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        生活中的二次函數(shù)

        2017-12-11 14:20:23王振玲
        初中生世界·九年級(jí) 2017年11期
        關(guān)鍵詞:毛利潤(rùn)扣球總費(fèi)用

        隨著人類文明不斷進(jìn)步,數(shù)學(xué)生活化、生活數(shù)學(xué)化越來(lái)越明顯,現(xiàn)代數(shù)學(xué)以技術(shù)化的方式迅速影響到人們?nèi)粘I畹母鱾€(gè)領(lǐng)域,生活中也越來(lái)越需要數(shù)學(xué),數(shù)學(xué)遍布人們的衣、食、住、行等各方面.下面我們就一起來(lái)領(lǐng)略生活中的二次函數(shù).

        一、二次函數(shù)與利潤(rùn)

        利用二次函數(shù)的性質(zhì)可以幫助我們解決生活中的最大利潤(rùn)問(wèn)題,這種問(wèn)題也是中考中常見(jiàn)的熱點(diǎn)題型.

        例1 某商場(chǎng)以每件42元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一種服裝,由試銷知,每天的銷售量t(件)與每件的銷售價(jià)x(元/件)之間的函數(shù)關(guān)系為t=-3x+204.

        (1)寫(xiě)出商場(chǎng)每天銷售這種服裝的毛利潤(rùn)y(元)與每件的銷售價(jià)x(元)之間的函數(shù)關(guān)系.

        (2)商場(chǎng)要想每天獲得最大銷售毛利潤(rùn),每件的銷售價(jià)應(yīng)定為多少元?最大銷售毛利潤(rùn)為多少?

        【解答】(1)由題意,銷售利潤(rùn)y(元)與每件的銷售價(jià)x(元)之間的函數(shù)關(guān)系為:y=(x-42)(-3x+204),即y=-3x2+330x-8568.

        (2)配方得y=-3(x-55)2+507.故當(dāng)每件的銷售價(jià)為55元時(shí),可取得最大銷售毛利潤(rùn),每天最大銷售毛利潤(rùn)為507元.

        【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)在實(shí)際生活中的應(yīng)用.最大銷售利潤(rùn)的問(wèn)題常根據(jù)銷售利潤(rùn)=(售價(jià)-成本)×銷售量列出函數(shù)關(guān)系式,利用函數(shù)的增減性來(lái)解答,我們首先要吃透題意,確定變量,建立函數(shù)模型,然后結(jié)合實(shí)際選擇最優(yōu)方案,從而得最大值(或最小值).

        例2 某賓館有100張床位,每床每晚收費(fèi)100元,客床可全部租出,若每床每晚每次收費(fèi)提高20元,則減少10張床位租出;以每次提高20元這種方法變化下去,為了投資少且獲利多,每床每晚應(yīng)提高多少元?

        【解答】設(shè)每床每晚收費(fèi)應(yīng)提高x個(gè)20元,獲得利潤(rùn)為y元,y=(100+20x)(100-10x)=

        -200(x-[52])2+11250,∵x取整數(shù),∴當(dāng)x=2或3時(shí),y最大,當(dāng)x=3時(shí),每床收費(fèi)提高60元,床位最少,即投資少,∴為了投資少而獲利大,每床每晚收費(fèi)應(yīng)提高60元.

        【點(diǎn)評(píng)】此題要注意應(yīng)該在自變量的取值范圍內(nèi)求最大值(或最小值),也就是說(shuō)二次函數(shù)的最值不一定在x=[-b2a]時(shí)取得.

        例3 某企業(yè)信息部進(jìn)行市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn):

        信息一:如果單獨(dú)投資A種產(chǎn)品,則所獲利潤(rùn)yA(萬(wàn)元)與投資金額x(萬(wàn)元)之間存在正比例函數(shù)關(guān)系:yA=kx,并且當(dāng)投資5萬(wàn)元時(shí),可獲利潤(rùn)2萬(wàn)元.

        信息二:如果單獨(dú)投資B種產(chǎn)品,則所獲利潤(rùn)yB(萬(wàn)元)與投資金額x(萬(wàn)元)之間存在二次函數(shù)關(guān)系:yB=ax2+bx,并且當(dāng)投資2萬(wàn)元時(shí),可獲利潤(rùn)2.4萬(wàn)元;當(dāng)投資4萬(wàn)元時(shí),可獲利潤(rùn)3.2萬(wàn)元.

        (1)請(qǐng)分別求出上述的正比例函數(shù)表達(dá)式與二次函數(shù)表達(dá)式;

        (2)如果企業(yè)同時(shí)對(duì)A,B兩種產(chǎn)品共投資10萬(wàn)元,請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)能獲得最大利潤(rùn)的投資方案,并求出按此方案能獲得的最大利潤(rùn)是多少?

        【解答】(1)當(dāng)x=5時(shí),yA=2,則2=5k,

        解得k=0.4,∴yA=0.4x;

        當(dāng)x=2時(shí),yB=2.4;當(dāng)x=4時(shí),yB=3.2,

        [2.4=4a+2b,3.2=16a+4b,]解得[a=-0.2,b=1.6.]

        ∴yB=-0.2x2+1.6x.

        (2)設(shè)投資B種商品x萬(wàn)元,則投資A種商品(10-x)萬(wàn)元,獲得利潤(rùn)W萬(wàn)元,

        根據(jù)題意可得:

        W=0.4(10-x)+(-0.2x2+1.6x),

        ∴W=-0.2(x-3)2+5.8,

        所以投資A種商品7萬(wàn)元,B種商品3萬(wàn)元,這樣投資可以獲得最大利潤(rùn)5.8萬(wàn)元.

        【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)的綜合應(yīng)用,屬于雙函數(shù)的問(wèn)題.第(2)問(wèn)中要注意當(dāng)設(shè)投資B種商品為x萬(wàn)元時(shí),yA=0.4x中的自變量為10-x;為防止混淆,也可以換個(gè)字母,如可設(shè)投資B種商品m萬(wàn)元.

        二、二次函數(shù)與旅游

        “世界那么大,我想去看看”一句話紅遍網(wǎng)絡(luò),如今隨著人們生活水平的提高,各景點(diǎn)要接待的游客也逐漸增加.

        例4 某景點(diǎn)試開(kāi)放期間,團(tuán)隊(duì)收費(fèi)方案如下:不超過(guò)30人時(shí),人均收費(fèi)120元;超過(guò)30人且不超過(guò)m(30

        (1)求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式;

        (2)景點(diǎn)工作人員發(fā)現(xiàn):當(dāng)接待某團(tuán)隊(duì)人數(shù)超過(guò)一定數(shù)量時(shí),會(huì)出現(xiàn)隨著人數(shù)的增加收取的總費(fèi)用反而減少這一現(xiàn)象.為了讓收取的總費(fèi)用隨著團(tuán)隊(duì)中人數(shù)的增加而增加,求m的取值范圍.

        【解答】

        (1)y=[120x 0

        (2)由(1)可知當(dāng)0

        【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用、分段函數(shù)等知識(shí).問(wèn)題(1)需要分0

        三、二次函數(shù)與運(yùn)動(dòng)

        運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,人、球或其他物體在某一段過(guò)程形成的軌跡可看成拋物線.

        例5 甲、乙兩人羽毛球比賽,甲發(fā)出一個(gè)十分關(guān)鍵的球,出手點(diǎn)為P,羽毛球飛行的水平距離s(m)與其距地面高度h(m)之間的關(guān)系式為h=[-112]s2+[23]s+[32].如圖,已知球網(wǎng)AB距原點(diǎn)5m,乙(用線段CD表示)扣球的最大高度為[94]m,設(shè)乙的起跳點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為a,若乙原地起跳,因球的高度高于乙扣球的最大高度而導(dǎo)致接球失敗.(1)求羽毛球出手時(shí)的高度;(2)求a的取值范圍.

        【解答】(1)令解析式中s=0時(shí),h=[32],則羽毛球的出手點(diǎn)高度為1.5m.

        (2)令解析式中h=2.25,得a=4±[7].但扣球點(diǎn)必須在球網(wǎng)右邊,即a>5,∴a=4-[7]舍去,由于乙原地起跳,因球的高度高于乙扣球的最大高度而導(dǎo)致接球失敗,∴5

        【點(diǎn)評(píng)】第(1)問(wèn)求出函數(shù)圖像與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可得到結(jié)果.第(2)問(wèn)先求乙恰好扣中的情況,由于乙原地起跳,因球的高度高于乙扣球的最大高度而導(dǎo)致接球失敗,說(shuō)明乙站到了恰好扣中的那個(gè)點(diǎn)和網(wǎng)之間.在利用二次函數(shù)解決生活實(shí)際問(wèn)題時(shí),如果題中未給出平面直角坐標(biāo)系,還需要根據(jù)實(shí)際情況建立合適的坐標(biāo)系再進(jìn)行解答.

        (作者單位:江蘇省宿遷市宿豫區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué))

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