安徽省阜陽市第三中學(xué)(236000) 凡勝富

安徽省阜陽市潁泉小學(xué)(236000) 蔣 娟

圖解法在解決平面向量一類問題中的應(yīng)用

安徽省阜陽市第三中學(xué)(236000) 凡勝富

安徽省阜陽市潁泉小學(xué)(236000) 蔣 娟

平面向量是數(shù)形結(jié)合思想的有效載體.其中一些平面向量試題,其題面精巧、問題設(shè)置巧妙,常常以向量的幾何特征來呈現(xiàn)命制,充分抓住向量幾何特征,構(gòu)建圖形挖掘幾何性質(zhì),給解題帶來簡便.

平面向量 圖解法 幾何特征 數(shù)量積

向量是幾何與代數(shù)交匯的數(shù)學(xué)知識,融“數(shù)”“形”于一體.為此,在解決平面向量的某些問題時,如果能抓住向量既具有數(shù)又具有形的特征,運用數(shù)形結(jié)合的思想,根據(jù)題目中的已知條件,恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造出符合題意的圖形,利用圖解法去分析或發(fā)現(xiàn)其中隱藏的幾何性質(zhì),往往能達(dá)到事半功陪的效果.下面舉例說明之,供讀者參考.

1、利用幾何意義構(gòu)造圖形來處理

例1設(shè)非零向量a,b滿足|a|=|b|=|a-b|,則b與a+b的夾角()

A.30?B.60?C.120?D.150?

圖1

評注 借助向量加減法的幾何意義,構(gòu)造平行四邊形OACB,利用|a|=|b|=|a-b|這一條件進(jìn)一步得到菱形,把題設(shè)中涉及的向量b與a+b放置在圖形中,再利用圖形的幾何性質(zhì)來處理,是解決這類問題的常用方法.

例2 已知平面向量α,β(α/=0,α/=β)滿足|β|=1,且α與β-α的夾角為120?,則|α|的取值范圍是____

解 不妨設(shè)α,β共起點O,且如圖構(gòu)造三角形.由題意可知,在△OAB中,

OB=1,∠A=60?,

圖2

評注 根據(jù)條件|β|=1,和α與β-α的夾角為120?,構(gòu)造三角形,把向量問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題,使用正弦定理,構(gòu)造OA關(guān)于角B的函數(shù)求解,使得問題簡化易求.

例3已知向量a,b,|a|=1,|b|=2,若對任意單位向量e,均有則a·b的最大值是____.

圖3

當(dāng)A,B重合于兩圓交點Q時,|O1A1|+|O2B1|取到最大值此時,在△O1QO2中,因此a·b的最大值為

2、定向量與動向量考慮投影處理

圖4

解 根據(jù)已知條件,CP為△ABC的邊AB上的中線,且其長度為AB的一半,因此△ABC為直角三角形,且C為直角.

評注 圖解過程中,如何表示某兩個向量的數(shù)量積為定值往往是關(guān)鍵,題設(shè)中的如何使用是解題的難點,的夾角及未知,而對于動向量與定向量的數(shù)量積時,可以考慮利用數(shù)量積的幾何意義把數(shù)量積轉(zhuǎn)化動向量在定向量上的投影來處理,使得問題迎刃而解.

3、兩動向量考慮極化恒等式處理

例5 如圖5放置的邊長為1的正方形ABCD頂點分別在x軸、y軸正半軸(含原點)滑動,則的最大值為____.

解 根據(jù)極化恒等式：4a·b= (a+b)2-(a-b)2,設(shè)E為BC的中點,由極化恒等式可得：

圖5

評注 由于正方形ABCD頂點滑動,故均為動向量,其模長、夾角均未知,不便直接求解,若用代數(shù)方法處理必然需多個參量運算復(fù)雜.極化恒等式4a·b=(a+b)2-(a-b)2是一個較為明顯的結(jié)論,恒等式有較豐富的內(nèi)涵,它將平面向量的數(shù)量積和模聯(lián)系在一起,此恒等式與向量加法的平行四邊形法則結(jié)合把向量數(shù)量積問題轉(zhuǎn)化為模的運算問題,這一巧妙的處理方法,為我們解題提供了一種新的思路.

鏈接高考

1.(2011全國卷2理12)設(shè)向量a,b,c滿足|a|=|b|=的最大值等于()

2.(2016浙江卷文15)已知平面向量a,b,|a|=1,|b|= 2,a·b=1.若e為平面單位向量,則|a·e|+|b·e|的最大值是____.

3.(2016江蘇卷理13)如圖6,在△ABC中,D是BC的中點,E,F是AD上的兩個三等分點,則的值是___.

圖6

高中階段的平面向量運算都具有明顯的幾何意義,充分抓住平面向量的幾何特征,從“形”這一角度打開思維入口,繼而將向量問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題借助數(shù)形結(jié)合處理,該做法是向量試題中較為常見且隱蔽性又較強(qiáng)的一種處理策略,它對學(xué)生綜合分析、運用知識的能力提出了一定的要求,要求學(xué)生具有較好的數(shù)學(xué)素養(yǎng),同時也更好地提高了學(xué)生分析問題、解決問題的能力.

[1]劉勝林.向量試題中的幾種求解視角.數(shù)學(xué)通訊,2015(3)：3-4