(Gx2n+1,Gx2n+1,x2n+1)=

hS(x2n+1,x2n+1,x2n)S(x2n+2,x2n+2,x2n+1)=hS(x2n,x2n,x2n+1)S(x2n+1,x2n+1,x2n+2).

因此

S(x2n+1,x2n+1,x2n+2)hS(x2n,x2n,x2n+1).

(2)

另一方面，再用由式(1)和引理1，可得

S2(x2n+2,x2n+2,x2n+3)=S2(Gx2n+1,Gx2n+1,Tx2n+2)=S2(Tx2n+2,Tx2n+2,Gx2n+1)

hS(Tx2n+2,Tx2n+2,x2n+2)S(Gx2n+1,Gx2n+1,x2n+1)=hS(x2n+3,x2n+3,x2n+2)S(x2n+2,x2n+2,x2n+1)=

hS(x2n+2,x2n+2,x2n+3)S(x2n+1,x2n+1,x2n+2).

因此

S(x2n+2,x2n+2,x2n+3)hS(x2n+1,x2n+1,x2n+2).

(3)

綜合式(2)和(3)可得，對任意的n∈Ν，有

S(xn,xn,xn+1)hS(xn-1,xn-1,xn).

(4)

從而

S(xn,xn,xn+1)hS(xn-1,xn-1,xn)…h(huán)nS(x0,x0,x1).

(5)

根據(jù)引理2和式(5)，對任意的n,m∈Ν，mgt;n，有

因此S(xn,xn,xm)→0(n,m→)，故{xn}是X中的S-Cauchy序列. 由于X是S-完備的，于是存在u∈X，使得序列{xn}S-收斂到u.

下證u是T和G的一個公共不動點. 事實上, 由式(1)可得

在上式中令n→，根據(jù)引理3得S2(Tu,Tu,u)hS(Tu,Tu,u)S(u,u,u)=0.

即S2(Tu,Tu,u)=0, 進而S(Tu,Tu,u)=0，于是Tu=u，即u是T的一個不動點.

在上式中令n→，根據(jù)引理3得S2(u,u,Gu)hS(u,u,u)S(Gu,Gu,u)=0.

故S2(u,u,Gu)=0，即Gu=u. 從而可得u=Tu=Gu,即u是T和G的一個公共不動點.

設(shè)v是T和G的另一個公共不動點，即v=Tv=Gv， 則由式(1)可得

S2(u,u,v)=S2(Tu,Tu,Gv)hS(Tu,Tu,u)S(Gv,Gv,v)=hS(u,u,u)S(v,v,v)=0.

從而有S2(u,u,v)=0，故u=v，因此u是T和G的唯一公共不動點.

下證T在u處是S-連續(xù)的. 令{yn}是X中任意S-收斂到u的序列.對任給的n∈N,由式(1)可得

S2(Tyn,Tyn,u)=S2(Tyn,Tyn,Gu)hS(Tyn,Tyn,yn)S(Gu,Gu,u)=hS(Tyn,Tyn,yn)S(u,u,u)=0.

同理可證G在u處也是S-連續(xù)的.

定理2設(shè)(X,S)為一完備的S-度量空間，設(shè)兩個自映象T,G:X→X滿足條件:

S2(Tpx,Tpx,Gsy)hS(Tpx,Tpx,x)S(Gsy,Gsy,y),?x,y∈X.

(6)

其中p,s∈Ν,h∈(0,1),則T,G有唯一公共的不動點u，且Tp,Gs在點u處是S-連續(xù)的.

證明由定理1可得Tp，Gs有唯一公共不動點u，即Tpu=u，Gsu=u，且Tp,Gs在u處是S-連續(xù)的.由于TpTu=Tp+1u=TTpu=Tu，則Tu也是Tp的一個不動點，同理由Gu=GGsu=Gs+1u=GsGu可得Gu也是Gs的一個不動點.由式(6)可得

S2(Tu,Tu,GsTu)=S2(TpTu,TpTu,GsTu)hS(TpTu,TpTu,Tu)S(GsTu,GsTu,Tu)hS(Tu,Tu,Tu)S(GsTu,GsTu,Tu)=0.

于是可得S2(Tu,Tu,GsTu)=0.于是Tu=GsTu，即Tu是Tp和Gs的公共不動點. 因為Tp和Gs的公共不動點是唯一的，則可得Tu=u.同理可得Gu=u.則有u=Tu=Gu.

設(shè)v是T和G另外一個公共不動點，則v=Tpv=Gsv，再次利用式(6)可得

S2(u,u,v)=S2(Tpu,Tpu,Gsv)hS(Tpu,Tpu,u)S(Gsv,Gsv,v)hS(u,u,u)S(v,v,v)=0.

進而可得S2(u,u,v)=0，即u=v.所以T,G的公共不動點是唯一的.

推論1設(shè)(X,S)為一完備的S-度量空間，設(shè)映象T:X→X滿足條件:

S2(Tx,Tx,Ty)hS(Tx,Tx,x)S(Ty,Ty,y), ?x,y∈X.

其中h∈(0,1),則T,G有唯一不動點u，且T在u處是S-連續(xù)的.

證明在定理1中令T=G，則得該推論.

推論2令(X,S)為一完備的S-度量空間，設(shè)映象T:X→X滿足條件:

S2(Tpx,Tpx,Tsy)hS(Tpx,Tpx,x)S(Tsy,Tsy,y),?x,y∈X.

其中p,s∈Ν,h∈(0,1)，則T有唯一不動點u，且Tp在u處是S-連續(xù)的.

證明在定理2中令T=G，則推論2的結(jié)論成立.

注2在定理2和推論2中取p=s，對應結(jié)果也是新的，此處略去.

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CommonFixedPointTheoremsforaClassofSecondPowerTypeContractiveMappinginS-metricSpaces

ZHANG Qianwen, GU Feng

(School of Science, Hangzhou Normal University, Hangzhou 310036, China)

In the framework of a complete S-metric space, a new class of secondpower typecontractive mapping is introduced, the existence and uniqueness of the common fixed point for this type of contractive mapping are discussed, and some new common fixed point theorems are obtained. The results extend and improve some well-known comparable results in the existing literatures.

complete S-metric spaces; common fixed point; second power type contractive mapping

2016-12-22

國家自然科學基金項目(11071169)；浙江省自然科學基金項目(Y6110287).

谷峰(1960 —)，男,教授,主要從事非線性分析及應用研究. E-mail：gufeng99@sohu.com

10.3969/j.issn.1674-232X.2017.05.014

O177.91MSC201047H10, 54H25

A

1674-232X(2017)05-0527-04