李紅

同學(xué)們在學(xué)習(xí)二次函數(shù)時要熟練掌握基本定義、圖像性質(zhì)，進而能靈活應(yīng)用，現(xiàn)在的中考題又多是課本例題、習(xí)題的變式或延伸，因而同學(xué)們尤其應(yīng)重視對課本的學(xué)習(xí).

原題呈現(xiàn)

蘇科版《數(shù)學(xué)》九年級下冊第17頁例題：畫出二次函數(shù)y=-x2-4x-5的圖像，并指出它的開口方向、頂點坐標(biāo)、對稱軸、最大值或最小值.

【分析】要畫二次函數(shù)一般式y(tǒng)=ax2+bx+c圖像，可先將函數(shù)表達式變成頂點式y(tǒng)=a（x-h）2+k的形式，由a判斷開口方向，頂點為（h，k），對稱軸是直線x=h，當(dāng)x=h時y的最值是k.

解：y=-x2-4x-5=-（x+2）2-1，二次項系數(shù)

-1<0，函數(shù)圖像開口向下，頂點坐標(biāo)是（-2，

-1），對稱軸是直線x=-2，二次函數(shù)y=-x2-4x-5圖像如圖1.

【點評】本題考查的是二次函數(shù)的基礎(chǔ)知識，解題關(guān)鍵是二次函數(shù)形式的轉(zhuǎn)化.

延展一 不畫圖像，判斷二次函數(shù)y=-x2

-4x-5的圖像與x軸是否有公共點.

【分析】當(dāng)y=0時，拋物線y=ax2+bx+c轉(zhuǎn)化為一元二次方程ax2+bx+c=0，所以通過判斷Δ=b2-4ac與0的大小，可以確定拋物線與x軸的公共點個數(shù)：（1）b2-4ac>0，拋物線與x軸有兩個公共點（一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根）；（2）b2-4ac=0，拋物線與x軸有一個公共點（一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根）；（3）b2-4ac<0，拋物線與x軸沒有公共點（一元二次方程沒有實數(shù)根）.

解：b2-4ac=（-4）2-4×（-1）×（-5）<0，所以方程-x2-4x-5=0沒有實數(shù)根，二次函數(shù)y=-x2

-4x-5的圖像與x軸沒有公共點.

延展二 拋物線y1=-x2-4x-5與直線y2=

-x-5交于（x1，y1）、（x2，y2）兩點，求y1>y2時x的范圍.

【分析】求直線與拋物線交點的坐標(biāo)，實質(zhì)是求兩個函數(shù)的解析式聯(lián)立的方程組的解，畫出圖像，根據(jù)圖像可以直接寫出范圍.要求y1>y2時x的范圍，即為函數(shù)y1的圖像在y2圖像上方的部分的x的范圍，反之亦然.

解：方程組[y=-x2-4x-5，y=-x-5]的解為[x1=-3，y1=-2，][x2=0，y2=-5.]

兩個函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖像如圖2，當(dāng)y1>y2時，x的范圍是-3

延展三 將二次函數(shù)y=-x2-4x-5的圖像向上平移5個單位，向右平移3個單位后與x軸交于A、B兩點（A在B的左側(cè)），與y軸交于C點，對稱軸上是否存在點P，使PA+PC最小.

【分析】求平移后函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸交點的坐標(biāo)，首先要求平移后函數(shù)的解析式，一般先化成頂點式，再按上（+）下（-），左（+）右（-）方式寫出平移后的解析式，令x=0或y=0代入可求.線段和（或差）的最值問題，利用兩點之間線段最短，找對稱點解決.

解：因為平移后拋物線y=-（x-1）2+4，當(dāng)y=0時，x1=3，x2=-1；當(dāng)x=0時，y=3，所以A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）.連接BC交對稱軸x=1于點P，因為A、B關(guān)于對稱軸對稱，則P為求作的點，所以PA+PC=PB+PC=BC=[32].

延展四 Q為直線BC上方的拋物線y=

-（x-1）2+4上任意一點，求△BCQ面積的最大值及此時Q點的坐標(biāo).

【分析】在平面直角坐標(biāo)系中研究一些圖形面積時，可采用割補法將復(fù)雜、不規(guī)則的圖形分割成若干個三角形計算.分割方法一般采用橫向或縱向比較容易計算.

解：過Q作x軸垂線交直線BC于點M.

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，則有[k=-1，b=3，]故直線BC的解析式為y=-x+3.

設(shè)Q點的橫坐標(biāo)是m，得Q（m，-m2+2m+3），M（m，-m+3），所以QM=-m2+3m（0

S△BQC=S△QMC+S△QMB=[12]QM·OB=[12]（-m2+3m）·3=[-32]（m-[32]）2+[278]，所以當(dāng)m=[32]時，△BCQ的最大面積是[278]，此時Q的坐標(biāo)為（[32]，[154]）.

（作者單位：江蘇省宿遷市湖濱新區(qū)實驗中學(xué)）