先定點(diǎn),再連線—由三視圖還原幾何體的又一個(gè)簡(jiǎn)便方法

安徽省合肥六中 合肥市特級(jí)教師工作站(230000) 黃海波

文[1]介紹了由三視圖還原幾何體的一個(gè)簡(jiǎn)便方法,該方法簡(jiǎn)便有效,為我們解決該類問(wèn)題指明了一個(gè)方向,讀來(lái)深受啟發(fā).美中不足的是,若將該方法介紹給學(xué)生,在分析長(zhǎng)方體各頂點(diǎn)是否是所給幾何體的頂點(diǎn)時(shí),需要做三個(gè)長(zhǎng)方體逐個(gè)分析.這樣做于學(xué)生而言,一是解題效率不高,二是對(duì)學(xué)生的比較分析能力提出了較高要求.

本文擬從三視圖的各頂點(diǎn)的形成過(guò)程出發(fā),逆向思考,給出解決該類問(wèn)題的簡(jiǎn)便易行的操作方法：先定點(diǎn),再連線.只需一個(gè)圖,幾條線便可快速解決問(wèn)題.

1.三視圖及其簡(jiǎn)介

我們知道,幾何體的三視圖是用三組平行光線照射幾何體,在投影面(平行光線均與投影面垂直)上留下的幾何圖形的總稱,具體有正視圖,側(cè)視圖和俯視圖,如圖1所示.

圖1

如圖2是三視圖的三投影面體系,在我們的現(xiàn)實(shí)空間中,長(zhǎng)方體的共頂點(diǎn)的三個(gè)面可以看作是三投影面的一個(gè)自然來(lái)源.從另一個(gè)角度看,多面體完全可以由長(zhǎng)方體切割得到.

圖2

2.還原幾何體的簡(jiǎn)易方法

我們先以一道課本習(xí)題為例,以長(zhǎng)方體為基本載體,詳細(xì)介紹該方法的具體操作過(guò)程.

引例 如圖3,是一個(gè)幾何體的三視圖,請(qǐng)還原出對(duì)應(yīng)的幾何體.

如圖4,我們以長(zhǎng)方體為基本載體：

①對(duì)照?qǐng)D3中的正視圖中四條線段的交點(diǎn),在正視圖的形成過(guò)程中,對(duì)應(yīng)的投影線,我們以加粗的“______________”線型來(lái)表示;

②對(duì)照?qǐng)D3中的側(cè)視圖中三條線段的交點(diǎn),在側(cè)視圖的形成過(guò)程中,對(duì)應(yīng)的投影線,我們以雙線型“_______________”來(lái)表示;

圖3

圖4

③對(duì)照?qǐng)D3中的俯視圖中五條線段的交點(diǎn),在俯視圖的形成過(guò)程中,對(duì)應(yīng)的投影線,我們以點(diǎn)劃線型“·-·-·-”來(lái)表示.上述三種線型交于一點(diǎn)時(shí),我們以?來(lái)表示,順次連接這些點(diǎn),便得到對(duì)應(yīng)的幾何體的頂點(diǎn),順次連接這些點(diǎn),如圖4所示,直三棱柱ABC-A1B1C1即為還原的幾何體.

由上述作圖過(guò)程可以看出,這種”先定點(diǎn),再連線”的方法操作簡(jiǎn)便,過(guò)程簡(jiǎn)單,省時(shí)高效.實(shí)際作圖時(shí),只需用三種顏色的筆便可輕松還原幾何體,對(duì)于空間想象能力相對(duì)較弱的同學(xué)來(lái)說(shuō),這無(wú)疑是一種揭示問(wèn)題本質(zhì)且易于上手的方法.

3.簡(jiǎn)易方法應(yīng)用

我們借用這種方法來(lái)解答幾道高考試題.

例1(2017年全國(guó)課標(biāo)I卷理7)某多面體的三視圖如圖5所示,其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成,正方形的邊長(zhǎng)為2,俯視圖為等腰直角三角形.該多面體的各個(gè)面中有若干個(gè)是梯形,這些梯形的面積之和為( )

A.10 B.12 C.14 D.16

圖5

圖6

分析與解答解答該題首先還是要還原出對(duì)應(yīng)的幾何體,然后根據(jù)所給數(shù)據(jù)計(jì)算梯形的面積和.

這是一個(gè)組合體,按照上述方法,我們作出長(zhǎng)方體(可以看做兩個(gè)全等的正方體疊加而成),如圖6,該幾何體為三棱錐P-ABC與直三棱柱ABC-A1B1C1的組合體.其各個(gè)面中只有兩個(gè)全等的直角梯形,其面積和為(選B.

例2(2017年北京卷理7)某四棱錐的三視圖如圖7所示,則該四棱錐的最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為( )

分析與解答如圖8,用“先定點(diǎn),再連線”的方法易得四棱錐A-BCDE中的最長(zhǎng)棱為AB,其長(zhǎng)度為選B.

圖7

圖8

例3(2016年全國(guó)III卷理7)如圖9,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗實(shí)線畫(huà)出的是某多面體的三視圖,則該多面體的表面積為( )

分析與解答如圖9,用“先定點(diǎn),再連線”的方法易得斜四棱柱ABCD-A1B1C1D1的表面積S=2×32+2×3×選B.

本文介紹的這種“先定點(diǎn),再連線”的還原幾何體的方法適用于多面體.若是多面體和旋轉(zhuǎn)體的組合體,對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)體無(wú)外乎圓柱、圓錐和球體(或是它們的局部),對(duì)這樣的組合體“分而治之”即可.例如2017年浙江省理科數(shù)學(xué)高考題：某幾何體的三視圖如圖11所示(單位：cm),則該幾何體的體積(單位：cm3)是()

該題答案是A,限于篇幅,不再贅述.

圖11

[1]李紅春,黃淑琴.先定線,再取點(diǎn)——一類由三視圖還原直觀圖問(wèn)題的簡(jiǎn)便解法[J],數(shù)學(xué)教學(xué)研究,2017,3.