吳鴻濤+官浩

摘要：建立了一類三自由度碰撞振動系統(tǒng)的非線性動力學模型，利用變步長龍格庫塔法對系統(tǒng)在某一組確定參數(shù)下的運動微分方程進行了數(shù)值求解，通過分析系統(tǒng)在確定參數(shù)下的分岔圖、相圖及Poincaré映射圖，分析了系統(tǒng)在的動力學特性，在此基礎(chǔ)上研究了參數(shù)對系統(tǒng)的動力學影響，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)在該參數(shù)下的周期運動和Hopf分岔現(xiàn)象，以及在Hopf分岔過程中出現(xiàn)的混沌激變。

關(guān)鍵詞：非線性動力學；碰撞振動； Hopf分岔；

0 引言

碰撞振動系統(tǒng)的動力學分析在非線性系統(tǒng)分析中非常常見，今年來，學科內(nèi)很多學者都對碰撞-振動系統(tǒng)和Hopf分岔現(xiàn)象進行了深入的研究。羅冠煒[1]通過解析的方法分析了兩自由度系統(tǒng)的穩(wěn)定性和周期運動，并通過數(shù)值計算方法，對該解析解進行了驗證；李朝峰[2]應(yīng)用有限元法建立了碰撞-摩擦系統(tǒng)的數(shù)學模型，并分析了碰摩轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的碰摩間隙和摩擦系數(shù)對周期運動穩(wěn)定性的影響；何瑋[3]對高維多參數(shù)復雜約束系統(tǒng)的Hopf分岔做了研究。

在涉及到3自由度碰振系統(tǒng)的建模時，除了考慮碰撞的單邊情況，還應(yīng)對雙邊碰撞的情況有所涉及。本文以考慮雙邊碰撞的3自由度系統(tǒng)模型為對象，通過數(shù)值分析的方法對系統(tǒng)在兩組確定參數(shù)下的Hopf分岔現(xiàn)象的分析，揭示了3自由度系統(tǒng)在激振頻率變化過程中，系統(tǒng)的響應(yīng)變化，Hopf分岔通往混沌狀態(tài)過程中的激變，以及系統(tǒng)的混沌運動現(xiàn)象。

1 三自由度碰撞振動系統(tǒng)的數(shù)學模型

圖1為一類三自由度雙側(cè)剛性約束的碰撞振動系統(tǒng)的動力學模型。 、 、 為質(zhì)量塊的質(zhì)量， 、 、 為線性彈簧的剛度， 、 、 為線性阻尼器連接的阻尼系數(shù)。假設(shè)水平面為絕對光滑，即水平面與質(zhì)量塊間無摩擦力，質(zhì)量塊只在水平面做往復運動，并分別受到簡諧激振力 （i=1，2，3）的作用。當質(zhì)量塊 的位移 等于間隙值B時，質(zhì)量塊 將與剛性約束A發(fā)生碰撞，在碰撞瞬時改變速度后又以新的速度運動，當質(zhì)量塊 的位移 等于間隙值D時，質(zhì)量塊 又與剛性約束B發(fā)生碰撞，在碰撞瞬時改變速度后又以新的速度運動，循環(huán)往復。假定系統(tǒng)中的阻尼為Rayleigh型比例阻尼，碰撞過程由恢復系數(shù)R確定。

圖1：三自由度碰撞振動系統(tǒng)的動力學模型

根據(jù)牛頓第二定律，得到系統(tǒng)在任意兩次碰撞之間的運動方程的無量綱形式為：

方程1.1中，"·"表示時間t的導數(shù)，假設(shè) 、 均不為零，上述方程中的無量綱量為：

其中

質(zhì)量塊M1的碰撞方程為：

其中 分別為振子m1 與平面A和B碰撞前后的瞬時速度。

該系統(tǒng)的運動情況為：質(zhì)量塊m1、m2 、m3 分別在簡諧激振力的作用下，做往復運動，質(zhì)量塊m1 在于A面接觸后，發(fā)生彈性碰撞，速度瞬間改變，隨后以新的速度繼續(xù)運動，回彈至B面時，依然發(fā)生彈性碰撞，碰撞后又以新的速度繼續(xù)運動。

2 三自由度振動系統(tǒng)的響應(yīng)分析

選取無量綱參數(shù)的值為：激振頻率的振幅 ；質(zhì)量塊 ；阻尼比 ， ， ；彈簧的勁度系數(shù) ， ， ；取激振頻率 進行數(shù)值計算。得到在系統(tǒng)中，質(zhì)量塊的速度隨激振頻率變化的分岔圖如圖2所示。圖3為局部放大的分岔圖。圖中橫坐標為激振頻率，縱坐標為質(zhì)量塊 的位移。從圖中可以看出，隨著激振頻率的減小，系統(tǒng)分別出現(xiàn)周期1運動-Hopf分岔-周期1運動-倍化分岔-混沌-周期窗口等動力學行為。

圖2 系統(tǒng)隨激振頻率變化的分岔圖

為更清晰的展示系統(tǒng)在Hopf分岔時的動力學特性，圖4給出了在不同激振頻率取值下統(tǒng)的Poincaré映射圖。圖橫坐標為質(zhì)塊 的速度，縱坐標為質(zhì)塊 的速度。

由圖4可以觀察出，當 時，系統(tǒng)響應(yīng)為穩(wěn)定的周期1運動，當 減小3.22時，周期1運動變得不穩(wěn)定，形成吸引子，隨著 的繼續(xù)減小，明顯觀察出系統(tǒng)的周期1吸引子發(fā)生擴散，至 時，周期1運動沿清晰的吸引軌道吸引至光滑的Hopf環(huán)，Hopf環(huán)隨著 的減小，形狀逐漸變大，最終表面產(chǎn)生不光滑的褶皺，Poincaré映射圖的拓撲結(jié)構(gòu)發(fā)生改變進而通向混沌。在 左右時，系統(tǒng)瞬間激變轉(zhuǎn)至周期1運動，并出現(xiàn)了周期倍化分岔。

圖3系統(tǒng)Poincare映射圖

在 系統(tǒng)的混沌運動區(qū)間內(nèi)，出現(xiàn)了一段短暫的周期為三的周期窗口，截面圖和相圖如圖4所示。圖橫坐標為質(zhì)塊 的速度，縱坐標為質(zhì)塊 的速度。

4 結(jié)論

本文建立了三自由度雙邊剛性約束系統(tǒng)的非線性動力學模型，分析了此類模型在兩組參數(shù)下系統(tǒng)動力學行為的影響。分析結(jié)果表明：

1.該系統(tǒng)在激振力變化時，出現(xiàn)Hopf分岔是比較常見的一種情況；

2.概周期運動狀態(tài)的Hopf環(huán)是不穩(wěn)定的，可能會出現(xiàn)Hopf環(huán)的褶皺、畸變，并最終通往混沌；

3.經(jīng)由Hopf分岔所達到的混沌狀態(tài)可能會出現(xiàn)周期窗口，本文出現(xiàn)了周期窗口的周期為3。

Hopf分岔一直以來是一個比較經(jīng)典的研究方向，Hopf分岔通往混沌的道路多種多樣，Hopf分岔過程中除了上述兩種情況，還有不穩(wěn)定Hopf環(huán)等常見的動力學特性，本文的后續(xù)研究工作，會圍繞不穩(wěn)定Hopf分岔繼續(xù)進行。

參考文獻

[1] 羅冠煒. 兩自由度塑性碰撞振動系統(tǒng)的周期運動與穩(wěn)定性 [J]. 蘭 州 大 學 學 報 （ 自 然 科 學 版 ）， 2000， 36（3）： 61-66.

[2] 李朝峰，孫偉，聞邦椿.兩處碰摩高維轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的周期運動穩(wěn)定性分析[J].振動與沖擊， 2010， s， 143-145.

[3] 何瑋.高維多參數(shù)復雜約束系統(tǒng)的Hopf分岔與混沌[J].甘肅科技縱橫，2005（3）：103-108.

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