廣東北江中學512026 葉浩山

2017年高考全國乙卷理科第21題的探究與思考

廣東北江中學512026 葉浩山

高考數(shù)學壓軸題富含數(shù)學的思想和方法,自然是中學老師研究高考、備考的良好素材.筆者從解題思路探究、命題背景、復習教學反思等方面對2017年高考數(shù)學全國乙卷理科第21題進行了研究,供大家參考.

全國I卷理科第21題f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

(2)若f(x)有兩個零點,求a的取值范圍.

一、解題思路探究

1.如何找符合條件的函數(shù)值

試題的第(1)問比較容易,為第(2)問作鋪墊.試題的第(2)問考查函數(shù)的零點問題.

由第(1)問可知：若a≤0,f(x)在(-∞,+∞)單調(diào)遞減,f(x)至多有一個零點.

(2)若a＞0,f(x)在 (-∞,-lna)單調(diào)遞減,在(-lna,+∞)單調(diào)遞增.當x=-lna時,f(x)取得最小值,最小值為解得a∈(0,1).此時我們找出了f(x)有兩個零點的必要條件a∈(0,1),要說明函數(shù)有兩個零點,還需在區(qū)間(-∞,-lna)和(-lna,+∞)分別找到大于零的函數(shù)值,這是本題的難點.對于在區(qū)間(-∞,-lna)上容易找到f(-1),f(-2)等值是大于零的(實際上由單調(diào)性可知當x≤-1時,f(x)＞0).在(-lna,+∞)上如何找到大于零的函數(shù)值?筆者嘗試用待定系數(shù)法來找,考慮的值,

顯然當λ≥3-a時,

因此我們只要取的x,滿足就有f(x)＞0.本題的難點在于如何找符合條件的函數(shù)值,但此問題能否用極限的思想說明?即若a＞0,f(x)在 (-∞,-lna)單調(diào)遞減,在 (-lna,+∞)單調(diào)遞增.又當0＜a＜1時,f(x)的最小值f(lna)＜0,且所以函數(shù)f(x)有兩個零點.用極限的思想說明函數(shù)f(x)圖像的趨勢,可避免找符合條件的函數(shù)值的難點,但此法在筆者所在的市統(tǒng)考改卷中都會扣分,就不知道高考評卷場如何處理這個問題.

2.試題的另解

另解1 對于函數(shù)的零點問題我們可以用分離變量的方法解決.令f(x)=0,即ae2x+(a-2)ex-x=0.所以于是函數(shù)f(x)有兩個零點,即y=a與的圖像有兩個公共點.又

得函數(shù)g(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增,在(0,+∞)上單調(diào)遞減.所以函數(shù)g(x)在x= 0處取得最大值g(0)=1,結合則可畫出函數(shù)g(x)的圖像如圖1所示：由圖1可知共點,則0＜a＜1.的圖像有兩個公

圖1

分離變量的方法避開了對參數(shù)a的分類討論,但分離出的函數(shù)結構復雜,求導計算量較大,同時不可避免用極限的思想說明函數(shù)f(x)圖像的趨勢,如上述所說,不知高考評卷場如何給分.

二、命題背景

筆者在研究此題的解法時在思考另一個問題,此題是怎么命制出來的?初看f(x)=ae2x+(a-2)ex-x只是指數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)的簡單拼湊,并沒有直接聯(lián)系,但經(jīng)過換元處理則大不相同!令ex=t,則x=lnt,所以得到函數(shù)h(t)=at2+(a-2)t-lnt,則函數(shù)f(x)有兩個零點,轉化為函數(shù)h(t)有兩個零點,令h(t)=at2+(a-2)t-lnt=0,則at2+(a-2)t=lnt,則函數(shù)h(t)有兩個零點轉化為函數(shù)y=at2+(a-2)t與y=lnt的圖像有兩個交點.此時我們明白了該題的命題背景：命題者構造了兩個初等函數(shù)y=at2+(a-2)t與y=lnt,研究這兩個函數(shù)的交點問題,其中一個是對數(shù)函數(shù),另一是過原點的二次函數(shù)!知道了該題的命題背景,則此題的解法可以大大簡化!

另解2設函數(shù)y=at2+(a-2)t與y=lnt相切于點P(t,lnt),則

對(1)兩邊求導得到

圖2

另解3由at2+(a-2)t=lnt可得則函數(shù)h(t)有兩個零點轉化為函數(shù)y=at+(a-2)與的圖像有兩個交點.而函數(shù)y=at+(a-2)的圖像是過定點(-1,-2)的一條直線,函數(shù)是熟悉的函數(shù).于是設切點為Q(t,at+a-2),則有

化簡整理得

由于t＞0,結合函數(shù)的圖像可得t=1,此時a=1.即函數(shù)y=at+(a-2)與相切于(1,0),如圖2所示.顯然當0＜a＜1時,函數(shù)有兩個交點.

三、復習教學反思

2017年高考數(shù)學全國乙卷理科第21題與2016年高考數(shù)學全國乙卷文科第21題無論從考查內(nèi)容還是從題目的設問方式都是一樣的,唯一不同就是函數(shù)f(x).而且高考數(shù)學全國乙卷理科第21題從2015到2017連續(xù)三年都考查了函數(shù)的零點,這也體現(xiàn)了高考試題的穩(wěn)定性.

首先,作為一道典型的已知函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)取值范圍問題,要重視典型問題、典型解法的講解與總結.已知函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)取值范圍問題,一般有兩種思路：一是將函數(shù)零點個數(shù)問題轉化為兩個函數(shù)圖像交點個數(shù)問題,如本文提到的另解1、2、3;二是直接研究所給函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的零點個數(shù)由函數(shù)的極值正負及函數(shù)兩端的正負或趨勢決定.

例如2016年深圳一模理科數(shù)學第12題：函數(shù)f(x)= lnx-ax2+x有兩個零點,則實數(shù)a的取值范圍是()

該題的命題背景和解題方法與2017年高考數(shù)學全國乙卷理科第21題幾乎一樣.

其次,作為中學教師在解題教學的過程中,解題的觀點要更高不要只是將答案告訴給學生,而是要站在解題者的角度,將解題歷程講給學生,讓學生知道遇到同類型的題目如何下手.多研究試題的命題背景,可以讓我們將題目分析的更透徹,也給我們自己命題提供很好的借鑒.

再次,面對高考數(shù)學壓軸題,一些好的學校的老師在指導學生復習備考時要求學生不要在壓軸題上花太多時間,甚至讓學生放棄壓軸題.在這種指導思想下,學生面對高考壓軸題由于平時訓練不夠,導致心理畏懼,無從下手.另一方面,教師自己也放棄對高考壓軸題的研究,從而也就難以很好的去指導學生備考壓軸題.章建躍說：“要想改進我們的教學就必須加深理解我們所面對的教學內(nèi)容”.筆者認為這也是我們?nèi)パ芯扛呖級狠S題的解題思路探究、命題背景等方面的意義所在.

[1]章建躍.改進教學從理解內(nèi)容入手 [J].中小學數(shù)學 (高中版), 2014(4).

[2]黃海波.2016年高考四川卷理科21題的探究與思考[J].數(shù)學通訊(下半月),2017(2).

[3]梅磊,周珂.一道高考壓軸題的多解、多思與多邊[J].數(shù)學通訊(下半月),2017(2).