摘要 本文是討論關(guān)于濃度與顏色讀數(shù)之間的關(guān)系的問題，我們闡述了顏色讀數(shù)的各個(gè)分量間的相互關(guān)系，建立了多元線性回歸模型和二次回歸模型，并對(duì)模型進(jìn)行了誤差分析和優(yōu)化，從而驗(yàn)證了模型的有效性和精確性。模型的在化學(xué)元素檢測(cè)實(shí)驗(yàn)中有一定的參考價(jià)值。

關(guān)鍵字 濃度 顏色讀數(shù) 線性回歸模型 誤差分析

問題的重述

比色法是目前常用的一種檢測(cè)物質(zhì)濃度的方法，即把待測(cè)物質(zhì)制備成溶液后滴在特定的白色試紙表面，等其充分反應(yīng)以后獲得一張有顏色的試紙，再把該顏色試紙與一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)比色卡進(jìn)行對(duì)比，就可以確定待測(cè)物質(zhì)的濃度檔位了。由于每個(gè)人對(duì)顏色的敏感差異和觀測(cè)誤差，使得這一方法在精度上受到很大影響。隨著照相技術(shù)和顏色分辨率的提高，希望建立顏色讀數(shù)和物質(zhì)濃度的數(shù)量關(guān)系，即只要輸入照片中的顏色讀數(shù)就能夠獲得待測(cè)物質(zhì)的濃度。試根據(jù)附件所提供的有關(guān)顏色讀數(shù)和物質(zhì)濃度數(shù)據(jù)（參考2017年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽C題附件[1]），下表為其中一小部分?jǐn)?shù)據(jù)：

完成下列問題：

（1）附件Data1.xls中分別給出了5種物質(zhì)在不同濃度下的顏色讀數(shù)，討論從這5組數(shù)據(jù)中能否確定顏色讀數(shù)和物質(zhì)濃度之間的關(guān)系，并給出一些準(zhǔn)則來評(píng)價(jià)這5組數(shù)據(jù)的優(yōu)劣。

（2）對(duì)附件Data2.xls中的數(shù)據(jù)，建立顏色讀數(shù)和物質(zhì)濃度的數(shù)學(xué)模型，并給出模型的誤差分析。

模型假設(shè)

（1）數(shù)據(jù)真實(shí)可靠。

（2）數(shù)據(jù)的采集符合統(tǒng)計(jì)學(xué)原理。

（3）H和S的數(shù)據(jù)作了適當(dāng)?shù)木€性變換，并沒有進(jìn)行隨意采取。

3、問題的分析與準(zhǔn)備

3.1 RGB顏色空間

RGB顏色空間是采用R、G、B相加混色的原理，通過發(fā)射紅、綠、藍(lán)三種不同強(qiáng)度的電子束，疊加而產(chǎn)生色彩的。這種色彩的表示方法稱為RGB色彩空間表示。根據(jù)三基色原理，用基色光單位來表示光的量，則在RGB色彩空間，任意色光F都可以用R、G、B三色不同分量混合而成：

F=rR+gG+bB

特別地，當(dāng)三基色分量都為最弱時(shí)混合為黑色光；當(dāng)三基色分量都為最強(qiáng)時(shí)混合為白色光。RGB色彩空間采用 物理三基色表示，因而物理意義很清楚，適合彩色顯象管工作。然而RGB色彩空間并不適應(yīng)人的視覺特點(diǎn)，因而產(chǎn)生了其它不同的色彩空間。

3.2 HSV顏色空間

HSV（hue，saturation，value）顏色空間的模型對(duì)應(yīng)于圓柱坐標(biāo)系中的一個(gè)圓錐形子集（如圖），可以用一個(gè)圓錐空間模型來描述。

HSB（HSV） 通過色相/飽和度/亮度三要素來表達(dá)顏色.

H（Hue）：表示顏色的類型（例如紅色，綠色或者黃色）.取值范圍為0-360.其中每一個(gè)值代表一種顏色.

S（Saturation）：顏色的飽和度.從0到1.有時(shí)候也稱為純度.

B（Brightness or Value）：顏色的明亮程度.從0到1.

HSV色彩空間和RGB色彩空間只是同一物理量的不同表示法，因而它們之間存在著相互轉(zhuǎn)換關(guān)系。

3.3 從 RGB 到HSV的轉(zhuǎn)換

在所給的數(shù)據(jù)中顏色讀數(shù)（R G B H S）和（R G B）其實(shí)確定同一種顏色，因此顏色讀數(shù)與濃度的關(guān)系其實(shí)就是（R G B）與濃度的關(guān)系，這也將顏色讀數(shù)的維數(shù)從5維降到了3維，這可以大大提高模型的質(zhì)量。

關(guān)于數(shù)據(jù)的處理與說明

由于R，G，B與H，S，V可以相互轉(zhuǎn)化，該問題中濃度與顏色讀數(shù)的關(guān)系模型如下：

L=F（R，G，B，H，S）=W（R，G，B）+H+S-H（R，G，B）-S（R，G，B）

因此該問題簡(jiǎn)化成求L與R，G，B之間的關(guān)系模型W（R，G，B）。

但是數(shù)據(jù)Data2.xls中關(guān)于H與S的部分根據(jù)函數(shù)H（R，G，B）和S（R，G，B）算得的H和S并不與真實(shí)數(shù)據(jù)一致，根據(jù)數(shù)據(jù)其中的線性關(guān)系，更像是人為的對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行了線性變換，我們可以對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行簡(jiǎn)單的線性擬合，從而找回與數(shù)據(jù)中相匹配的可靠數(shù)據(jù)，因此，實(shí)際上以上模型應(yīng)改為：

L=F（R，G，B，H，S）=W（R，G，B）+H+S-αH（R，G，B）-βS（R，G，B）+γ

其中α，β，γ可以用線性擬合求得。數(shù)據(jù)表Data1中用R，G，B求相匹配的H，S的結(jié)果可以用多項(xiàng)式擬合簡(jiǎn)單得到。接下來的論述都是以建立L與R，G，B的關(guān)系為主要任務(wù)。

4、模型的建立與求解

4.1 模型一 線性回歸模型

4.1.1模型建立

在分析數(shù)據(jù)Data1.xls時(shí)，畫出（B，L）（G，L）（R，L）的散點(diǎn)圖，我們發(fā)現(xiàn)其中數(shù)據(jù)基本呈現(xiàn)線性關(guān)系。因此針對(duì)數(shù)據(jù)data1.xls建立如下線性回歸模型：

其中L為物質(zhì)的濃度，R，G，B為回歸自變量， 為回歸系數(shù)。

4.1.2模型求解

利用MATLAB統(tǒng)計(jì)工具箱中的命令regress求解，data為自變量與應(yīng)變量的數(shù)據(jù)，應(yīng)變量數(shù)據(jù)放第一列，這里數(shù)據(jù)太多就不全部列出了，其命令參照以下代碼：

x1=data（：，2）；

x2=data（：，3）；

x3=data（：，4）；

y=data（：，1）；

x4=[ones（10，1）]；

x=[x4，x1，x2，x3]；

[b，bint，r，rint，stats]=regress（y，x）

for i=1：10

L（i）=b（1）+b（2）*data（i，2）+b（3）*data（i，3）+b（4）*data（i，4）；endprint

end

L

得到模型一回歸系數(shù)的估計(jì)值、置信區(qū)間、 、F、p等結(jié)果見表1。

表1

問題一中的濃度與顏色讀數(shù)的關(guān)系為下列5個(gè)模型：

組胺：L=182.3872-0.1718R-2.2888G+0.6512B

溴酸鉀：L=152.2913-1.3663R+7.4619G-7.187B

工業(yè)堿：L=15.5381+0.06R-0.0404G-0.1013B

硫酸鋁鉀：L=7.7733+0.0366R-0.1022G+0.0049B

奶中尿素：L=13891.00649-112.303876R-0.20865303G-2.20340476B

4.1.3比較數(shù)據(jù)的優(yōu)劣

數(shù)據(jù)Data1.xls中5組數(shù)據(jù)分別用模型一進(jìn)行線性回歸，求得每個(gè)樣本的L的回歸值，并相應(yīng)求出絕對(duì)誤差，最后求出相對(duì)平均誤差和誤差方差。每組數(shù)據(jù)的相對(duì)平均誤差定義為：

表2

對(duì)于數(shù)據(jù)的優(yōu)劣我們主要依據(jù)估計(jì)量回歸的誤差分析，一般誤差的均值水平越低說明數(shù)據(jù)回歸的精確度比較高，誤差的方差越小說明數(shù)據(jù)抗干擾能力越強(qiáng)，但由于選取樣本點(diǎn)濃度的大小水平不一，因此為了更公平衡量數(shù)據(jù)質(zhì)量，引進(jìn)了相對(duì)與平均濃度的相對(duì)平均誤差 w ？，可見5組數(shù)據(jù)中組胺這組最優(yōu)，而奶中尿素這組最劣，其他組相對(duì)中等，具體要看實(shí)驗(yàn)的敏感度的要求而定，我們討論的結(jié)果只是其中的相對(duì)比較。

4.2模型二 二次回歸模型

在分析數(shù)據(jù)Data2.xls時(shí)，畫出（B，L）、（G，L）、（R，L）的散點(diǎn)圖，我們發(fā)現(xiàn)其中數(shù)據(jù)基本呈現(xiàn)曲線的形狀，也可能近似于二次函數(shù)。本文采用3維二次函數(shù)窮舉優(yōu)化的方法[4]，最終確定以結(jié)果的可行性、誤差、方差所作的綜合評(píng)價(jià)為依據(jù)的最優(yōu)模型。

4.2.1建立模型

s.t 模型可行性、平均誤差最小、誤差方差最小.

4.2.2模型求解

該模型中各個(gè)分模型都可以利用MATLAB統(tǒng)計(jì)工具箱中的命令regress求解， data為自變量與應(yīng)變量的數(shù)據(jù)，應(yīng)變量數(shù)據(jù)放第一列，這里數(shù)據(jù)太多就不列出了，以下命令為線性回歸完全二次方程的命令，其他幾個(gè)只要修改一下x即可。

x1=data（：，2）；

x2=data（：，3）；

x3=data（：，4）；

x4=x1.^2；

x5=x2.^2；

x6=x3.^2；

x7=x1.*x2；

x8=x1.*x3；

x9=x2.*x3；y=data（：，1）；

x10=[ones（25，1）]；

x=[x10，x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9]；

[b，bint，r，rint，stats]=regress（y，x）

for i=1：25 L（i）=b（1）+b（2）*data（i，2）+b（3）*data（i，3）+b（4）*data（i，4）+b（5）*（data（i，2））^2+b（6）*（data（i，3））^2+b（7）*（data（i，4））^2+b（8）*data（i，2）*data（i，3）+b（9）*data（i，2）*data（i，4）+b（10）*data（i，3）*data（i，4）；

end

L

其主要數(shù)據(jù)列在下表：

從R^2、F、p可以看到8個(gè)模型都是可用，并且完全二次模型R^2=0.99057，說明該模型回歸質(zhì)量更好，其次看它們的平均誤差與誤差的方差完全二次模型明顯更小，根據(jù)以上比較，確定二次模型中，完全二次模型最好，并求得L與R，G，B之間的關(guān)系滿足以下完全二次模型：

L=146640.8869-2288.20429R+460.1482G-83.0718B+〖10.63497R〗^2+0.973G^2+0.3904B^2-5.6242RG-0.9313RB+0.7849GB

4.2.3誤差分析

根據(jù)上式，用MATLAB求得樣本的回歸值、絕對(duì)誤差、平均誤差、誤差方差[3]如下表：

從絕對(duì)誤差可以看到誤差與估計(jì)量的大小無單調(diào)相關(guān)性，但大誤差在中間部分20、30、50時(shí)明顯分布較多，兩頭的誤差較小，最大誤差為8.4444，最小誤差為0.0431，可以看到并非基數(shù)越大誤差越大，基數(shù)越小誤差越小，與基數(shù)無關(guān)，平均誤差為3.873604，誤差的方差為3.150453。

5、模型推廣與評(píng)價(jià)

模型僅針對(duì)該問題作了線性回歸和二次回歸，并沒有去考慮其它非線性回歸的方法，在其它模型類型方面可能還會(huì)有更好的模型，但是作為本文中的模型，方法正確，結(jié)果明確，也具有一定的價(jià)值，期待以后會(huì)有更好更正確的認(rèn)識(shí)。

6、參考文獻(xiàn)

[1] http：//mcm.blyun.com/

[2]http：//blog.csdn.net/xhhjin/article/details/7020449

http：//zhouqingfeidie.blog.163.com/blog/static/301717722011112395956592/

[3]吳建國.數(shù)學(xué)建模案例精編[M].北京：中國水利水電出版社，2005.

[4]姜啟源，謝金星，葉俊.數(shù)學(xué)模型[M].北京：高等教育出版社：三版，2003.

作者簡(jiǎn)介：

王金生（1980-1-2），男，漢族，浙江金華人，講師，湖南師范大學(xué)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)專業(yè)碩士，主要從事動(dòng)力系統(tǒng)和數(shù)學(xué)建模方面的研究。endprint