龍洋 任捷 江海濤 孫勇 陳鴻

(同濟(jì)大學(xué)物理科學(xué)與工程學(xué)院,聲子學(xué)與熱能科學(xué)中心,先進(jìn)微結(jié)構(gòu)材料教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海 200092)

超構(gòu)材料中的光學(xué)量子自旋霍爾效應(yīng)?

龍洋 任捷?江海濤 孫勇 陳鴻

(同濟(jì)大學(xué)物理科學(xué)與工程學(xué)院,聲子學(xué)與熱能科學(xué)中心,先進(jìn)微結(jié)構(gòu)材料教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海 200092)

(2017年9月20日收到;2017年10月27日收到修改稿)

電子的量子自旋霍爾效應(yīng)的發(fā)現(xiàn)推進(jìn)了當(dāng)今凝聚態(tài)物理學(xué)的發(fā)展,它是一種電子自旋依賴的具有量子行為的輸運(yùn)效應(yīng).近年來,大量的理論和實(shí)驗(yàn)研究表明,描述電磁波場(chǎng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的麥克斯韋方程組內(nèi)稟了光的量子自旋霍爾效應(yīng),存在于界面的倏逝波表現(xiàn)出強(qiáng)烈的自旋與動(dòng)量關(guān)聯(lián)性.得益于新興的光學(xué)材料:超構(gòu)材料(metamaterials)的發(fā)展,不僅能夠任意設(shè)定光學(xué)參數(shù),同時(shí)也能引入很多復(fù)雜的自旋-軌道耦合機(jī)理,讓我們能夠更加清晰地了解和驗(yàn)證其中的物理機(jī)理.本文對(duì)超構(gòu)材料中量子自旋霍爾效應(yīng)做了簡(jiǎn)要的介紹,內(nèi)容主要包括真空中光的量子自旋霍爾效應(yīng)的物理本質(zhì)、電單負(fù)和磁單負(fù)超構(gòu)材料能帶反轉(zhuǎn)導(dǎo)致的不同拓?fù)湎嗟慕缑鎽B(tài)、拓?fù)潆娐废到y(tǒng)中光量子自旋霍爾效應(yīng)等.

量子自旋霍爾效應(yīng),超構(gòu)材料,拓?fù)湎嘧?/p>

1 引 言

凝聚態(tài)物理發(fā)展至今,已經(jīng)發(fā)現(xiàn)并解釋了很多有關(guān)電子輸運(yùn)行為的新奇現(xiàn)象.霍爾效應(yīng)的發(fā)現(xiàn)最早始于在外加磁場(chǎng)的作用下導(dǎo)體中的電子輸運(yùn)行為依賴于外加磁場(chǎng)方向,隨后量子力學(xué)的發(fā)展,拋棄了原本的經(jīng)典理論,轉(zhuǎn)而在自由電子氣的基礎(chǔ)上對(duì)電子在外磁場(chǎng)中的輸運(yùn)進(jìn)行量子化描述,提出了朗道能級(jí)和量子霍爾效應(yīng)的概念[1].由于磁場(chǎng)的出現(xiàn),打破了原本的電子輸運(yùn)的時(shí)間反演對(duì)稱性,在量子霍爾效應(yīng)中導(dǎo)致了電荷正負(fù)性依賴的單向邊緣態(tài),這種單向邊緣態(tài)的出現(xiàn)可以通過電子氣能帶的拓?fù)湫詠斫忉?自旋霍爾效應(yīng)則是在電子自旋與軌道耦合的系統(tǒng)中出現(xiàn)的電子輸運(yùn)現(xiàn)象[2,3],即原本的電子輸運(yùn)行為會(huì)受到電子本身自旋的影響,出現(xiàn)電子自旋依賴的輸運(yùn)行為.這種霍爾效應(yīng)并不需要外加磁場(chǎng),即不違背時(shí)間反演對(duì)稱性,當(dāng)量子效應(yīng)明顯時(shí),便會(huì)出現(xiàn)具有量子效應(yīng)的量子自旋霍爾效應(yīng)[4,5].量子自旋霍爾效應(yīng)與量子霍爾效應(yīng)類似,在固體表面會(huì)出現(xiàn)單向傳播的邊緣態(tài),但量子自旋霍爾效應(yīng)中的單向邊緣態(tài)則是自旋依賴的.同樣地,這種自旋依賴的邊緣態(tài)可以利用電子態(tài)的拓?fù)湫再|(zhì)進(jìn)行表征.在最近幾年,相繼在實(shí)驗(yàn)中觀察到了量子自旋霍爾效應(yīng).在尋找具有這種量子自旋霍爾效應(yīng)的材料的過程中,導(dǎo)致了一類新型材料的出現(xiàn):拓?fù)浣^緣體[6,7].拓?fù)浣^緣體雖然在體能帶中表現(xiàn)為絕緣體,但在邊界上卻表現(xiàn)出如金屬般無能隙的性質(zhì).這些存在于邊緣上的自旋依賴的單向傳播態(tài)可以通過量子自旋霍爾效應(yīng)的物理進(jìn)行解釋,并可以通過其體能帶的拓?fù)湫再|(zhì)進(jìn)行表征.

通過大量的凝聚態(tài)物理研究發(fā)現(xiàn),量子自旋霍爾效應(yīng)這種奇特的電子輸運(yùn)行為可以通過單電子在晶格體系中的行為進(jìn)行描述[8],這一理論上的突破表明可以在其他具有波動(dòng)性質(zhì)的系統(tǒng)中重現(xiàn)電子的這種行為.近幾年來,在光子體系中率先出現(xiàn)了類比電子霍爾效應(yīng)的成功案例,如利用磁光介質(zhì)或動(dòng)態(tài)調(diào)控導(dǎo)致的時(shí)間反演破缺在光子體系中實(shí)現(xiàn)了光子的霍爾效應(yīng)和光子的量子霍爾效應(yīng)[9,10].要實(shí)現(xiàn)光子的量子自旋霍爾效應(yīng)不需要引入系統(tǒng)的時(shí)間反演破缺機(jī)理,但是要在材料中實(shí)現(xiàn)復(fù)雜的自旋與軌道耦合機(jī)理.常規(guī)的光學(xué)材料往往不具備這種性質(zhì),但隨著光子超構(gòu)材料(metamaterials)的提出與發(fā)展,這一問題得以突破:利用復(fù)雜的人工微結(jié)構(gòu)單元引入光與物質(zhì)的強(qiáng)烈相互作用[11,12],從而實(shí)現(xiàn)了電子的量子自旋霍爾效應(yīng)在光子體系中的類比.不過最近的研究表明,光的量子自旋霍爾效應(yīng)并不需要復(fù)雜的晶格作用機(jī)理,即使在真空中傳播的光也具備內(nèi)稟的量子自旋霍爾效應(yīng)[13].

2 自由空間中光子的拓?fù)湫再|(zhì)

眾所周知,光子的傳播行為主要由麥克斯韋方程組進(jìn)行描述.麥克斯韋方程組基本描述了光從經(jīng)典電磁波到量子體系相對(duì)論范疇內(nèi)的所有性質(zhì).光子本身是自旋為1的粒子,本身的傳播行為便具有內(nèi)稟的自旋-軌道耦合效應(yīng),具有一系列的量子行為,如Berry相位,這些量子行為是光具有量子自旋霍爾效應(yīng)的基石[14].對(duì)于描述單色電磁波的麥克斯韋方程組:

其對(duì)應(yīng)的時(shí)間平均能量密度w和坡印廷矢量p分別為:

雖然坡印廷矢量p代表了電磁場(chǎng)的動(dòng)量密度,但其實(shí)它卻是由一系列不同物理含義的成分組合而成的[15?18].根據(jù)麥克斯韋方程組,可以將坡印廷矢量分解為兩個(gè)部分:

其中,po代表軌道動(dòng)量密度,其負(fù)責(zé)能量傳輸;而ps是自旋動(dòng)量密度,它不負(fù)責(zé)能量傳輸?shù)墚a(chǎn)生光的軌道角動(dòng)量[18].從(4)式可以看出,po代表光的動(dòng)量密度可觀測(cè)的部分,這部分由電磁場(chǎng)的局域波矢表述,體現(xiàn)能量在空間中分布的輸運(yùn)變化程度,但po與電磁場(chǎng)的極化無關(guān).自旋動(dòng)量ps表征了螺旋型的自旋流,其可以表征為自旋角動(dòng)量密度的旋度,即

在傍軸光學(xué)的研究中可以很清楚地看出兩個(gè)量對(duì)應(yīng)的物理含義,po和ps分別負(fù)責(zé)描述光的軌道和自旋動(dòng)量[19].

在自由空間中,ε=μ=1.如果將電磁波的能量、動(dòng)量和自旋計(jì)算表達(dá)為量子力學(xué)中的力學(xué)算符形式,則需要先定義電磁波的波函數(shù),這里引入電磁波的局域態(tài)波函數(shù)[18]:

根據(jù)這個(gè)局域態(tài)定義,可以得到電磁波的能量密度、軌道角動(dòng)量、自旋角動(dòng)量的“局域平局值”為:

其中,ω為能量密度算符,即電磁波頻率;為電磁波動(dòng)量算符,為電磁波自旋算符.根據(jù)自旋角動(dòng)量密度s的定義(6)式,可以求得自旋算符為[13,18,19]:

現(xiàn)在來考慮自由空間中傳播波的自旋和相應(yīng)的拓?fù)湫再|(zhì).對(duì)于在自由空間中傳播的極化平面波E(r),其具有如下形式:

其中波矢量為k=ω/c.對(duì)于圓極化的電磁波而言,其具有旋性,即可以用自旋態(tài)來表征光的自旋極化,根據(jù)上文提到的自旋角動(dòng)量公式,可以推出圓極化光的自旋角動(dòng)量為[13]s=σk/k.

對(duì)于任意方向傳播的電磁波,因?yàn)殡姶挪ㄊ菣M波,?·E=0,其極化狀態(tài)與波矢相互鎖定,波矢空間中電磁波極化狀態(tài)分布e(k)反映了光內(nèi)稟的自旋與軌道耦合關(guān)系.考慮自旋角動(dòng)量非零s0的圓極化光傳播,其本征矢量可以表示為:eσ(k),對(duì)應(yīng)的Berry連接A和Berry曲率F分別為:

因?yàn)閷?duì)于真空中的光而言,光錐上的本征態(tài)正交且左右旋簡(jiǎn)并,因此Berry曲率F僅含有對(duì)角項(xiàng),Fσσ′=δσσ′Fσ,在動(dòng)量空間的中心包含了兩個(gè)拓

樸單極子[13,14,20?22]:

根據(jù)Berry曲率,便可以通過在動(dòng)量空間中進(jìn)行全積分求出兩個(gè)不同自旋態(tài)的Chern數(shù),

對(duì)于單個(gè)拓樸單極子而言,其Chern數(shù)為Cσ=2σ,則系統(tǒng)總Chern數(shù)為

系統(tǒng)的自旋Chern數(shù)為

總Chern數(shù)和自旋Chern數(shù)分別用來表征光的量子霍爾效應(yīng)和量子自旋霍爾效應(yīng)[6,7].在電子的量子自旋霍爾效應(yīng)中,Chern數(shù)不僅表征體能帶本征態(tài)在動(dòng)量空間演化的性質(zhì),也聯(lián)系了在系統(tǒng)邊緣處支持的邊緣態(tài)拓?fù)湎嘧冃再|(zhì),Chern數(shù)大小正好等于單向傳播的邊緣態(tài)個(gè)數(shù)[6,7].因?yàn)樽杂煽臻g中的光傳播并不違背時(shí)間反演對(duì)稱,麥克斯韋方程組中并不體現(xiàn)光具有量子霍爾效應(yīng),于是總Chern數(shù)C為零.但自旋Chern數(shù)Cspin不為零,這表示真空中的光能夠支持量子自旋霍爾效應(yīng),在系統(tǒng)邊緣處能夠支持自旋依賴的傳播模式.

最為人們所熟知的界面?zhèn)鞑ツＪ奖闶潜砻娴入x子體激元(surface plasmon polaritons,SPP).相比于真空中傳播的光,SPP的傳播模式是橫截面處為倏逝場(chǎng)的表面模,大量研究發(fā)現(xiàn)橫向倏逝波這種傳播模式具有額外的自旋動(dòng)量[18,23?25],而且該動(dòng)量正交于其傳播波矢,這個(gè)額外的自旋動(dòng)量來源于不同自旋拓?fù)浣橘|(zhì)在界面處的拓?fù)湎嘧?這個(gè)拓?fù)湎嘧円鹂捎^察的非平凡的光量子自旋霍爾效應(yīng)[18,24].利用自旋算符和電磁波的波函數(shù)ψ定義,可以求出SPP的垂直于傳播方向的自旋密度大小s⊥:

該自旋動(dòng)量s⊥并不依賴于極化方向e(k),且該自旋與動(dòng)量的鎖定關(guān)系類似于電子系統(tǒng)中的量子自旋霍爾效應(yīng)[13,18],如圖1所示.真空中Cspin=4表示存在兩對(duì)量子自旋霍爾效應(yīng)模式,對(duì)應(yīng)于界面的倏逝波,則表示每個(gè)倏逝波模式對(duì)于兩個(gè)光自旋態(tài)而言都是雙重簡(jiǎn)并的.然而由于麥克斯韋方程組決定每個(gè)界面模式的存在需要兩個(gè)不同介質(zhì)滿足一定的條件關(guān)系,這個(gè)限制破壞了原本應(yīng)有的電磁波極化簡(jiǎn)并[17,26].對(duì)于真空與金屬(ε＜?1)的界面產(chǎn)生的SPP而言,僅存在橫磁場(chǎng)這一個(gè)極化模式,當(dāng)僅激勵(lì)單個(gè)自旋模式時(shí),由于自旋與動(dòng)量的鎖定,僅會(huì)激勵(lì)出單個(gè)方向的SPP表面波.

除了在介質(zhì)界面處能夠觀察到光的量子自旋霍爾效應(yīng),也可以通過引入強(qiáng)烈的光與物質(zhì)相互作用來實(shí)現(xiàn)光的自旋態(tài)之間在材料中的相互耦合[21,22].在傳統(tǒng)的光學(xué)材料中,光的自旋與軌道耦合的作用非常微弱,難以觀察測(cè)量.如何加強(qiáng)光與物質(zhì)之間的相互作用一直是一個(gè)至關(guān)重要的課題,但隨著超構(gòu)材料的發(fā)展,這些問題逐漸得到有效解決.超構(gòu)材料本身由深亞波長(zhǎng)尺度的人工微結(jié)構(gòu)單元組成,這些組成單元對(duì)于電磁波有著極強(qiáng)的局域響應(yīng),能夠極大地增強(qiáng)光與物質(zhì)之間的相互作用.利用這些常規(guī)自然材料所不具備的光學(xué)性能可實(shí)現(xiàn)各種具有奇異性能的光學(xué)器件,諸如負(fù)折射、超棱鏡以及光學(xué)隱身等.事實(shí)上,利用超構(gòu)材料這一很好的光學(xué)平臺(tái)可從實(shí)驗(yàn)上直接觀察光的量子自旋霍爾效應(yīng)[27?31],如圖2所示.張翔教授課題組利用相位劇烈變化的超表面打破系統(tǒng)的軸向?qū)ΨQ性,實(shí)現(xiàn)了極化光的大尺度劈裂,驗(yàn)證了光的自旋霍爾效應(yīng)[29];Shitrit等[30]利用超表面實(shí)現(xiàn)的光與物質(zhì)之間的強(qiáng)烈自旋與軌道相互耦合實(shí)現(xiàn)了自旋可控的光路由;Lin等[31]利用極化光與超表面之間對(duì)于自旋依賴的耦合實(shí)現(xiàn)了可控的表面等離子體共振基元的選擇性激勵(lì);Kapitanova等[32]成功地在雙曲超構(gòu)材料中觀測(cè)并實(shí)驗(yàn)測(cè)量了光的自旋霍爾效應(yīng),實(shí)現(xiàn)了光路由功能.

圖1 (a)SPP存在于金屬體能帶的禁帶中,而且具有極強(qiáng)自旋與動(dòng)量鎖定關(guān)系;(b)SPP在二維空間的中色散關(guān)系表現(xiàn)出類似于3維拓?fù)浣^緣體表面態(tài)的自旋渦流[13]Fig.1.(a)Surface plasmon polaritons(SPP)exist inside the gap of the metal bulk spectrum and have spin momentum locking relationship;(b)the two-dimensional dispersion of SPP mode exhibits a vortex spin texture similar with the edge states of 3D topological insulators.

圖2 (a)具有空間相位梯度的光學(xué)超表面;(b)直接觀察光的自旋霍爾效應(yīng),紅色和藍(lán)色分別表示右旋圓極化和左旋圓極化[29];(c)具有反演對(duì)稱性破缺的周期性人工微結(jié)構(gòu)[30],該結(jié)構(gòu)能夠產(chǎn)生具有自旋依賴的能帶關(guān)系(d);(e)反演對(duì)稱破缺的超表面結(jié)構(gòu)激勵(lì)出自旋依賴的表面波[31],不用自旋態(tài)對(duì)應(yīng)于不同的傳播方向(f)Fig.2.(a)The metasurface with spatially gradient phases;(b)the direct observations of optical spin Hall e ff ect,red(blue)means right(left)circular-polarizations[29];(c)the periodic arti ficial microstructure[30]with broken inversion symmetry can induce spin-dependent band structure(d);(e)the metasurface with broken inversion symmetry can hold spin-dependent surface waves[31],which have strong lockings with momentum directions.

3 電單負(fù)與磁單負(fù)材料的邊緣態(tài)

對(duì)于電磁波而言,介電常數(shù)單負(fù)(ENG)和磁導(dǎo)率單負(fù)(MNG)是描述一個(gè)均勻光學(xué)材料屬于光絕緣體的兩個(gè)宏觀電磁參量.對(duì)于超構(gòu)材料而言,因?yàn)槠浣Y(jié)構(gòu)單元尺度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于工作波長(zhǎng),故其光學(xué)響應(yīng)可以看作平均場(chǎng)作用的結(jié)果,ENG和MNG超構(gòu)材料提供了研究光絕緣體的光學(xué)拓?fù)湫再|(zhì)的理想平臺(tái).根據(jù)麥克斯韋方程組,ENG和MNG材料的表面存在一種特殊的界面態(tài)[33],不同于SPP,ENG與MNG材料均為光絕緣體,體內(nèi)均不存在能在內(nèi)部自由傳播的體波,卻能在界面處營(yíng)造出類似光導(dǎo)體的表面色散關(guān)系.這一點(diǎn)類似于電子的拓?fù)浣^緣體,電子的拓?fù)浣^緣體內(nèi)部表現(xiàn)為絕緣體,有比較寬的電子能隙,當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)具有不同拓?fù)湫再|(zhì)的電子拓?fù)浣^緣體接觸時(shí),在表面發(fā)生拓?fù)滢D(zhuǎn)變,產(chǎn)生受拓?fù)浔Ｗo(hù)的單向邊界態(tài).但與電子的拓?fù)浣^緣體情況不同的是,ENG和MNG均不是光的拓?fù)浣^緣體,其不存在體能帶,同時(shí),ENG和MNG表面所支持的邊界態(tài)并不被與電子拓?fù)浣^緣體相同的拓?fù)錂C(jī)理保護(hù),不能抑制背散射,不能免疫于表面的雜質(zhì)或無序,ENG和MNG材料的表面態(tài)并不違背麥克斯韋方程的時(shí)間反演對(duì)稱性[13].

根據(jù)上文中對(duì)于真空中光的拓?fù)湫再|(zhì)討論,ENG/MNG界面處出現(xiàn)的特殊界面態(tài)其實(shí)是由于光的量子自旋霍爾效應(yīng)造成的.雖然真空中的光總Chern數(shù)為零,但自旋Chern數(shù)不為零,真空與ENG構(gòu)成界面時(shí)發(fā)生自旋的拓?fù)湎嘧僛13,18],在邊界處出現(xiàn)了我們所熟知的SPP.類似地,真空與MNG構(gòu)成界面也會(huì)發(fā)生自旋的拓?fù)湎嘧?在邊界處出現(xiàn)了磁SPP的極化邊界態(tài),這兩個(gè)不同邊界態(tài)的出現(xiàn)說明ENG和MNG分別具有兩種不同的自旋拓?fù)湫再|(zhì)[13,33?37],當(dāng)ENG和MNG這兩種具有不同自旋拓?fù)湫再|(zhì)的材料接觸產(chǎn)生邊界時(shí),邊界處自然會(huì)發(fā)生自旋的拓?fù)湎嘧僛35,36],并產(chǎn)生自旋依賴的單向傳播態(tài).以橫磁極化的電磁波為例,ENG和MNG超構(gòu)材料中的界面態(tài)的解為[33]:

對(duì)應(yīng)的電磁波波函數(shù)可以表示為:

圖3 (a)ENG與MNG界面處支持光的量子霍爾效應(yīng);(b)表面波的自旋ssurf表現(xiàn)出強(qiáng)烈的自旋與動(dòng)量鎖定[33]Fig.3.(a)The optical quantum spin Hall e ff ect on the interface between ENG and MNG;(b)the spin density ssurfof surface mode can exhibit strong spinmomentum locking[33].

圖4 (a)利用具有微結(jié)構(gòu)單元的微帶線系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)光學(xué)的ENG和MNG界面,在MNG內(nèi)部利用具有自旋選擇性激勵(lì)的點(diǎn)源激勵(lì)表面波;(b),(c)以左旋激勵(lì)出向左傳播的表面波;(d),(e)以右旋激勵(lì)出向右傳播的表面波;(f),(g)從|Hz|的場(chǎng)分布中可以看出不同自旋對(duì)對(duì)應(yīng)場(chǎng)分布的選擇性激發(fā),CRS(clockwise-rotating source)表示順時(shí)針激勵(lì)的源,ACRS(anticlockwise-rotating source)表示逆時(shí)針激勵(lì)的源[33]Fig.4.(a)The interface pro files between ENG and MNG can be realized by the microwave transmission line system with arti ficial microstructures,a circularly polarized source in MNG can excite one guided mode with a speci fic propagating direction;(b),(c)the surface waves excited by clockwise-rotating source;(d),(e)the surface waves excited by anticlockwise-rotating source;(f),(g)the normalized stimulated values of|Hz|can re flect the selected excitation of corresponding surface mode pro file,In figure,CRS means clockwise-rotating source and ACRS means anticlockwise-rotating source[33].

為了證明ENG和MNG表面存在光的量子自旋霍爾效應(yīng),利用具有人工微結(jié)構(gòu)單元的微帶線體系,在微波波段設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)ENG和MNG兩種材料的界面并激勵(lì)相應(yīng)的自旋態(tài)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證.在微帶線體系中,通過調(diào)制其中的集成元件和微帶線幾何參數(shù)實(shí)現(xiàn)等效的電磁波參數(shù),從而實(shí)現(xiàn)等效ENG和MNG的超構(gòu)材料[38],如圖4所示.通過利用四個(gè)具有不同相位的點(diǎn)源激勵(lì)不同自旋性質(zhì)的電磁波,根據(jù)實(shí)驗(yàn)和仿真結(jié)果可知,ENG和MNG表面支持的界面態(tài)具有光的量子自旋霍爾效應(yīng),從而驗(yàn)證了理論的正確性.

4 拓?fù)潆娐分械牧孔幼孕魻栃?yīng)

在超構(gòu)材料里光與物質(zhì)的相互作用中,除了深亞波長(zhǎng)的人工微結(jié)構(gòu)對(duì)光的調(diào)控響應(yīng)外,來自超構(gòu)材料中晶格作用本身的耦合作用也不可忽視,尤其在一些具有強(qiáng)烈自旋-軌道相互作用的材料中,光的量子自旋霍爾效應(yīng)非常明顯,對(duì)于這一類材料的研究促進(jìn)了一門新興的材料研究分支:光子拓?fù)浣^緣體[11,12].不同于自由空間中的光量子霍爾效應(yīng),來自晶格作用產(chǎn)生的光量子自旋霍爾效應(yīng)雖然所有能帶的總Chern數(shù)仍為零,但在某一支體能帶上的Chern數(shù)不為零,這表明材料具有拓?fù)浞瞧椒驳膸?與不同拓?fù)湫再|(zhì)的材料的接觸處會(huì)發(fā)生拓?fù)湎嘧儾⒕哂惺芡負(fù)浔Ｗo(hù)的單向邊緣態(tài),兩個(gè)自旋態(tài)是相互分立的[12].

為了討論晶格作用下的光量子自旋霍爾效應(yīng),以帶有自旋-軌道耦合的二維Lie lattice模型為例[39?41],這里主要回顧文獻(xiàn)[41]的內(nèi)容,如圖5所示,在緊束縛模型近似下,其二維Lieb lattice的哈密頓量可表示成:

圖5 (a)Lieb lattice模型的晶格示意圖,t1和t2分別表NN和NNN耦合強(qiáng)度;(b)Lieb lattice模型的第一布里淵區(qū),Γ,X和M是布里淵區(qū)的高對(duì)稱點(diǎn)[41]Fig.5.(a)The theoretical model of Lieb lattice,t1and t2represent near-neighbor and next-near-neighbor coupling strengths respectively;(b)the first Brillouin zone of model,and means the high symmetry points in Brillouin zone[41].

其中,eij=dik×dkj/|dik×dkj|,dik和dkj是連接格點(diǎn)i和j的中間矢量;代表格點(diǎn)i上的產(chǎn)生(湮沒)算符;t1,t2和λISO分別表示近鄰耦合強(qiáng)度(NN)、次近鄰(NNN)耦合強(qiáng)度和自旋-軌道耦合(ISO)強(qiáng)度;σ和σ′表示自旋投影算符,而σ=(σx,σy,σz)是泡利矩陣矢量. 第一、二項(xiàng)分別表示近鄰、次近鄰格點(diǎn)間的相互作用,而第三項(xiàng)表示次近鄰格點(diǎn)間的自旋-軌道耦合,這里的自旋并非指代光子本身由麥克斯韋方程組所描述的自旋,而是因?yàn)楣庾优c晶格作用造成的Bloch光子贗自旋[42,43].

考慮到自旋的Lieb lattice模型可等效為兩套分別考慮單一自旋的電路系統(tǒng)的疊加,再利用兩套系統(tǒng)格點(diǎn)之間的聯(lián)接類比量子系統(tǒng)中自旋-軌道耦合,便可以得到Lieb lattice電路系統(tǒng)[41],具體的電子元器件排列及其聯(lián)接如圖6所示.在整個(gè)類比過程中,為了實(shí)現(xiàn)量子系統(tǒng)中的負(fù)耦合,將圖中的模塊A,B和C分別類比Lieb lattice模型中的格點(diǎn)A,B和C;其次,通過定義每個(gè)模塊中電感X,Y端電壓的方向及格點(diǎn)間的聯(lián)接,引入贗自旋,即↑=Ux+iUy,↓=Ux?iUy,其中,Ux=V+x?V?x和Uy=V+y?V?y分別表示電感X,Y兩端的電壓.由于給各模塊上電感的端電壓定義了方向,便可以通過交叉聯(lián)接來實(shí)現(xiàn)負(fù)耦合,如圖6(b)所示,順著箭頭的方向,從左向右可實(shí)現(xiàn)Ux→?Uy和Uy→Ux的轉(zhuǎn)變,即↑→i↓和↓→?i↓,其他聯(lián)接(箭頭)也可以如此實(shí)現(xiàn).最后,將系統(tǒng)所有聯(lián)接考慮在內(nèi),可以得到圖6(c)和圖6(d),如此,可實(shí)現(xiàn)線性電路系統(tǒng)與量子自旋霍爾相的類比[6,7,39,41,44].

圖6 (a)Lieb lattice電路系統(tǒng)及其具體聯(lián)接,其中不同顏色的聯(lián)接線代表電路印刷板不同面上的聯(lián)接;(b)類比量子系統(tǒng)中90o相位的電路聯(lián)接;(c)和(d)表示(a)中橙色方塊內(nèi)的聯(lián)接;(e)當(dāng)a=1,t1/t2=2時(shí),Lieb lattice電路系統(tǒng)的能譜色散曲線;(f)半無限Lieb lattice電路系統(tǒng)的單向邊界態(tài)及其自旋Chern數(shù)[41]Fig.6.(a)The Lieb lattice circuit system,the links with di ff erent colors mean circuits in di ff erent plane;(b)the circuit pro files corresponding to quantum interaction with 90 degrees phase;(c),(d)give the concrete circuit pro files inside the block in(a);(e)the bandstructure of Lieb lattice circuit system,when a=1 and t1/t2=2;(f)the bandstructure and spin Chern number of edge states of half-in finite Lieb lattice circuit system[41].

為了進(jìn)一步研究其拓?fù)湫再|(zhì),基于以上電路聯(lián)接,根據(jù)基爾霍夫定律,便可寫出系統(tǒng)的微波電路運(yùn)動(dòng)方程[41]:

從上式可以看出,結(jié)點(diǎn)B和結(jié)點(diǎn)C之間的耦合在自旋表象下是虛數(shù),這表明該耦合機(jī)理產(chǎn)生了具有π/2相位差的等效磁場(chǎng).同時(shí),對(duì)于不同自旋,該等效磁場(chǎng)具有不同的符號(hào).通過數(shù)值計(jì)算出半無限Lieb lattice系統(tǒng)(X方向有限,Y方向無限)的能譜,如圖6(e)所示,并計(jì)算各能帶的自旋Chern數(shù)[39]:

可知當(dāng)a=1,t1/t2=2時(shí),系統(tǒng)是拓?fù)浞瞧接沟?且其各能帶的自旋Chern數(shù)如圖6(f)所示,而能隙中的紅藍(lán)曲線分別代表自旋向上和向下的邊界態(tài).該晶格體系中強(qiáng)烈的自旋-軌道相互作用等效產(chǎn)生局域非零磁場(chǎng),原本的Lieb晶格中的能帶簡(jiǎn)并電因自旋能量分立而打開形成拓?fù)浞瞧接箮?系統(tǒng)邊界處發(fā)生拓?fù)湎嘧兌哂凶孕蕾嚨膯蜗蜻吔鐟B(tài).

5 結(jié)束語

電子的量子自旋霍爾效應(yīng)推動(dòng)了當(dāng)今凝聚態(tài)物理研究的發(fā)展,在麥克斯韋方程所描述的光中同樣內(nèi)稟了量子自旋霍爾效應(yīng)的特征.本文簡(jiǎn)要介紹了真空中的光本征地存在量子自旋霍爾效應(yīng)的物理本質(zhì),同時(shí)介紹了通過利用超構(gòu)材料系統(tǒng)來研究和揭示在光與物質(zhì)存在強(qiáng)烈相互作用下的光量子自旋霍爾效應(yīng).利用ENG和MNG材料拓?fù)湎嘧兊慕缑鎽B(tài)來揭示ENG和MNG材料的拓?fù)湫再|(zhì)對(duì)于電磁波傳輸?shù)挠绊?利用基于Lieb lattice的拓?fù)潆娐穪矸治隼镁Ц褡饔脤?shí)現(xiàn)光的贗自旋態(tài)和自旋與軌道的強(qiáng)烈耦合,實(shí)現(xiàn)Bloch光子的量子自旋霍爾效應(yīng).通過研究光的量子自旋霍爾效應(yīng)將能為以后高效的光學(xué)通信,電磁波波前處理等提供理想的實(shí)現(xiàn)平臺(tái).

[1]Thouless D J,Kohmoto M,Nightingale M P,den Nijs M 1982Phys.Rev.Lett.49 405

[2]Sinova J,Culcer D,Niu Q,Sinitsyn N A,Jungwirth T,Macdonald A H 2004Phys.Rev.Lett.92 126603

[3]Murakami S,Nagaosa N,Zhang S C 2003Science301 1348

[4]Kane C L,Mele E J 2005Phys.Rev.Lett.95 226801

[5]Bernevig B A,Hughes T L,Zhang S C 2006Science314 1757

[6]Hasan M Z,Kane C L 2010Rev.Modern Phys.82 3045

[7]Qi X L,Zhang S C 2011Rev.Modern Phys.83 1057

[8]Haldane F D M,Raghu S 2008Phys.Rev.Lett.100 013904

[9]Wang Z,Chong Y,Joannopoulos J D,Soljacic M 2009Nature461 772

[10]Fang K,Yu Z,Fan S 2012Nature Photon.6 782

[11]Khanikaev A B,Mousavi S H,Tse W K,Kargarian M,Macdonald A H,Shvets G 2012Nature Mater.12 233

[12]Lu L,Joannopoulos J D,Solja?i? M 2014Nature Photon.8 821

[13]Bliokh K Y,Smirnova D,Nori F 2015Science348 1448

[14]Bliokh K Y,Niv A,Kleiner V,Hasman E 2008Nature Photon.2 748

[15]Belinfante F J 1940Physica7449

[16]Berry M V 2009J.Opt.A:Pure and Applied Optics11 094001

[17]Bliokh K Y,Dressel J,Nori F 2014New J.Phys.16 093037

[18]Bliokh K Y,Bekshaev A Y,Nori F 2014Nature Commun5 3300

[19]Bekshaev A,Bliokh K Y,Soskin M 2011J.Opt.13 053001

[20]Stone M 2015Science348 1432

[21]Bliokh K Y,Rodríguez-Fortu?o F J,Nori F,Zayats A V 2015Nature Photon.9 796

[22]Aiello A,Banzer P,Neugebauer M,Leuchs G 2015Nature Photon.9 789

[23]Bliokh K Y,Nori F 2015Phys.Reports592 1

[24]Van Mechelen T,Jacob Z 2016Optica3 118

[25]Bekshaev A Y,Bliokh K Y,Nori F 2015Phys.Rev.X5 011039

[26]Bliokh K Y,Bekshaev A Y,Nori F 2013New J.Phys15 033026

[27]Petersen J,Volz J,Rauschenbeutel A 2014Science346 67

[28]Rodríguez-Fortu?o F J,Marino G,Ginzburg P,O’Connor D,Martínez A,Wurtz G A,Zayats A V 2013Science340 328

[29]Yin X,Ye Z,Rho J,Wang Y,Zhang X 2013Science339 1405

[30]Shitrit N,Yulevich I,Maguid E,Ozeri D,Veksler D,Kleiner V,Hasman E 2013Science340 724

[31]Lin J,Mueller J P B,Wang Q,Yuan G,Antoniou N,Yuan X C,Capasso F 2013Science340 331

[32]Kapitanova P V,Ginzburg P,Rodríguez-Fortu?o F J,Filonov D S,Voroshilov P M,Belov P A,Zayats A V 2014Nature Commun.5 3226

[33]Guo Z,Jiang H,Long Y,Yu K,Ren J,Xue C,Chen H 2017Sci.Reports77742

[34]Tan W,Sun Y,Chen H,Shen S Q 2014Sci.Reports4 3842

[35]Shi X,Xue C,Jiang H,Chen H 2016Opt.Express24 18580

[36]Silveirinha M G 2015Phys.Rev.B92 125153

[37]Silveirinha M G 2016Phys.Rev.B93 075110

[38]Caloz C,Itoh T 2005Electromagnetic Metamaterials:Transmission line Theory and Microwave Applications(New York:John Wileyamp;Sons)

[39]Weeks C,Franz M 2010Phys.Rev.B82 085310

[40]Goldman N,Urban D F,Bercioux D 2011Phys.Rev.A83 063601

[41]Zhu W W,Hou S S,Long Y,Chen H,Ren J 2017 arXiv:1710.07268[cond mat.mes hall]

[42]Mecklenburg M,Regan B C 2011Phys.Rev.Lett.106 116803

[43]Song D,Paltoglou V,Liu S,Zhu Y,Gallardo D,Tang L,Chen Z 2015Nature Commun.6 6272

[44]Ningyuan J,Owens C,Sommer A,Schuster D,Simon J 2015Phys.Rev.X5 021031

PACS:78.67.Pt,03.50.De,05.30.RtDOI:10.7498/aps.66.227803

*Project supported by National Natural Science Foundation of China(Grant No.11775159)and the Natural Science Foundation of Shanghai,China(Grant No.17ZR1443800).

?Corresponding author.E-mail:xonics@#edu.cn

Quantum spin Hall e ff ect in metamaterials?

Long Yang Ren Jie?Jiang Hai-Tao Sun Yong Chen Hong

(Center for Phononics and Thermal Energy Science,School of Physics Science and Engineering,Key Laboratory of Advanced Micro-structure Materials,MOE,Tongji University,Shanghai 200092,China)

20 September 2017;revised manuscript

27 October 2017)

Quantum spin Hall e ff ect(QSHE)of electrons has improved the development of condensed matter researchnowadays,which describesone kind of spin-dependent quantum transport behavior in solid state.Recently,a variety of theoretical and experimental work has revealed that Maxwell equations,which is formulated 150 years ago and ultimately describeproperties of light,can exhibit an intrinsic quantum spin Hall e ff ect of light.The evanescent wave supported on the interface among di ff erent media behaves strong spin-momentum locking.With the rapid development of new optics materials,metamaterials,we can not only adjust the optical parameters of media arbitrarily,but also introduce a lot of complex spin-orbit interaction mechanism.Based on metamaterials,the essential physical mechanism behind quantum spin Hall e ff ect of light can be understood deeply and veri fied easily.The purpose of this review is to give a brief introduction to quantum spin Hall e ff ect of light in metamaterials.These include,for example,the physical essence of QSHE of light,the topological interface mode between permittivity negative and permeability negative metamaterials,QSHE in topological circuits.

quantum spin Hall e ff ect,metamaterials,topological transition

10.7498/aps.66.227803

?國家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào):11775159)和上海市自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào):17ZR1443800)資助的課題.

?通信作者.E-mail:xonics@#edu.cn