劉曉強, 余 楊, 余建星, 樊志遠, 王華昆

(1. 天津大學 水利工程仿真與安全國家重點實驗室，天津 300072; 2. 高新船舶與深海開發(fā)裝備協(xié)同創(chuàng)新中心，上海 200240)

海洋輸流立管耦合動力分析

劉曉強1, 2, 余 楊1, 2, 余建星1, 2, 樊志遠1, 2, 王華昆1, 2

(1. 天津大學 水利工程仿真與安全國家重點實驗室，天津 300072; 2. 高新船舶與深海開發(fā)裝備協(xié)同創(chuàng)新中心，上海 200240)

綜合考慮黏性內(nèi)流以及立管軸向和流向的耦合效應等多種因素對立管動力響應的影響，基于Hamilton原理推導得出海洋立管耦合振動方程，采用Galerkin法進行數(shù)值求解。首先分析波流載荷與平臺運動聯(lián)合激勵和僅在平臺運動作用下立管動力響應的差異，然后討論黏性內(nèi)流和頂部張力對立管動力特性和響應峰值的影響。計算結果表明：波流與平臺運動耦合作用和僅在平臺運動作用下的立管各階振動模態(tài)和振動峰值存在明顯差異，波浪和海流對立管的直接作用不可忽略；內(nèi)流運動黏性會改變立管振型峰值，立管流向一階固有頻率隨內(nèi)流流速增大而減小，流向和垂向振動峰值分別隨之增加和減小，但這種影響很有限，且可以通過增大立管頂部預張力來抵消。

海洋立管；動力響應；Galerkin法；非線性梁模型；耦合作用；黏性內(nèi)流

海洋立管是海洋油氣開發(fā)系統(tǒng)的關鍵組成部分和薄弱環(huán)節(jié)，用于連接水面浮體和海底設備，它的動態(tài)特性決定了它將面臨概念化和材料的雙重技術挑戰(zhàn)[1]。海洋立管在真實海況下的動力響應具有復雜性，不僅受到外部的波流載荷和海洋平臺運動影響，而且取決于立管本身的屬性，如立管尺寸、重量、頂部張力和內(nèi)部流體等。從立管實際受力情況出發(fā)，考慮內(nèi)部流體在內(nèi)的多種影響因素，從而得到更為準確的立管動力響應情況，是立管設計中需要著力探究的內(nèi)容。

長期以來，國內(nèi)外學者對含內(nèi)流海洋立管的動力響應進行了大量研究，研究重點在于立管振動方程的建立和數(shù)值求解的方法。Wu和Lou[2]基于直接平衡法推導出考慮內(nèi)流作用的立管流向振動方程，采用攝動法進行數(shù)值求解，驗證了內(nèi)部流體對立管振動的影響。Guo等[3]在立管流向振動方程中添加了黏滯阻尼項，采用有限單元法研究了立管的靜、動力特性。Li等[4]通過虛功原理得到了相同的立管振動方程。這些立管振動方程都是基于線性Euler-Bernoulli梁模型推導得到的，雖然得到了廣泛認可和應用[5-7]，但沒有考慮內(nèi)流的黏性以及立管軸向和流向的耦合效應，顯然不太符合實際情況。

海洋立管和張力腿結構形式相似，最大的不同在于立管的軸向張力比較小，同時立管內(nèi)部有流體流動，如果忽略內(nèi)流，兩種結構動力響應的分析方法是一致的[8]。Han等[9-10]采用非線性梁模型，建立了張力腿軸向和流向的耦合振動方程，采用有限差分法進行數(shù)值求解。徐萬海等[11-12]在現(xiàn)有文獻[9-10]的基礎上，應用有限差分法和Galerkin法，分析了線性模型和非線性模型在預測張力腿動力響應所得計算結果的差異，但沒有考慮波流載荷和平臺運動的耦合作用。Nguyen等[13]基于Hamilton原理得到海洋立管三維耦合振動方程，但也沒有考慮內(nèi)部流體對立管動力響應的影響。

這里考慮立管流向的二維振動，基于Hamilton原理，綜合考慮了黏性內(nèi)流的影響以及立管軸向和流向的耦合效應等多種因素, 推導得到含內(nèi)流海洋立管非線性梁模型的振動方程。采用Galerkin法進行數(shù)值求解，然后應用四階Runge-Kutta方法求解方程，編制了相應的Matlab程序，討論了黏性內(nèi)流和頂部張力對立管動力特性和響應峰值的影響，并分析波流載荷與平臺運動聯(lián)合激勵和僅在平臺運動作用下立管動力響應的差異。

1 海洋立管動力響應數(shù)學模型的建立

1.1假設條件

海洋立管在分析時可以看作頂部受軸向拉力的管狀梁結構，其內(nèi)部有流體流動，外部受到波流及平臺運動的共同作用。一般的，由波流作用引起的立管動力響應和由渦激振動引起的振動之間不存在耦合效應，因此兩者可以獨立分析[4]。在這里，僅考慮海洋立管流向的二維振動，忽略橫向的渦激作用。為便于立管振動方程的建立和分析，提出如下假設：

1)波浪的傳播方向和海流流向一致。

2)立管在運動過程中滿足Kirchhoff假定，即變形相比于轉動是小量。且立管橫截面保持不變，忽略泊松效應。

3)內(nèi)部流體為有黏液體，不可壓縮，流速穩(wěn)定且沿徑向的變化忽略不計。

如圖1所示，建立立管結構的全局坐標和Lagrange坐標。其中全局坐標的坐標原點設在海底，x軸向上，波流沿y軸正向傳播，立管僅在xoy平面內(nèi)進行運動。

圖1 立管結構的坐標示意Fig. 1 Schematic diagram of riser coordinates

1.2立管振動方程

根據(jù)上述假設條件，可以得到立管位移場分布[9]：

其中，X，Y是Lagrange坐標，Y表示立管任意截面上一點和軸線之間的垂直距離；u1，u2，u3分別為x，y，z方向的位移；u，v為立管軸線上點的位移。因此，Green應變可以寫成：

由此，可以得到：

1)立管的應變能PE

其中，V0為立管初始構型的體積，E為楊氏模量，A0為立管橫截面面積，I0為截面慣性矩，變量右上角的撇號表示對坐標X的求導。

2)立管的動能KE

立管的動能包含兩部分：一是立管結構本身的動能；二是立管內(nèi)部流體的動能。立管結構本身的動能KE1可以寫成：

其中，ρ為立管結構密度，Vi為立管管內(nèi)體積，ρi為內(nèi)部流體密度，mi單位立管長度的內(nèi)部流體質(zhì)量。

3)非保守力虛功δW

非保守力虛功包含三部分：內(nèi)流引起的摩擦力虛功；結構黏滯阻尼引起的阻尼力虛功和立管外部載荷引起的水動力虛功。

① 摩擦力虛功δWf

考慮到流體具有黏性，在流體和立管內(nèi)壁之間會存在阻礙流體流動的摩擦力作用。根據(jù)達西公式和范寧公式，圓形直管內(nèi)能量損耗和摩擦應力之間的關系[14]：

② 黏滯阻尼力虛功δWc

立管黏滯阻尼力虛功可以寫成：

其中，c為立管黏滯阻尼系數(shù)。

③ 水動力虛功

立管外部受到海洋波流引起的水動力作用。在形式上，將復雜的水動力劃分為軸向和流向兩個分量，分別為fx(X,t)和fy(X,t)。其中，軸向水動力分量可以表示為單位長度上立管浮力和重力的差值，流向上的分量可以用Morison公式進行計算：

其中，ρf為海水密度；Af為立管外圓面積；Ai為立管內(nèi)圓面積；g為重力加速度；router為立管外半徑；CA，CM，CD分別為附加質(zhì)量系數(shù)、慣性力系數(shù)和拖拽力系數(shù)；wy為波浪引起的水質(zhì)點流向速度；Uc為海流流速。

波浪水質(zhì)點速度和加速度根據(jù)線性Airy波理論[15]計算得到。因此，水動力虛功可以寫成：

對于完整系統(tǒng)的Hamilton原理可以表達為[16]：

其中，T為系統(tǒng)的動能，V為系統(tǒng)的勢能，t1和t2分別為初始時刻和終端時刻。

因此，將上述相關式子代入式(11)中，整理得到考慮軸向和流向耦合效應的含內(nèi)流立管振動方程：

1.3邊界條件

立管看成是兩端簡支的非線性梁，而且在立管頂端受到平臺的縱蕩和垂蕩作用。因此，立管振動的邊界條件可以表示：

其中，UL0=N0L/EA0表示在初始預張力作用下，立管頂端產(chǎn)生的初始垂向位移；N0為初始預張力；Ua(t)和Va(t)分別表示平臺垂蕩和縱蕩。僅在單頻規(guī)則波作用下，平臺的垂蕩和縱蕩可以寫成[11-12]：

其中，UL1和VL0分別為平臺垂蕩和縱蕩幅值；ω為平臺運動圓頻率，等同于波浪圓頻率。

2 振動方程的數(shù)值求解方法

采用Galerkin法將立管振動的垂向和流向位移表示成振型的級數(shù)形式：

將式(16)代入式(12)和式(13)中，方程兩端同乘以sin(jπx/L)，并在區(qū)間[0,L]上積分，根據(jù)振型的正交性可以得到：

3 數(shù)值結果與討論

海洋立管在服役期間，受到波流和平臺運動的耦合作用。立管的相關參數(shù)如表1所示，其中水深取為500 m，波浪周期為15 s，波高為3 m，水動力參數(shù)CM=2，CD=1，CA=1。選取立管內(nèi)部流體的運動黏度μ為180×10-8m2/s。

為了驗證Galerkin數(shù)值求解過程的正確性，選用有限差分法(FDAS)進行結果比對。有限差分法的計算流程可以參見文獻[11]。其中，平臺垂縱蕩運動幅值分別為0.1 m和3.0 m，內(nèi)流流速為1 m/s，立管頂部預張力為4.5×106N。

表1 立管參數(shù)Tab. 1 Main parameters of riser

圖2 Galerkin法和FDAS下立管中點流向計算結果的比較Fig. 2 Comparison of the in-line calculation results at the riser midpoint by use of Galerkin Method and FDAS

由圖2可以看出，Galerkin法和有限差分法(FDAS)的計算結果十分吻合，證明了Galerkin法數(shù)值求解過程的正確性。在此基礎上，進行下面數(shù)值分析。

首先，保持立管和環(huán)境參數(shù)不變，研究波流載荷與平臺運動聯(lián)合激勵和僅在平臺運動激勵下立管動力響應的差異。假定海流流速沿水深線性變化，海面流速為0.4 m/s，海底流速為0 m/s。

圖3 立管流向位移響應Fig. 3 The in-line displacement response of riser

如圖3所示，波流與平臺運動耦合作用時立管的振動情況和僅考慮平臺運動時存在明顯差異，主要表現(xiàn)為相應的幅值變化，立管中點位置振動峰值的改變量能達到15%，因此波流載荷對立管動力響應的影響不可忽略。在圖中不能發(fā)現(xiàn)明顯的相位和響應頻率變化，原因在于平臺運動頻率與波浪頻率相等，且波浪運動的相位設為0。此外，流向振動的第一階模態(tài)峰值比后兩階模態(tài)峰值大得多，且下階模態(tài)與上階模態(tài)數(shù)值上差了一個量級，這表明第一階振型對位移的貢獻較大，采用Galerkin法進行數(shù)值求解時，選取前三階振型就可以保證計算的準確性。

然后，在波流載荷與平臺運動聯(lián)合激勵下分析不同黏性內(nèi)流和頂部預張力對立管動力特性和響應峰值的影響，立管動力特性以一階固有頻率和振型為主要分析對象。

表2給出了不同頂部預張力和內(nèi)流流速下的立管一階固有振動頻率。由表2可知，立管軸向振動頻率遠大于流向振動頻率和波浪運動頻率，且不隨頂張力和內(nèi)流流速變化，軸向非線性共振一般不會被激發(fā)。流向振動頻率隨內(nèi)流流速增大而減小，但變化幅度很小。

表2 立管一階固有頻率Tab. 2 First order natural frequency of riser

圖4給出了不同運動黏度內(nèi)流對立管一階振型的影響，其中流向一階振型只選取波峰部分，自上而下的曲線分別代表運動黏度為0、180×10-8、180×10-7、180×10-6和180×10-8m2/s時的情況。由圖4可知，隨內(nèi)流黏度的增大，立管流向一階振型峰值減小，垂向一階振型整體下移，但振型的周期和形狀均不變。這是因為隨內(nèi)流黏度的增大，立管所受的摩擦力Ff也隨之增大，從而減小了軸向和流向的外激勵，但不改變立管振動頻率。

圖5和圖6給出了立管流向和垂向位移峰值隨內(nèi)流流速和頂部預張力的變化情況。相同頂部預張力下，隨著內(nèi)流流速增大，立管流向和垂向振動峰值分別緩慢增大和減小，內(nèi)流流速越大，這種增大和減小的趨勢越加明顯。相同內(nèi)流流速下，隨著頂部預張力的增大，立管流向和垂向振動峰值分別迅速減小和增大。而且隨內(nèi)流流速增大，流向位移峰值的改變量不超過1.5%，內(nèi)流流速對立管垂向響應的影響要大于流向響應。立管流向振動峰值和流向激勵直接相關，立管會先在平均流向載荷作用下產(chǎn)生流向靜位移，之后在該位置附近發(fā)生振動，而立管垂向振動的平衡位置為軸向預張力作用下的靜伸長位置，即在零值附近振動，因此在不考慮內(nèi)流作用的情況下，立管流向振動峰值仍要比垂向振動峰值大一個數(shù)量級，計算結果和實際情況相符。結合表2可知，相比于立管頂部預張力，內(nèi)流對立管動力特性和運動響應的影響很有限，增大立管頂部預張力能有效抵消黏性內(nèi)流所產(chǎn)生的影響。

圖5 不同內(nèi)流流速和頂部預張力下立管中點的流向位移峰值Fig. 5 In-line displacement peak at the riser midpoint under different internal flow velocities and top pre forces

圖6 不同內(nèi)流流速和頂部預張力下立管中點的垂向位移峰值Fig. 6 Axial displacement peak at the riser midpoint under different internal flow velocities and top pre forces

實際工程中，平臺在開采初期，立管內(nèi)流的運動黏度能達到180×10-6m2/s，但在中后期，內(nèi)流含水量高達80%～90%，即內(nèi)流運動黏度和水保持相同量級，而且立管內(nèi)流的實際流速要小于1～2 m/s。由圖4至圖6可知，在內(nèi)流黏度和流速的實際變化范圍內(nèi)，黏性內(nèi)流的流動對立管動力響應的影響可以忽略不計，即在工程應用中可以不考慮立管內(nèi)部黏性流體的流動。

4 結 語

通過上述研究，可以得出以下結論：

1)相比于僅考慮平臺運動的情況，波流載荷與平臺運動聯(lián)合作用時的立管流向各階振型和振動峰值均存在一定差異，波浪和海流對立管的直接作用不可忽略。

2)立管頂部預張力對立管動力響應的影響要大于黏性內(nèi)流。隨頂部預張力的增大，立管固有頻率增大，流向位移峰值減小，增大預張力能有效抵消黏性內(nèi)流產(chǎn)生的影響。

3)黏性內(nèi)流對立管動力特性和響應峰值都有影響。隨內(nèi)流運動黏度增大，立管流向一階振型峰值減小，垂向一階振型整體下移。隨內(nèi)流流速增大，立管流向一階固有頻率逐漸減小，流向和垂向振動峰值分別緩慢增加和減小，變化趨勢也越明顯。在實際工程中，這種影響很有限，可以直接將立管看作充滿靜止無黏液體的管狀結構。

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Coupled dynamic analysis of marine riser conveying fluid

LIU Xiaoqiang1, 2, YU Yang1, 2, YU Jianxing1, 2, FAN Zhiyuan1, 2, WANG Huakun1, 2

(1. State Key Laboratory of Hydraulic Engineering Simulation and Safety, Tianjin University, Tianjin 300072, China; 2. Collaborative Innovation Center for Advanced Ship and Deep-Sea Exploration, Shanghai 200240, China)

The vibration equation of marine riser was derived with consideration of such factors as the influence of internal viscous flow, the coupled in-line and axial motion and so on, based on Hamilton principle. The Galerkin method was implemented for solving the equation and some parameter studies were conducted through numerical efforts. Firstly, the dynamic response of riser obtained under coupling excitation of wave, current and platform motion was analyzed. Secondly, the influence of the viscous internal flow and the top forces on the dynamic response of riser was discussed. It is observed that the riser vibration modes and vibration peak are found to be very different under above two excitations, so the direct effect of wave and current on the marine riser can’t be ignored. The kinematic viscosity of the inner flow can change the mode peak value of the riser. With the increase of internal flow velocity, the first order natural frequency of riser and the peak value of axial displacement decrease, and the peak value of in-line displacement increases. But the effect is limited, increasing top pre-tension of the riser can counteract this effect.

marine riser; dynamic response; Galerkin’s method; nonlinear beam model; coupling action; viscous internal flow

1005-9865(2017)06-0028-09

P756.2

A

10.16483/j.issn.1005-9865.2017.06.004

2017-02-27

國家重點基礎研究發(fā)展計劃資助(2014CB046803)；國家自然科學基金(51239008)；國家自然科學基金(51379145)

劉曉強(1992-)，男，福建永春人，碩士研究生，研究船舶與海洋結構物結構可靠性分析及優(yōu)化。E-mail：2015205011@tju.edu.cn

余建星，男，博士生導師，973首席科學家。E-mail：yjx2000@tju.edu.cn