湖南 楊姣媛 黃若海

趣味數(shù)學(xué)題在化學(xué)中的啟示三例

一、貴在挖掘

很多人都見(jiàn)過(guò)這樣的趣味題：在下式中填上恰當(dāng)?shù)姆?hào)，使4 4 4=6 。

下面這道化學(xué)題也很有趣：

在下式橫線上填入適當(dāng)物質(zhì)并配平(連同計(jì)量數(shù)填入括號(hào)內(nèi))。

分析：給出一個(gè)答案，對(duì)這道題來(lái)說(shuō)一點(diǎn)也不難。下面我們?cè)賮?lái)鉆研鉆研。

一道極平常的題 ，經(jīng)這么一挖掘，也就變得非同尋常了。

二、整體法解題

有這么一道思維訓(xùn)練題：

50個(gè)運(yùn)動(dòng)員按高矮順序排成一排，并按1～50編號(hào)。教練下令:“單數(shù)運(yùn)動(dòng)員出列!”剩下的運(yùn)動(dòng)員重新排并編號(hào)。教練又下令:“單數(shù)運(yùn)動(dòng)員出列!”如此下去。最后剩下一個(gè)人。請(qǐng)問(wèn)這個(gè)人最初的編號(hào)是幾號(hào)?

解析：

列出1 2 3 …48 49 50五十個(gè)數(shù)；

第一次劃去單數(shù)，剩下2 4 6…48 50二十五個(gè)數(shù)；

第二次劃去2 6 …46 50，剩下4 8…44 48十二個(gè)數(shù)；

第三次劃去4 12…44，剩下8 16 24 32 40 48六個(gè)數(shù)；

第四次劃去8 24 40，剩下16 32 48三個(gè)數(shù)；

第五次劃去16 48；剩下32一個(gè)數(shù)。

所以是32號(hào)。

上面的這種解析方法不符合思維訓(xùn)練題的初衷，解答時(shí)也難以品嘗到解思維訓(xùn)練題帶來(lái)的樂(lè)趣?？匆豢聪旅娴姆治龇椒ǎ?/p>

5次排序后就只有1人了，這個(gè)人最初的號(hào)碼必須在每一次排序中都是偶數(shù)，所以他的號(hào)碼是2的5次方，即32。

這種分析方法從整體上把握這個(gè)問(wèn)題，使得解答過(guò)程簡(jiǎn)捷而靈動(dòng)。

化學(xué)中也有不少的題，運(yùn)用整體法解答比“一步一個(gè)腳印”式的解答，具有更大的優(yōu)越性。

例題：取0.04 mol KMnO4固體，加熱一段時(shí)間后,收集到amol氣體。向分解后所得殘留固體中加入足量濃鹽酸，又收集到bmol氣體。設(shè)此時(shí)錳元素全部以Mn2+存在于溶液中。試計(jì)算:

(1)a+b的最小值；

(2)當(dāng)a+b=0.09時(shí),0.04 mol KMnO4加熱后所得殘留固體的質(zhì)量。

這道題涉及的反應(yīng)較多，若按方程式一步一步計(jì)算是比較煩瑣的。為了說(shuō)明問(wèn)題，這里不厭其“煩”：

(1)設(shè)分解的KMnO4物質(zhì)的量為0.04xmol,則剩余KMnO4的物質(zhì)的量為0.04(1-x) mol。根據(jù)化學(xué)方程式計(jì)算如下：

0.04x0.02x0.02x0.02x

0.04(1-x) 0.1(1-x)

0.02x0.04x

0.02x0.02x

a+b=0.02x+0.1(1-x)+0.04x+0.02x=0.1-0.02x

因?yàn)閤≤1,當(dāng)x=1時(shí),a+b有最小值,(a+b)min=0.08

(2)當(dāng)a+b=0.09時(shí)，即0.1-0.02x=0.09，解得x=0.5。

加熱后剩余固體的質(zhì)量=剩余的KMnO4質(zhì)量+生成的K2MnO4的質(zhì)量+生成的MnO2的質(zhì)量=0.04×(1-0.5) mol×158 g/mol+0.02×0.5 mol×197 g/mol+0.02×0.5 mol×87 g/mol=6 g。

有比較才有鑒別。下面是運(yùn)用整體法解答這道題的過(guò)程：

(1)根據(jù)電子得失守恒，整個(gè)過(guò)程中，+7價(jià)的Mn獲得的電子等于-2價(jià)的O和-1價(jià)的Cl失去的電子，則有：0.04×(7-2)=4a+2b，整理得a+b=0.1-a，因a的最大值為0.02，所以a+b的最小值為0.08。

(2)當(dāng)a+b=0.09時(shí)，即0.1-a=0.09，此時(shí)a=0.01。加熱后剩余固體的質(zhì)量=原KMnO4的質(zhì)量-放出的O2的質(zhì)量=0.04 mol×158 g/mol-0.01 mol×32 g/mol=6 g。

兩種方法放在一起對(duì)比，繁簡(jiǎn)不言自明。整體法是避開(kāi)局部細(xì)節(jié)，從整體的高度來(lái)綜合分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的方法。中學(xué)化學(xué)解題中常用到的質(zhì)量守恒、電荷守恒、電子得失守恒、物料守恒、質(zhì)子守恒、平均組成法等都在一定程度上體現(xiàn)了整體法的思想。

三、化學(xué)式的“重組”

3 333 333 333的平方是多少？

3 333 333 3332=3 333 333 333×3 333 333 333

=(3 333 333 333×3)×(3 333 333 333÷3)

=9 999 999 999×1 111 111 111

=(10 000 000 000-1)×1 111 111 111

=10 000 000 000×1 111 111 111-1×1 111 111 111

=11 111 111 110 000 000 000-1 111 111 111

=11 111 111 108 888 888 889

上面的運(yùn)算過(guò)程巧妙地運(yùn)用了“拆”和“組”。

中學(xué)化學(xué)中，化學(xué)式的“重組”也是一種常用的計(jì)算方法。請(qǐng)看下面幾個(gè)例子：

1.Na2O2與CO2、H2O反應(yīng)固體增重的計(jì)算

拓展：凡是分子組成符合(CO)n(H2)m形式的一種或幾種物質(zhì)，wg該物質(zhì)在O2中完全燃燒后，將其產(chǎn)物(CO2和水蒸氣)通過(guò)足量的Na2O2充分反應(yīng)后，固體增重必為wg。常見(jiàn)的符合這一關(guān)系的物質(zhì)有：(1)無(wú)機(jī)物：H2、CO及H2和CO的混合氣體；(2)有機(jī)物：CH3OH、HCHO、CH3COOH、HCOOCH3、CH3CH(OH)COOH(乳酸)、C6H12O6(葡萄糖)等。

2.有機(jī)物的燃燒計(jì)算

有機(jī)中，為了燃燒計(jì)算的簡(jiǎn)便，類似這種把化學(xué)式改寫(xiě)成氧化物的形式也時(shí)有出現(xiàn)，例如：

凡分子式符合通式[(CO)m(H2O)n](m、n均為正整數(shù))的有機(jī)物，在燃燒時(shí)消耗的O2與生成的CO2的體積比恒為1∶2。一般說(shuō)來(lái)，含C、H、O的有機(jī)物皆可寫(xiě)成[(CxOy)m(H2O)n]。當(dāng)x=y=N(N為自然數(shù))時(shí)，[(CxOy)m(H2O)n]即為[(CO)m(H2O)n]。

(1)若x=2,y=3，則此類有機(jī)物燃燒時(shí)消耗的O2與生成的CO2的體積比應(yīng)為_(kāi)_______。

(2)若消耗的O2與生成的CO2的體積比為3∶4，則此類有機(jī)物的通式應(yīng)寫(xiě)為_(kāi)_______，其中相對(duì)分子質(zhì)量最小的有機(jī)物的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)式為_(kāi)_______________。

(3)碳原子數(shù)相同的某兩種有機(jī)物[指(2)中提到的有機(jī)物]的相對(duì)分子質(zhì)量分別為a、b，且alt;b,則b-a必定是________(填一個(gè)數(shù)字)的整數(shù)倍。

(1)將x=2,y=3代入“(x-y/2)∶x”中，可得消耗的O2和生成的CO2的體積比為1∶4。

(2)因(x-y/2)∶x=3∶4,故x=2,y=1,這類有機(jī)物的通式為[(C2O)m(H2O)n]。當(dāng)m=n=1時(shí)，該類有機(jī)物的式量最小，所以該有機(jī)物的分子式為(C2O)(H2O)，即C2H2O2，其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)式為OHC—CHO。

(3)若符合通式[(C2O)m(H2O)n]的某兩種有機(jī)物的碳原子數(shù)相等而相對(duì)分子質(zhì)量不等，則兩種有機(jī)物的m值必相等而n值不等，顯而易見(jiàn)，二者的相對(duì)分子質(zhì)量之差(b-a)必為18的整數(shù)倍。

化學(xué)式的“重組”還可以舉出不少例子，如將Fe3O4改寫(xiě)成“Fe2O3·FeO”等。下面再看一道題：

( )

A.10.6 g B.5.3 g

C.15.9 g D.無(wú)法確定

解析：最后得到的固體成分是CaCO3和NaOH。將Na2CO3、NaHCO3改寫(xiě)成“Na2O·CO2”“NaOH·CO2”，CaO與“CO2”組合為CaCO3，那么就只有Na2O需要結(jié)合“H2O”了，由題意可知，結(jié)合的水為29 g-27.2 g=1.8 g，即0.1 mol。

原混合物中含Na2CO3的質(zhì)量為0.1 mol×106 g·mol-1=10.6 g。

湖南省婁底市第一中學(xué))