隨著人類文明不斷進步,數(shù)學(xué)生活化、生活數(shù)學(xué)化越來越明顯,現(xiàn)代數(shù)學(xué)以技術(shù)化的方式迅速影響到人們?nèi)粘I畹母鱾€領(lǐng)域,生活中也越來越需要數(shù)學(xué),數(shù)學(xué)遍布人們的衣、食、住、行等各方面.下面我們就一起來領(lǐng)略生活中的二次函數(shù).
一、二次函數(shù)與利潤
利用二次函數(shù)的性質(zhì)可以幫助我們解決生活中的最大利潤問題,這種問題也是中考中常見的熱點題型.
例1 某商場以每件42元的價格購進一種服裝,由試銷知,每天的銷售量t(件)與每件的銷售價x(元/件)之間的函數(shù)關(guān)系為t=-3x+204.
(1)寫出商場每天銷售這種服裝的毛利潤y(元)與每件的銷售價x(元)之間的函數(shù)關(guān)系.
(2)商場要想每天獲得最大銷售毛利潤,每件的銷售價應(yīng)定為多少元?最大銷售毛利潤為多少?
【解答】(1)由題意,銷售利潤y(元)與每件的銷售價x(元)之間的函數(shù)關(guān)系為:y=(x-42)(-3x+204),即y=-3x2+330x-8568.
(2)配方得y=-3(x-55)2+507.故當(dāng)每件的銷售價為55元時,可取得最大銷售毛利潤,每天最大銷售毛利潤為507元.
【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)在實際生活中的應(yīng)用.最大銷售利潤的問題常根據(jù)銷售利潤=(售價-成本)×銷售量列出函數(shù)關(guān)系式,利用函數(shù)的增減性來解答,我們首先要吃透題意,確定變量,建立函數(shù)模型,然后結(jié)合實際選擇最優(yōu)方案,從而得最大值(或最小值).
例2 某賓館有100張床位,每床每晚收費100元,客床可全部租出,若每床每晚每次收費提高20元,則減少10張床位租出;以每次提高20元這種方法變化下去,為了投資少且獲利多,每床每晚應(yīng)提高多少元?
【解答】設(shè)每床每晚收費應(yīng)提高x個20元,獲得利潤為y元,y=(100+20x)(100-10x)=
-200(x-[52])2+11250,∵x取整數(shù),∴當(dāng)x=2或3時,y最大,當(dāng)x=3時,每床收費提高60元,床位最少,即投資少,∴為了投資少而獲利大,每床每晚收費應(yīng)提高60元.
【點評】此題要注意應(yīng)該在自變量的取值范圍內(nèi)求最大值(或最小值),也就是說二次函數(shù)的最值不一定在x=[-b2a]時取得.
例3 某企業(yè)信息部進行市場調(diào)研發(fā)現(xiàn):
信息一:如果單獨投資A種產(chǎn)品,則所獲利潤yA(萬元)與投資金額x(萬元)之間存在正比例函數(shù)關(guān)系:yA=kx,并且當(dāng)投資5萬元時,可獲利潤2萬元.
信息二:如果單獨投資B種產(chǎn)品,則所獲利潤yB(萬元)與投資金額x(萬元)之間存在二次函數(shù)關(guān)系:yB=ax2+bx,并且當(dāng)投資2萬元時,可獲利潤2.4萬元;當(dāng)投資4萬元時,可獲利潤3.2萬元.
(1)請分別求出上述的正比例函數(shù)表達式與二次函數(shù)表達式;
(2)如果企業(yè)同時對A,B兩種產(chǎn)品共投資10萬元,請你設(shè)計一個能獲得最大利潤的投資方案,并求出按此方案能獲得的最大利潤是多少?
【解答】(1)當(dāng)x=5時,yA=2,則2=5k,
解得k=0.4,∴yA=0.4x;
當(dāng)x=2時,yB=2.4;當(dāng)x=4時,yB=3.2,
[2.4=4a+2b,3.2=16a+4b,]解得[a=-0.2,b=1.6.]
∴yB=-0.2x2+1.6x.
(2)設(shè)投資B種商品x萬元,則投資A種商品(10-x)萬元,獲得利潤W萬元,
根據(jù)題意可得:
W=0.4(10-x)+(-0.2x2+1.6x),
∴W=-0.2(x-3)2+5.8,
所以投資A種商品7萬元,B種商品3萬元,這樣投資可以獲得最大利潤5.8萬元.
【點評】此題主要考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)的綜合應(yīng)用,屬于雙函數(shù)的問題.第(2)問中要注意當(dāng)設(shè)投資B種商品為x萬元時,yA=0.4x中的自變量為10-x;為防止混淆,也可以換個字母,如可設(shè)投資B種商品m萬元.
二、二次函數(shù)與旅游
“世界那么大,我想去看看”一句話紅遍網(wǎng)絡(luò),如今隨著人們生活水平的提高,各景點要接待的游客也逐漸增加.
例4 某景點試開放期間,團隊收費方案如下:不超過30人時,人均收費120元;超過30人且不超過m(30 (1)求y關(guān)于x的函數(shù)表達式; (2)景點工作人員發(fā)現(xiàn):當(dāng)接待某團隊人數(shù)超過一定數(shù)量時,會出現(xiàn)隨著人數(shù)的增加收取的總費用反而減少這一現(xiàn)象.為了讓收取的總費用隨著團隊中人數(shù)的增加而增加,求m的取值范圍. 【解答】 (1)y=[120x 0 (2)由(1)可知當(dāng)0 【點評】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用、分段函數(shù)等知識.問題(1)需要分0 三、二次函數(shù)與運動 運動過程中,人、球或其他物體在某一段過程形成的軌跡可看成拋物線. 例5 甲、乙兩人羽毛球比賽,甲發(fā)出一個十分關(guān)鍵的球,出手點為P,羽毛球飛行的水平距離s(m)與其距地面高度h(m)之間的關(guān)系式為h=[-112]s2+[23]s+[32].如圖,已知球網(wǎng)AB距原點5m,乙(用線段CD表示)扣球的最大高度為[94]m,設(shè)乙的起跳點C的橫坐標為a,若乙原地起跳,因球的高度高于乙扣球的最大高度而導(dǎo)致接球失敗.(1)求羽毛球出手時的高度;(2)求a的取值范圍. 【解答】(1)令解析式中s=0時,h=[32],則羽毛球的出手點高度為1.5m. (2)令解析式中h=2.25,得a=4±[7].但扣球點必須在球網(wǎng)右邊,即a>5,∴a=4-[7]舍去,由于乙原地起跳,因球的高度高于乙扣球的最大高度而導(dǎo)致接球失敗,∴5 【點評】第(1)問求出函數(shù)圖像與y軸的交點坐標即可得到結(jié)果.第(2)問先求乙恰好扣中的情況,由于乙原地起跳,因球的高度高于乙扣球的最大高度而導(dǎo)致接球失敗,說明乙站到了恰好扣中的那個點和網(wǎng)之間.在利用二次函數(shù)解決生活實際問題時,如果題中未給出平面直角坐標系,還需要根據(jù)實際情況建立合適的坐標系再進行解答. (作者單位:江蘇省宿遷市宿豫區(qū)實驗初級中學(xué))