張闖，彭振斌，彭文祥

(中南大學(xué) 地球科學(xué)與信息物理學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙，410083)

優(yōu)化的灰色離散Verhulst模型在基坑沉降預(yù)測(cè)中的應(yīng)用

張闖，彭振斌，彭文祥

(中南大學(xué) 地球科學(xué)與信息物理學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙，410083)

基于傳統(tǒng)的灰色Verhulst模型在基坑沉降預(yù)測(cè)中精度較低的問(wèn)題，提出優(yōu)化的灰色離散Verhulst模型。在基坑沉降監(jiān)測(cè)中，由于有新的監(jiān)測(cè)沉降值不斷補(bǔ)充到原始數(shù)據(jù)序列中，各種因素會(huì)帶來(lái)新的擾動(dòng)，原來(lái)的模型精度降低，為避免由此產(chǎn)生的誤差，用新陳代謝方法建立優(yōu)化灰色離散Verhulst一維、二維新陳代謝模型。將傳統(tǒng)Verhulst模型、優(yōu)化的灰色離散Verhulst模型及優(yōu)化灰色離散Verhulst一維、二維新陳代謝模型進(jìn)行比較。研究結(jié)果表明：該模型通過(guò)采用離散化思維對(duì)原數(shù)據(jù)序列進(jìn)行倒數(shù)變換，從連續(xù)形式向離散形式變化，減小了傳統(tǒng)Verhulst模型建模過(guò)程中從微分方程到差分方程帶來(lái)的誤差；采用新陳代謝方法的優(yōu)化灰色離散 Verhulst模型精度更高，可選用該模型對(duì)基坑進(jìn)行沉降預(yù)測(cè)。

沉降預(yù)測(cè)；優(yōu)化的灰色離散Verhulst模型；新陳代謝方法；預(yù)測(cè)精度

基坑沉降預(yù)測(cè)是工程監(jiān)測(cè)中非常重要的內(nèi)容。在施工過(guò)程中，通過(guò)監(jiān)測(cè)可以及時(shí)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，從而采取補(bǔ)救措施，減少事故的發(fā)生。但有些基坑沉降監(jiān)測(cè)周期太長(zhǎng)，因此，進(jìn)行沉降預(yù)測(cè)很有必要?，F(xiàn)在使用較多的方法有灰色關(guān)聯(lián)支持向量機(jī)、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法、雙曲線法、Asaoka法、遺傳算法、灰色理論GM(1,1)和 Verhulst法等[1?10]。土力學(xué)理論已證實(shí)，當(dāng)符合線性加載條件時(shí)，基坑全過(guò)程沉降與時(shí)間的關(guān)系呈飽和狀態(tài)呈“S”形曲線[11]，灰色Verhulst模型表現(xiàn)出的規(guī)律也呈“S”形變化，因此，基坑沉降經(jīng)常用灰色Verhulst模型預(yù)測(cè)。但灰色Verhulst模型預(yù)測(cè)精度較低，對(duì)此人們提出優(yōu)化的灰色離散Verhulst模型。在建立離散灰色模型過(guò)程中，首先對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行倒數(shù)變換，然后進(jìn)行預(yù)測(cè)、模擬。參數(shù)估計(jì)都是利用離散方程，沒(méi)有使用離散模型與連續(xù)模型之間的近似代替方程，因而降低了誤差，模型的精度大幅度提高[12]。基坑沉降監(jiān)測(cè)時(shí)間長(zhǎng)，會(huì)有新的監(jiān)測(cè)沉降值不斷補(bǔ)充到原始數(shù)據(jù)序列中，各種因素帶來(lái)新的擾動(dòng)，原來(lái)的模型會(huì)漸漸老化，精度降低，因此，模型需要不斷優(yōu)化更新[13]。通常用新陳代謝方法建立優(yōu)化灰色離散Verhulst模型的一維、二維新陳代謝模型，以進(jìn)一步提高模型的精度和穩(wěn)定性。

1 優(yōu)化模型

在建模之前，檢驗(yàn)所用的數(shù)據(jù)序列是否可以用來(lái)建模，一般用數(shù)據(jù)序列級(jí)比來(lái)檢驗(yàn)。

定義1[14]設(shè)

根據(jù)式(2)利用最小二乘法，估計(jì)出參數(shù)a和b，得

稱作灰色Verhulst模型白化方程。

Verhulst模型的已知數(shù)據(jù)序列應(yīng)是等時(shí)間段的，原始數(shù)據(jù)序列很多時(shí)候都是不等距的，因此，利用spline三次樣條插值[16?17]、Hermite 插值[18]等方法對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行等距處理。

1.2 優(yōu)化的灰色離散Verhulst模型

為優(yōu)化的離散Verhulst模型。

優(yōu)化的灰色離散 Verhulst模型中的待估參數(shù)為β= ( β,β,β)T，采用最小二乘法對(duì)式(6)進(jìn)行計(jì)算可

定理2 若β?=(BTB)-1BTY，且初始條件為y(1)(1)=1/x(1)(1)=1/x(0)(1)，則優(yōu)化的灰色離散Verhulst模型解為

定理3 若β?=(BTB)-1BTY，且初始條件為y(1)(n)= 1 /x(1)(n)，則優(yōu)化的灰色離散Verhulst模型解為

其中：k=1, 2, …, n?1。

1.3 優(yōu)化的灰色離散Verhulst新陳代謝模型

在監(jiān)測(cè)過(guò)程中，會(huì)有新的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)被補(bǔ)充。隨著施工的進(jìn)行，也會(huì)有擾動(dòng)或驅(qū)動(dòng)因素進(jìn)入系統(tǒng)，影響系統(tǒng)的發(fā)展，從而使系統(tǒng)發(fā)展到遠(yuǎn)離時(shí)間原點(diǎn)，舊數(shù)據(jù)將失去意義，因此，要將新數(shù)據(jù)補(bǔ)充到系統(tǒng)中且同時(shí)除去舊數(shù)據(jù)，建模序列才會(huì)體現(xiàn)出系統(tǒng)現(xiàn)在的特征。新陳代謝建模方法[12]為：將預(yù)測(cè)得到的1個(gè)新數(shù)據(jù)加到現(xiàn)有數(shù)據(jù)序列之后，同時(shí)除去第1個(gè)已有的數(shù)據(jù)，使數(shù)據(jù)序列等維，建立優(yōu)化的灰色離散Verhulst模型預(yù)測(cè)下一個(gè)值。將新預(yù)測(cè)值補(bǔ)充到數(shù)據(jù)序列后，再去掉上一數(shù)據(jù)序列中的第1個(gè)數(shù)據(jù)，直到完成預(yù)測(cè)目標(biāo)為止。本文結(jié)合新陳代謝的方法，建立優(yōu)化的灰色離散Verhulst一維、二維新陳代謝模型，以舉例說(shuō)明優(yōu)化的灰色離散Verhulst新陳代謝模型可以很好地反映基坑沉降的趨勢(shì)與變化，以及該新陳代謝方法能提高模型的穩(wěn)定性和預(yù)測(cè)精度。

1.4 預(yù)測(cè)值的精度檢驗(yàn)[12?13]

設(shè) e(i)為原始數(shù)據(jù)列 xi(1)和預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)列 x?i(1)的殘差，即 e ( i )= x(1)-x?(1)，則可用下列指標(biāo)對(duì)預(yù)測(cè)值進(jìn)行精度檢驗(yàn)。

1) 相對(duì)誤差α：

式中：S1為原始數(shù)據(jù)的均方差；S2為殘差的均方差。3) 絕對(duì)關(guān)聯(lián)度ε：

4) 小誤差概率P：

式中：e為殘差均值。模型精度等級(jí)見(jiàn)表1。

表1 模型精度等級(jí)Table 1 Grads model precision

2 應(yīng)用實(shí)例

廣東省深圳市深房御府東區(qū)基坑支護(hù)工程位于深圳市光明新區(qū)，北靠牛山，東臨光僑路，西南側(cè)為觀光路；場(chǎng)地高差較大，四周已新建市政道路。該地塊開(kāi)發(fā)建設(shè)為7 棟高層，均為16 層，剪力墻結(jié)構(gòu)，設(shè)2層地下室，局部3層地下室；聯(lián)排別墅均為3 層，框架結(jié)構(gòu)，設(shè)1層地下室?；A(chǔ)埋深8～10 m。該基坑開(kāi)挖深度較深，在基坑、樁基礎(chǔ)及地下室施工過(guò)程中必須進(jìn)行監(jiān)測(cè)，從而保證基坑的安全和穩(wěn)定，達(dá)到信息化施工、及早發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和處理問(wèn)題的目的。本基坑共有33 個(gè)沉降監(jiān)測(cè)點(diǎn)，點(diǎn)號(hào)為W1～W33。選取2個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)W32和W33的原始數(shù)據(jù)序列建立傳統(tǒng)Verhulst模型、優(yōu)化的灰色離散Verhulst模型及優(yōu)化的灰色離散Verhulst一維、二維新陳代謝模型，對(duì)基坑進(jìn)行沉降預(yù)測(cè)。每個(gè)月為1個(gè)監(jiān)測(cè)周期，共選9個(gè)周期的累計(jì)沉降數(shù)據(jù)。前7個(gè)數(shù)據(jù)用來(lái)建立模型，后2個(gè)數(shù)據(jù)用來(lái)與預(yù)測(cè)值對(duì)比。

由式(1)得監(jiān)測(cè)點(diǎn) W32和 W33級(jí)比，見(jiàn)表 2。本文取前 7個(gè)數(shù)據(jù)序列建模，即 n=7，則級(jí)比覆蓋σ(k)∈[0.7788, 1.2840]，由表2中監(jiān)測(cè)點(diǎn) W32和W33級(jí)比可知都在級(jí)比覆蓋范圍之內(nèi)，故監(jiān)測(cè)點(diǎn)W32和W33原始數(shù)據(jù)序列可以用來(lái)建模。

表2 監(jiān)測(cè)點(diǎn)累計(jì)沉降和級(jí)比Table 2 Cumulative settlement of monitoring points and class ratio

選取表2中監(jiān)測(cè)點(diǎn)W32前7個(gè)實(shí)測(cè)值進(jìn)行預(yù)測(cè)建模。

1) 求出傳統(tǒng)灰色 Verhulst模型參數(shù) a=?0.435 660，b=?0.033 442，代入式(5)得

3) 建立優(yōu)化的灰色離散Verhulst一維新陳代謝模型[19]，去除第1個(gè)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，使用第2～8期監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)作為原始時(shí)間序列得模型參數(shù)為 β0=0.024 326，β1=0.000424，β2=0.660967，代入式(8)得

4) 建立優(yōu)化的灰色離散Verhulst二維新陳代謝模型[19]。同理使用第3～9期監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)作為原始時(shí)間序列得模型參數(shù)為β2=0.551355，代入式(8)得

求出4個(gè)模型的擬合值及預(yù)測(cè)值見(jiàn)表3。同理取表2中監(jiān)測(cè)點(diǎn)W33前7個(gè)實(shí)測(cè)值進(jìn)行預(yù)測(cè)建模。

1) 求出傳統(tǒng)灰色Verhulst模型為

2) 求出優(yōu)化的灰色離散Verhulst模型為

3) 求出優(yōu)化的灰色離散Verhulst一維新陳代謝模型為

4) 求出優(yōu)化的灰色離散Verhulst二維新陳代謝模型為

求出4個(gè)模型的擬合值及預(yù)測(cè)值見(jiàn)表4。

用式(10)～(14)檢驗(yàn)4種模型的擬合程度和預(yù)測(cè)效果，檢驗(yàn)結(jié)果見(jiàn)表5。

由表3和表4可知優(yōu)化的灰色離散Verhulst模型的擬合值比傳統(tǒng)的灰色Verhulst模型的擬合值更接近實(shí)測(cè)值，而用新陳代謝方法建立的優(yōu)化的灰色離散Verhulst模型的擬合值更進(jìn)一步接近實(shí)測(cè)值，且隨著新陳代謝維數(shù)的增加，預(yù)測(cè)值也更接近實(shí)測(cè)值，預(yù)測(cè)

精度更高。從表5可知監(jiān)測(cè)點(diǎn)W32的傳統(tǒng)灰色Verhulst模型平均相對(duì)誤差為 1.205 2，優(yōu)化的灰色離散Verhulst模型平均相對(duì)誤差只有0.600 1，為傳統(tǒng)灰色Verhulst模型平均相對(duì)誤差的 1/2；優(yōu)化的灰色離散Verhulst一維新陳代謝模型平均相對(duì)誤差只有0.493 3，為傳統(tǒng)灰色Verhulst模型平均相對(duì)誤差的1/3；優(yōu)化的灰色離散Verhulst二維新陳代謝模型平均相對(duì)誤差只有0.483 6，為傳統(tǒng)灰色Verhulst模型平均相對(duì)誤差的1/3，而且可知優(yōu)化的灰色離散Verhulst二維新陳代謝模型平均相對(duì)誤差比優(yōu)化的灰色離散 Verhulst一維新陳代謝模型平均相對(duì)誤差小。監(jiān)測(cè)點(diǎn)W33的傳統(tǒng)灰色Verhulst模型平均相對(duì)誤差為2.379 3，優(yōu)化的灰色離散Verhulst模型平均相對(duì)誤差只有0.401 4，僅為傳統(tǒng)灰色Verhulst模型平均相對(duì)誤差的1/6；優(yōu)化的灰色離散Verhulst一維新陳代謝模型平均相對(duì)誤差只有0.329 4，僅為傳統(tǒng)灰色Verhulst模型平均相對(duì)誤差的1/7；優(yōu)化的灰色離散Verhulst二維新陳代謝模型平均相對(duì)誤差只有0.329 3，僅為傳統(tǒng)灰色Verhulst模型平均相對(duì)誤差的 1/7，而且優(yōu)化的灰色離散 Verhulst二維新陳代謝模型平均相對(duì)誤差比優(yōu)化的灰色離散Verhulst一維新陳代謝模型的平均相對(duì)誤差小。由表5還可知優(yōu)化模型的均方差比值都比傳統(tǒng)Verhulst模型的均方差比值小，這說(shuō)明優(yōu)化模型預(yù)測(cè)精度高。由表1得到優(yōu)化模型的精度等級(jí)為1級(jí)。從上面的分析得出優(yōu)化模型比傳統(tǒng)模型具備更高的可靠性和預(yù)測(cè)精度，由新陳代謝方法建立的優(yōu)化模型有更好的模擬預(yù)測(cè)效果。

表3 點(diǎn)W32不同模型沉降擬合預(yù)測(cè)值和相對(duì)誤差Table 3 Fitted and predictive settlements and relative errors of different models for point W32

表4 點(diǎn)W33不同模型沉降擬合預(yù)測(cè)值和相對(duì)誤差Table 4 Fitted and predictive settlements and relative errors of different models for point W33

表5 不同模型的沉降精度檢驗(yàn)Table 5 Prediction and analysis settlements of different models

3 結(jié)論

1) 優(yōu)化的灰色離散Verhulst模型是由變換倒數(shù)生成的序列建立的，將適用范圍擴(kuò)展到近似“S”型數(shù)據(jù)序列，而且能有效地減小由微分方程到差分方程建模過(guò)程中所帶來(lái)的誤差。

2) 采用新陳代謝方法建立模型，將新的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)補(bǔ)充到數(shù)據(jù)序列中同時(shí)去掉老數(shù)據(jù)，從而使模型參數(shù)不斷更新優(yōu)化，模型的穩(wěn)定性和預(yù)測(cè)精度有很大提高。

3) 優(yōu)化的灰色離散Verhulst模型和優(yōu)化的灰色離散 Verhulst一維、二維新陳代謝模型與傳統(tǒng)灰色Verhulst模型相比，優(yōu)化模型具備較好的實(shí)用性和可靠性，且新陳代謝方法建立的優(yōu)化模型精度更高。

4) 優(yōu)化模型具有預(yù)測(cè)精度高、預(yù)測(cè)誤差波動(dòng)小等特點(diǎn)，且擬合值與實(shí)測(cè)值非常接近，所以，優(yōu)化模型具備更好的適用性。

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Application of optimized grey discrete Verhulst model in settlement prediction of foundation pit

ZHANG Chuang, PENG Zhenbing, PENG Wenxiang

(School of Geosciences and Info-Physics, Central South University, Changsha 410083, China)

Considering the low accuracy of the traditional grey Verhulst model in the foundation pit settlement prediction,the optimized discrete grey Verhulst model was put forward. In the settlement monitoring of foundation pit, the new monitoring settlement data was constantly added to the original data sequence, and all kinds of factors would bring new disturbance, so the original model accuracy was reduced. In order to avoid the resulting errors, the metabolic method was used to establish the optimization of one?dimensional and two?dimensional metabolic model of grey discrete Verhulst model. The traditional Verhulst model, the optimization of the discrete grey Verhulst model and the optimization of one?dimensional and two?dimensional metabolic model of grey discrete Verhulst model were compared. The results show that the proposed model is based on the reciprocal transformation of the original data sequence by using discrete thinking,and the change from continuous form to discrete form reduces the error from the differential equation to the difference equation in the modeling process of the traditional Verhulst model. The optimized grey discrete Verhulst model based on the metabolic method has higher accuracy, and the model can be used to predict the settlement of the foundation pit.

settlement prediction; optimized discrete grey Verhulst model; metabolism method; prediction precision

TU432

A

1672?7207(2017)11?3030?07

10.11817/j.issn.1672-7207.2017.11.025

2016?10?12；

2016?12?26

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(50878212)；中南大學(xué)中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目(2016zzts435)(Project(50878212) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project(2016zzts435) supported by the Fundamental Research Funds for the Central Universities of Central South University)

張闖，博士研究生，從事基坑沉降和滑坡預(yù)測(cè)研究；E-mail: 980191776@qq.com

(編輯 陳燦華)