遼寧 鄭 金

通過專題歸納和分類解析，有助于深化理解和靈活應(yīng)用。

求解感應(yīng)電動勢的多種方法

一、勻強(qiáng)恒定磁場問題

磁場的強(qiáng)度和方向處處相同，不隨時間和空間而變化。

1.直線導(dǎo)體平動切割磁感線

直線導(dǎo)體在勻強(qiáng)磁場中平動，垂直切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢的公式為E=Blv，屬于動生電動勢。

【例1】如圖1所示，頂角為θ的金屬導(dǎo)軌MON固定在水平面內(nèi)，導(dǎo)軌處在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向豎直向下的勻強(qiáng)磁場中。一根與ON垂直的導(dǎo)體棒在水平外力作用下以恒定速度v0沿導(dǎo)軌向右滑動，導(dǎo)體棒的質(zhì)量為m，與導(dǎo)軌的接觸點(diǎn)為a和b，在滑動過程中始終保持與導(dǎo)軌良好接觸。導(dǎo)軌與導(dǎo)體棒單位長度的電阻均為r。當(dāng)t=0時，導(dǎo)體棒在頂角O處，求經(jīng)歷時間t的過程中電路產(chǎn)生的焦耳熱。

圖1

2.直導(dǎo)線繞圓心勻速轉(zhuǎn)動切割磁感線

在利用公式E=Blv求解感應(yīng)電動勢時，由于導(dǎo)體上各點(diǎn)的速度大小不同，是按導(dǎo)體棒上的不同位置到一端的距離而線性變化的，需求出速度對長度的平均值，其值等于導(dǎo)體棒中點(diǎn)的速度大小。

【例2】如圖2所示，兩個金屬圓環(huán)共軸放置，大圓半徑為R，小圓半徑為r，內(nèi)圓上一點(diǎn)M與外圓上一點(diǎn)N用一根導(dǎo)體棒相連，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場垂直于圓環(huán)所在平面且向外，若兩個圓環(huán)同時繞過圓心且與磁場方向平行的軸O以角速度ω沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，求MN兩點(diǎn)之間的電勢差。

圖2________________________圖3

【點(diǎn)評】解法1是求感應(yīng)電動勢的瞬時值，關(guān)鍵是求出導(dǎo)體棒MN切割磁感線的等效長度以及速度對長度的平均值即導(dǎo)體棒中點(diǎn)的速度大小，還要注意電勢高低的判斷。解法2是求感應(yīng)電動勢的平均值，所選擇的研究過程是一個周期，關(guān)鍵是計(jì)算導(dǎo)體棒MN掃過的面積以及運(yùn)動時間。

3.矩形線圈繞軸勻速轉(zhuǎn)動切割磁感線

【例3】如圖4所示，在勻強(qiáng)磁場中的矩形線圈勻速轉(zhuǎn)動的周期為T，轉(zhuǎn)軸O1O2垂直于磁場方向，線圈電阻為2 Ω。從線圈平面與磁場方向平行時開始計(jì)時，當(dāng)線圈轉(zhuǎn)過60°時的感應(yīng)電流為1 A，那么

( )

圖4

A.線圈消耗的電功率為4 W

B.線圈中感應(yīng)電流的有效值為2 A

【答案】AC

【點(diǎn)評】解題關(guān)鍵是判斷線圈產(chǎn)生正弦交變電流并寫出感應(yīng)電動勢的瞬時值表達(dá)式，然后利用已知條件求出感應(yīng)電動勢的瞬時值、最大值。要注意計(jì)時開始時線圈平面與磁感線的夾角、線圈平面轉(zhuǎn)過的角度以及瞬時值表達(dá)式中的角度三者之間的關(guān)系。

二、非勻強(qiáng)恒定磁場問題

磁感應(yīng)強(qiáng)度隨空間而變化，但不隨時間而變化。

1.輻射狀磁感線

【例4】如圖5所示，很長的光滑磁棒豎直固定在水平面上，在它的側(cè)面產(chǎn)生水平向外的輻射狀的磁場，有一個質(zhì)量為m的圓形線圈，半徑為r，電阻為R，讓水平線圈從磁棒上端由靜止釋放，線圈所在處的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，重力加速度為g，不計(jì)感應(yīng)電流對磁場的影響，求線圈下落過程中的最大速度vm。

圖5

【點(diǎn)評】該題利用公式E=Blv求解感應(yīng)電動勢，但磁場不是勻強(qiáng)磁場，切割磁感線的導(dǎo)體也不是直線，解題關(guān)鍵是利用了微元法，把線圈視為很多小段直導(dǎo)線垂直切割磁感線，再由疊加法求出整個線圈產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢以及受到的安培力。線圈切割磁感線而產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，屬于動生感應(yīng)電動勢。

(5)不考慮測量誤差時，使用未處理的T矩陣辨識出的結(jié)構(gòu)誤差與理想值之間的最大差值為1.5 mm，考慮測量誤差時，誤差辨識精度進(jìn)一步降低，在此不再列圖。

2.磁感應(yīng)強(qiáng)度在某一方向隨空間線性變化

磁場不隨時間而變化，但在空間上分布不均勻，在某一方向上隨空間線性增強(qiáng)或減弱。

圖6

【點(diǎn)評】該題利用公式E=Blv求解感應(yīng)電動勢，但磁場不是勻強(qiáng)磁場，由于磁場隨空間均勻變化，因此需求出線框兩個邊切割磁感線時產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢的大小和方向，即可得出總電動勢。由磁場空間變化率和空間距離可算出磁感應(yīng)強(qiáng)度變化量為ΔB=B2-B1=kl。

三、勻變磁場問題

1.勻強(qiáng)磁場隨時間均勻變化問題

【例6】如圖7所示，水平放置的固定平行導(dǎo)軌間距為L，導(dǎo)軌一端連接阻值為R的電阻，一根導(dǎo)體棒垂直導(dǎo)軌放在導(dǎo)軌上，導(dǎo)體棒和導(dǎo)軌電阻不計(jì)，摩擦不計(jì)，整個裝置處在豎直向下的勻強(qiáng)磁場中，磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時間的變化規(guī)律為B=B0+kt，其中k是大于零的常數(shù)。導(dǎo)體棒ab在水平外力的作用下，以速度v沿導(dǎo)軌向左做勻速運(yùn)動，t=0時，導(dǎo)體棒ab與MN相距為d，求在時間t0時電路的感應(yīng)電動勢。

圖7

【解法1】由于ab勻速運(yùn)動，則產(chǎn)生的動生電動勢E1=BLv，即t=t0時刻E1=Lv(B0+kt0)。

又因?yàn)榛芈分写鸥袘?yīng)強(qiáng)度隨時間均勻增加，則還要產(chǎn)生感生電動勢，瞬時值為

根據(jù)右手定則和楞次定律可知，兩個電動式的方向是相反的，所以回路中的感應(yīng)電動勢為

E=E2-E1=kLd-LvB0-2kLvt0。

【解法2】在t時刻的磁通量為

Φ=BS=(B+kt)·L(d-vt)=kLdt-kLvt2，

四、按正弦規(guī)律變化的磁場問題

勻強(qiáng)磁場隨時間按正弦或余弦函數(shù)規(guī)律變化，則穿過線圈的磁通量按正弦函數(shù)或余弦函數(shù)規(guī)律變化，等效于線圈在勻強(qiáng)磁場中繞軸勻速轉(zhuǎn)動產(chǎn)生正弦交流電。但產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢為感生電動勢。

【例7】如圖8所示，勻強(qiáng)磁場中有一矩形閉合線圈abcd，線圈平面與磁場垂直。已知線圈的匝數(shù)N=100，邊長ab=1.0 m，bc=0.5 m，電阻R=2 Ω。若磁場按Bt=Bcosωt規(guī)律變化，在0～1 s內(nèi)從0.2 T變化到零，求此過程中線圈上產(chǎn)生的焦耳熱Q。

圖8

【點(diǎn)評】解題關(guān)鍵是判斷按余弦規(guī)律變化的磁場產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢為正弦交流電動勢。只有求出周期才能求出最大值和有效值。而感應(yīng)電動勢的最大值公式為Em=NBSω。雖然還可利用法拉第電磁感應(yīng)定律求出感應(yīng)電動勢的平均值，但不能由此計(jì)算熱量。

遼寧省凌源市職教中心)