代正亮 崔維嘉 巴斌 張彥奎

(解放軍信息工程大學(xué)信息系統(tǒng)工程學(xué)院,鄭州 450001)

對(duì)稱旋轉(zhuǎn)不變相干分布式非圓信號(hào)二維波達(dá)方向估計(jì)?

代正亮?崔維嘉 巴斌 張彥奎

(解放軍信息工程大學(xué)信息系統(tǒng)工程學(xué)院,鄭州 450001)

(2017年4月11日收到;2017年6月23日收到修改稿)

在相干分布式非圓信號(hào)二維波達(dá)方向估計(jì)中,利用信號(hào)非圓特性可提升估計(jì)精度,但現(xiàn)有的低復(fù)雜度算法利用泰勒級(jí)數(shù)近似建立的旋轉(zhuǎn)不變關(guān)系會(huì)引入額外誤差.針對(duì)該問題,考慮中心對(duì)稱的三維立體線陣,提出了一種基于對(duì)稱旋轉(zhuǎn)不變關(guān)系的二維波達(dá)方向估計(jì)算法.算法首先利用信號(hào)非圓特性建立了擴(kuò)展陣列模型;然后證明了對(duì)于任意的中心對(duì)稱陣列,相干分布源的確定性角信號(hào)分布函數(shù)矢量具有對(duì)稱特性,利用此特性在三維立體線陣的三個(gè)子陣中分別建立了擴(kuò)展廣義方向矢量的對(duì)稱旋轉(zhuǎn)不變關(guān)系;基于此,通過無須搜索的多項(xiàng)式求根方式分別得到中心方位角和俯仰角估計(jì);最后利用整個(gè)陣列廣義方向矢量的對(duì)稱旋轉(zhuǎn)不變關(guān)系構(gòu)造代價(jià)函數(shù)實(shí)現(xiàn)了參數(shù)匹配.理論分析和仿真實(shí)驗(yàn)表明,相比于現(xiàn)有的低復(fù)雜度算法,所提算法避免了泰勒級(jí)數(shù)近似引入的額外誤差,以較小的復(fù)雜度代價(jià)獲得了性能的較大提升.同時(shí),所提算法能夠?qū)崿F(xiàn)三維空間全方位的角度估計(jì).

相干分布式信源,非圓信號(hào),三維立體線陣,對(duì)稱旋轉(zhuǎn)不變

1 引 言

波達(dá)方向(direction of arrival,DOA)估計(jì)是陣列信號(hào)處理的重要研究?jī)?nèi)容之一[1?3].傳統(tǒng)的高分辨率DOA估計(jì)算法通常假設(shè)目標(biāo)信源為點(diǎn)源,當(dāng)目標(biāo)的輻射面與接收陣列的分辨力相比小很多時(shí),這種假設(shè)是合理的;但在實(shí)際移動(dòng)通信、雷達(dá)和聲納等應(yīng)用領(lǐng)域中,由于復(fù)雜環(huán)境下的散射、反射等原因會(huì)導(dǎo)致大量的多徑現(xiàn)象,進(jìn)而導(dǎo)致信號(hào)源在空間發(fā)生一定的角度擴(kuò)展,具有了比點(diǎn)源更復(fù)雜的空間分布特性,在這種情況下,需要將目標(biāo)信源建立為一個(gè)分布源模型[4?6].根據(jù)散射特性的不同,分布源可以分為相干分布源(coherently distributed source,CD)和非相干分布源兩種類型[7].迄今為止,針對(duì)上述兩種模型已發(fā)展出了眾多有效的DOA估計(jì)算法,如子空間類算法[8]、波束形成類算法[9]、最大似然類算法[10,11]和稀疏重構(gòu)類算法[12]等.然而上述方法均針對(duì)一維分布源,在實(shí)際應(yīng)用中,信號(hào)源與接收陣列往往不在同一平面上,這種情況下需要將其建立為一個(gè)二維分布源模型.本文主要針對(duì)于CD源的二維DOA估計(jì)問題展開研究.

對(duì)于二維CD源,由于包括四個(gè)未知角度參數(shù):中心方位角,方位角擴(kuò)展,中心俯仰角和俯仰角擴(kuò)展.傳統(tǒng)的二維協(xié)方差匹配[13]、二維波束形成等[14]算法需要多維參數(shù)搜索,復(fù)雜度較高.近年來,低復(fù)雜度的二維CD源DOA估計(jì)技術(shù)研究引起了廣泛關(guān)注.文獻(xiàn)[15]利用空間靠地很近的兩個(gè)均勻圓陣,提出了一種估計(jì)二維CD源DOA的一維交替搜索(sequential one-dimensional searching,SOS)算法,該算法首先基于一階泰勒(Taylor)級(jí)數(shù)展開得到的子陣間近似旋轉(zhuǎn)不變關(guān)系,利用總體最小二乘旋轉(zhuǎn)不變子空間(total least squares rotation invariant subspace,TLS-ESPRIT)算法得到中心俯仰角估計(jì),進(jìn)而通過多次一維搜索得到中心方位角估計(jì),算法只需要一維搜索,但俯仰角的初始估計(jì)精度對(duì)算法性能影響較大.為了避免搜索,文獻(xiàn)[16]在雙平行線陣中,通過與文獻(xiàn)[15]類似的TLS-ESPRIT算法得到俯仰角估計(jì),并且利用分布源廣義方向矢量的二次旋轉(zhuǎn)不變性(quadric rotational invariance property,QRIP)得到了中心方位角估計(jì),避免了譜搜索,但需要參數(shù)匹配;文獻(xiàn)[17]同樣基于雙平行線陣,利用廣義方向矢量Taylor級(jí)數(shù)近似后得到的兩個(gè)近似旋轉(zhuǎn)不變關(guān)系,通過TLS-ESPRIT算法分別得到中心方位角和中心俯仰角估計(jì),無須譜峰搜索,但當(dāng)有多個(gè)信源存在時(shí)同樣需要參數(shù)匹配.以上研究都是基于復(fù)圓信號(hào)特性的假設(shè).然而,在現(xiàn)代通信系統(tǒng)中還存在著大量的非圓信號(hào),如雙相移相鍵控(binary phase shift keying,BPSK)以及最小移頻鍵控(M-aryamplitude shift keying,MASK)等調(diào)制信號(hào)[18].近年來,利用信號(hào)非圓特性提高分布源二維DOA估計(jì)性能的研究引起了相關(guān)學(xué)者的關(guān)注.文獻(xiàn)[19]在文獻(xiàn)[17]的基礎(chǔ)上,提出了相干分布式非圓信號(hào)二維DOA估計(jì)(coherently distributed noncircular source two-dimensional DOA estimation,CDNC)算法,該算法首次利用信號(hào)非圓特性提升分布源二維DOA估計(jì)性能,無須搜索,但需要參數(shù)匹配;為了避免參數(shù)匹配,文獻(xiàn)[20]在利用信號(hào)非圓特性擴(kuò)展陣列模型的基礎(chǔ)上,提出了一種基于擴(kuò)展互協(xié)方差矩陣奇異值分解的二維DOA估計(jì)(two-dimensional DOA estimation of coherently distributed noncircular source based on applying the singular value decomposition method to the extended cross-correlation matrix,NCCC)算法.上述文獻(xiàn)[15—17,19,20]中的二維CD源DOA估計(jì)算法均具有較低的復(fù)雜度,然而這些算法都需要利用Taylor級(jí)數(shù)近似來得到陣列中兩個(gè)子陣廣義方向矢量之間的近似旋轉(zhuǎn)不變關(guān)系,進(jìn)而得到中心方位角和俯仰角估計(jì),這會(huì)引入額外的誤差,導(dǎo)致估計(jì)精度的下降.

三維立體線陣是一種常用的二維DOA估計(jì)陣列,相比于L陣、雙平行線陣等二維陣列,它在相同陣元數(shù)時(shí)具有更大的孔徑,進(jìn)而具有更高的估計(jì)精度[21,22].文獻(xiàn)[23]基于三維立體線陣已經(jīng)提出了一些二維DOA估計(jì)算法,但都是基于點(diǎn)源的研究.本文針對(duì)相干分布式非圓信號(hào)二維DOA估計(jì)問題,考慮中心對(duì)稱的三維立體線陣,利用CD源確定性角信號(hào)分布函數(shù)(deterministic angular signal distribution function,DADF)矢量的對(duì)稱特性在各個(gè)子陣中分別建立了廣義方向矢量的對(duì)稱旋轉(zhuǎn)不變關(guān)系,進(jìn)而通過無須搜索的多項(xiàng)式求根方式得到中心方位角和俯仰角估計(jì).當(dāng)多個(gè)信源存在時(shí),利用整個(gè)陣列廣義方向矢量的對(duì)稱旋轉(zhuǎn)不變關(guān)系構(gòu)造代價(jià)函數(shù)實(shí)現(xiàn)了參數(shù)匹配.相比于傳統(tǒng)的低復(fù)雜度算法,本文算法利用了信號(hào)非圓特性,并且避免了Taylor級(jí)數(shù)近似引入的額外誤差,以較低的復(fù)雜度代價(jià)獲得了性能的較大提升.同時(shí),基于三維立體線陣的特殊結(jié)構(gòu),本文算法能夠?qū)崿F(xiàn)全空間任意入射角的二維DOA估計(jì).

2 數(shù)學(xué)模型

考慮圖1所示的三維立體線陣,該陣列以三維坐標(biāo)系的原點(diǎn)為中心,由分別位于x軸、y軸和z軸上陣元個(gè)數(shù)分別為Mx,My和Mz的三個(gè)均勻直線子陣Xa,Ya和Za垂直構(gòu)成,子陣中陣元間距均為d.假設(shè)有K個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶相干分布式非圓信號(hào)入射到該陣列上,波長(zhǎng)為λ,則t時(shí)刻三個(gè)子陣的輸出信號(hào)矢量分別為[15?20]:

其中,si(θ,φ,t;μi)為第i個(gè)CD源的角信號(hào)密度函數(shù);μi=(θi,σθi,φi,σφi)為第i個(gè)CD源的角度參數(shù)矢量,其中各分量分別表示中心方位角θi,方位角擴(kuò)展σθi,中心俯仰角φi和俯仰角擴(kuò)展σφi;nε(t)(ε∈{x,y,z})分別為三個(gè)子陣上均值為0,方差為的高斯白噪聲.aε(θi,φi)(ε∈{x,y,z})分別是入射方向?yàn)?θi,φi)時(shí)三個(gè)子陣的陣列方向矢量,

圖1 三維立體線陣Fig.1.three-axis crossed array.

由于三個(gè)子陣陣列方向矢量的表達(dá)形式類似,所以為了敘述的簡(jiǎn)潔清楚,將其寫成了(2)式的形式,下文也有類似的表達(dá)式.ηεi(ε∈{x,y,z})分別為三個(gè)子陣的入射頻率參數(shù),其中包含入射角度信息,

對(duì)于一個(gè)二維CD源,角信號(hào)密度函數(shù)si(θ,φ,t;μi)可表示為

其中,si(t)是第i個(gè)復(fù)隨機(jī)信號(hào)源,ρi(θ,φ;μi)為相應(yīng)的確定性角信號(hào)密度函數(shù),通常為高斯分布或均勻分布.

進(jìn)一步地,有:

其 中,?表 示Schur-Hadamard積,gε(μi)(ε∈{x,y,z})分別為三個(gè)子陣的DADF矢量.

若對(duì)于復(fù)隨機(jī)信號(hào)s(t)有:

則稱信號(hào)s(t)為非圓信號(hào),式中ρ為非圓率,β為非圓相位.非圓率的取值區(qū)間為0≤ρ≤1,當(dāng)信號(hào)的非圓率ρ=1,則稱之為最大非圓率信號(hào),常見的有BPSK,MASK等調(diào)制信號(hào).本文考慮接收信號(hào)為最大非圓率信號(hào)的情況,則信號(hào)矢量s(t)可以表示成:

其中,s0(t)是實(shí)信號(hào)矢量,?=diag{ejβ1/2,ejβ2/2,···,ejβK/2},βk是第k個(gè)CD源的非圓相位.

利用信號(hào)的非圓特性,可構(gòu)造擴(kuò)展的陣列輸出信號(hào)矢量[19,20]:

3 基于對(duì)稱旋轉(zhuǎn)不變關(guān)系的二維DOA估計(jì)算法

在相干分布式非圓信號(hào)二維DOA估計(jì)中,現(xiàn)有的低復(fù)雜度算法都需要通過廣義方向矢量Taylor級(jí)數(shù)一階展開來建立近似的旋轉(zhuǎn)不變關(guān)系,這會(huì)引入額外的誤差,進(jìn)而導(dǎo)致精度下降.針對(duì)這一問題,本文在建立相干分布式非圓信號(hào)擴(kuò)展陣列模型的基礎(chǔ)上,首先證明了對(duì)于任意的中心對(duì)稱陣列,CD源的DADF矢量具有對(duì)稱特性,進(jìn)而利用此特性在三維立體線陣的三個(gè)子陣中分別建立了廣義方向矢量的對(duì)稱旋轉(zhuǎn)不變關(guān)系;然后,基于該對(duì)稱旋轉(zhuǎn)不變關(guān)系構(gòu)造了譜函數(shù),并通過無須搜索的多項(xiàng)式求根方法分別得到中心方位角和俯仰角估計(jì);最后,利用整個(gè)陣列廣義方向矢量的對(duì)稱特性,構(gòu)造了一個(gè)簡(jiǎn)單的代價(jià)函數(shù)實(shí)現(xiàn)了參數(shù)匹配.

3.1 DADF矢量對(duì)稱特性證明

考慮任意一個(gè)中心對(duì)稱陣列,該陣列包含以三維坐標(biāo)原點(diǎn)為中心的M個(gè)各向同性陣元,第m個(gè)陣元位于(xm,ym,zm),m=1,2···,M.則入射方向?yàn)?θ,φ)時(shí)的陣列方向矢量可表示為

其中,[g(μi)]m為第i個(gè)CD源DADF矢量的第m個(gè)元素,

其中,

在中心對(duì)稱陣列中有(xm,ym,zm)=?(xM?m+1,yM?m+1,zM?m+1),則可以得到νm=?νM?m+1.由于確定性角信號(hào)密度函數(shù)是單峰對(duì)稱函數(shù),即的偶函數(shù),因此可以得到DADF矢量g(μi)的如下對(duì)稱特性:

總結(jié)上述,可得出這樣的結(jié)論:對(duì)于任意的中心對(duì)稱陣列,DADF矢量具有對(duì)稱特性.對(duì)于三維立體線陣,由于三個(gè)子陣都是中心對(duì)稱陣列,因此有:

3.2 中心方位角和俯仰角估計(jì)

對(duì)于子陣Xa,Ya和Za,利用(16)式所示的DADF矢量的對(duì)稱特性,可以在三個(gè)子陣中分別建立如下的擴(kuò)展廣義方向矢量旋轉(zhuǎn)不變關(guān)系:

Φεi為2Mε×2Mε的對(duì)角矩陣,

Jε為2Mε×2Mε的交換矩陣,

其中,ΠMε為Mε×Mε的反轉(zhuǎn)矩陣,其反對(duì)角線上元素全為1,其余元素全為0.

其中,Rs=E{s(t)sH(t)}為CD源的信號(hào)協(xié)方差矩陣,I2Mε為2Mε×2Mε的單位矩陣.則的特征分解為

其中,Usε為信號(hào)子空間,其列向量是的K個(gè)較大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量.因?yàn)镽s為滿秩矩陣,則由Usε的列向量張成的子空間與的列向量張成的子空間相同,所以存在一個(gè)K×K階的非奇異矩陣Tε,滿足

定義對(duì)角矩陣Ψ(ηε)(ε∈{x,y,z})如下式:

根據(jù)(18)式中的對(duì)稱旋轉(zhuǎn)不變關(guān)系,可以構(gòu)造矩陣F(ηε)如下:

分析上式, 若Φεi=Ψ(ηε),i=1,2,···,K, 則F(ηε)的第i個(gè)列向量為零向量. 此時(shí),F(ηε)不滿秩,FH(ηε)F(ηε)的行列式為零. 根據(jù)上述特性,可以構(gòu)造如下的譜函數(shù):

通過分別搜索(26)式所示的三個(gè)譜函數(shù)的峰值,可以分別得到頻率參數(shù)ηε(ε∈{x,y,z})的K個(gè)估計(jì)值,進(jìn)而得到二維DOA估計(jì),但譜峰搜索復(fù)雜度較高,為降低復(fù)雜度,可以通過多項(xiàng)式求根的方式進(jìn)行求解.

令zε=ejηε(ε∈{x,y,z}), 則(23)式可以改寫為

進(jìn)一步,(26)式可以重寫為

由于e?jηε可以表示成1/zε, 所以FH(zε)可以表示為

進(jìn)一步,可以構(gòu)造如下的多項(xiàng)式:

通過求解(31)式中三個(gè)多項(xiàng)式的根可以分別獲得頻率參數(shù)ηε(ε∈{x,y,z})的K個(gè)估計(jì)值.但與傳統(tǒng)的多項(xiàng)式求根多重信號(hào)分類(Root-MUSIC)算法[24]類似,(30)式中多項(xiàng)式的根是共軛成對(duì)出現(xiàn)的,并且根的數(shù)目超過了2K個(gè),因此需要進(jìn)行篩選,具體方法是對(duì)于(30)式中的三個(gè)多項(xiàng)式,分別選擇位于單位圓內(nèi)并離單位圓最近的K個(gè)根εi(i=1,2···,K,ε∈{x,y,z})作為最后的估計(jì)值.

3.3 參數(shù)匹配

依照3.2節(jié)方法得到頻率參數(shù)估計(jì)值?ηεi(i=1,2···,K,ε∈{x,y,z})后,當(dāng)只存在單個(gè)CD源時(shí),根據(jù)(3)式可以直接得到中心方位角和俯仰角估計(jì),但由于這些頻率參數(shù)估計(jì)值是通過三個(gè)線陣接收信號(hào)分別得到的,所有當(dāng)存在多個(gè)CD源時(shí),需要對(duì)這些估計(jì)值進(jìn)行參數(shù)匹配.考慮到整個(gè)三維立體線陣也是中心對(duì)稱的,因此類似于3.2節(jié)的算法,基于整個(gè)陣列廣義方向矢量的對(duì)稱旋轉(zhuǎn)關(guān)系構(gòu)造相應(yīng)的代價(jià)函數(shù)可以實(shí)現(xiàn)參數(shù)匹配.注意這里的目標(biāo)只是實(shí)現(xiàn)參數(shù)匹配,所以并不需要利用信號(hào)非圓特性來擴(kuò)展整個(gè)陣列的輸出信號(hào)矩陣,因?yàn)檫@會(huì)導(dǎo)致運(yùn)算量的增加.整個(gè)三維立體線陣廣義方向向量可以表示為

根據(jù)整個(gè)陣列DADF矢量的對(duì)稱特性,有下列的對(duì)稱旋轉(zhuǎn)不變關(guān)系:

其中,J是一個(gè)(Mx+My+Mz)×(Mx+My+Mz)的交換矩陣,

Υi(i=1,2,···,K)為(Mx+My+Mz)×(Mx+My+Mz)的對(duì)角矩陣,

整個(gè)陣列接收信號(hào)w(t)可以表示為

其中,B=[b(μ1),b(μ2),···,b(μK)]為整個(gè)陣列的廣義方向矩陣,n(t)=[nx(t),ny(t),nz(t)]T為整個(gè)陣列的噪聲矢量.

令U為整個(gè)陣列接收信號(hào)協(xié)方差矩陣R=E{w(t)wH(t)}的信號(hào)子空間.類似地,存在一個(gè)惟一的非奇異K×K階矩陣T,使得U=BT.

定義一個(gè)對(duì)角矩陣Γ(ηx,ηy,ηz)如下式所示:

根據(jù)(33)式所示的整個(gè)陣列對(duì)稱旋轉(zhuǎn)不變關(guān)系,可以構(gòu)造如下矩陣F(ηx,ηy,ηz):

類似于3.2節(jié), 若Υi=Γ(ηx,ηy,ηz),i=1,2,···,K,FH(ηx,ηy,ηz)F(ηx,ηy,ηz)的行列式為零,進(jìn)而可以構(gòu)造如下的譜函數(shù):

將此譜函數(shù)作為參數(shù)匹配的代價(jià)函數(shù),令z軸上頻率估計(jì)值固定,則x軸頻率估計(jì)值和y軸頻率估計(jì)值共有K2種組合,代入(38)式得到的最大值組合就是正確的配對(duì).配對(duì)完成后,通過(39)和(40)式得到K個(gè)相干分布式非圓信號(hào)二維DOA的估計(jì)

3.4 算法步驟

根據(jù)上述分析可以將本文估計(jì)相干分布式非圓信號(hào)二維DOA的方法歸納為以下步驟:

2)根據(jù)(28)式構(gòu)造矩陣F(ηε)(ε∈{x,y,z}),進(jìn)而求解(30)式中三個(gè)多項(xiàng)式的根,獲得未知參數(shù)的估計(jì)值,值得注意的是,需要分別篩選出位于單位圓內(nèi)并且離單位圓最近的K個(gè)多項(xiàng)式根;

3)參數(shù)匹配,根據(jù)整個(gè)陣列DADF矢量對(duì)稱特性,構(gòu)造(38)式所示的代價(jià)函數(shù)H(ηx,ηy,ηz),固定估計(jì)值,計(jì)算所有可能的參數(shù)組合,代入(38)式得到的最大值組合就是正確的配對(duì);

4)重復(fù)步驟3)K次,對(duì)所有參數(shù)進(jìn)行匹配;

4 仿真實(shí)驗(yàn)

4.1 仿真分析

本文研究的是非圓信號(hào)下的相干分布式信源二維DOA估計(jì)算法,擬采用相干分布式BPSK信號(hào)作為發(fā)射信號(hào).仿真實(shí)驗(yàn)采用如圖1所示的陣列結(jié)構(gòu),子陣中陣元間距均為d=λ/2.實(shí)驗(yàn)中假設(shè)噪聲為高斯白噪聲.為了驗(yàn)證本文算法的實(shí)用性和魯棒性,采用蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)將本文算法與文獻(xiàn)[15]中的SOS算法、文獻(xiàn)[17]中的TLS-ESPRIT算法、文獻(xiàn)[19]中的CDNC算法和文獻(xiàn)[20]中的NCCC算法進(jìn)行對(duì)比分析.

為衡量算法性能,定義中心方位角和俯仰角的均方根誤差RMSE(θ)和RMSE(φ) 分別為

其中,Q為蒙特卡羅仿真次數(shù);K為信源數(shù);分別為第i個(gè)CD源第q次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)中心方位角和俯仰角的估計(jì)值;θi,φi分別為第i個(gè)CD源中心方位角和俯仰角的真實(shí)值.

仿真一驗(yàn)證空間全方位角度估計(jì)能力

為驗(yàn)證本文算法能夠?qū)崿F(xiàn)三維空間內(nèi)任意入射角的正確估計(jì),實(shí)驗(yàn)采用三維空間內(nèi)四個(gè)具有代表性的到達(dá)角,其角度參數(shù)分別為μ1=(50?,3?,40?,5?),μ2=(150?,4?,60?,4?),μ3=(250?,3?,120?,5?)和μ4=(350?,4?,140?,4?). 信噪比(SNR)固定為0 dB,快拍數(shù)為200,各個(gè)子陣陣元數(shù)為18,通過30次蒙特卡羅試驗(yàn),CD源的二維DOA估計(jì)值分布如圖2所示.從圖中可以看出,本文算法能夠?qū)崿F(xiàn)整個(gè)三維空間任意到達(dá)角度的正確估計(jì),這是因?yàn)楸疚乃惴ㄊ腔谌S立體線陣實(shí)現(xiàn)的,具有空間全方位角度估計(jì)的能力.

仿真二驗(yàn)證確定性角分布函數(shù)類型對(duì)算法性能的影響

實(shí)驗(yàn)在三種不同情況下比較算法性能,分別是兩個(gè)信源都是均勻分布源,兩個(gè)信源都是高斯分布源,以及其中一個(gè)是均勻分布源、另一個(gè)信源是高斯分布源這三種情況.假設(shè)信源數(shù)K=2, 角度參數(shù)分別是μ1=(50?,2?,70?,3?),μ2=(60?,3?,80?,2?),上述三種情況下分別繪制所提算法的中心方位角和俯仰角RMSE曲線與信噪比SNR的關(guān)系,曲線如圖3所示.可以看出,確定性角分布函數(shù)的類型對(duì)算法性能不會(huì)產(chǎn)生影響,同時(shí)本文算法也無須角度分布的任何先驗(yàn)信息.

圖2 二維DOA估計(jì)值分布圖Fig.2.Distribution of two-dimensional DOA estimation.

仿真三不同算法性能對(duì)比

將本文算法與SOS算法、TLS-ESPRIT算法、CDNC算法和NCCC算法性能進(jìn)行對(duì)比.假設(shè)信源數(shù)K=2,角度參數(shù)分別是μ1=(50?,2?,70?,3?),μ2=(60?,3?,80?,2?),快拍數(shù)為200,整個(gè)陣列陣元數(shù)為36.分別繪制這些算法的RMSE曲線與信噪比SNR的關(guān)系,曲線如圖4所示.從圖中可以看出本文算法的性能明顯優(yōu)于其他算法,這是因?yàn)橄啾扔谙喔煞植际椒菆A信號(hào)二維DOA估計(jì)的CDNC算法和NCCC算法,本文算法利用CD源DADF矢量的對(duì)稱特性建立了對(duì)稱旋轉(zhuǎn)不變關(guān)系,而避免了Taylor級(jí)數(shù)近似引入的額外誤差,并且相比于相干分布式信源二維DOA估計(jì)的SOS算法和TLS-ESPRIT算法,本文算法還同時(shí)利用了信號(hào)非圓特性進(jìn)一步提高了估計(jì)性能.

仿真四驗(yàn)證快拍數(shù)對(duì)算法性能的影響

假設(shè)快拍數(shù)由100到900之間變化,信噪比SNR固定為15 dB,其他參數(shù)與仿真三相同.分別繪制不同算法的RMSE曲線與快拍數(shù)的關(guān)系如圖5所示,由圖可以得出與仿真三類似的結(jié)論.

圖3 不同角信號(hào)分布函數(shù)下二維DOA均方根誤差對(duì)比 (a)中心方位角;(b)中心俯仰角Fig.3.RMSE contrast of two-dimensional DOA under di ff erent angular signal distribution functions:(a)Center azimuth;(b)center elevation.

圖4 不同算法二維DOA估計(jì)均方根誤差與信噪比的關(guān)系 (a)中心方位角;(b)中心俯仰角Fig.4.The relationship between RMSE of two-dimensional DOA and SNR of di ff erent algorithms:(a)Center azimuth;(b)center elevation.

圖5 不同算法二維DOA估計(jì)均方根誤差與快拍數(shù)的關(guān)系 (a)中心方位角;(b)中心俯仰角Fig.5.The relationship between RMSE of two-dimensional DOA and the number of snapshots of di ff erent algorithms:(a)Center azimuth;(b)center elevation.

4.2 復(fù)雜度分析

將本文算法與SOS算法、TLS-ESPRIT算法、CDNC算法以及NCCC算法進(jìn)行復(fù)雜度對(duì)比分析.假設(shè)三維立體線陣每個(gè)子陣陣元數(shù)均為M,快拍數(shù)為N,信源數(shù)為K,則本文算法的計(jì)算復(fù)雜度主要包括四個(gè)部分:估計(jì)各個(gè)子陣接收信號(hào)擴(kuò)展協(xié)方差矩陣以及整個(gè)陣列接收信號(hào)協(xié)方差矩陣R,復(fù)雜度為O(21M2N);上述協(xié)方差矩陣的特征值分解運(yùn)算,復(fù)雜度為O(51M3);多項(xiàng)式p(zε)(ε∈{x,y,z})的求根運(yùn)算,復(fù)雜度為O(192(M?1)3);參數(shù)配對(duì)過程,復(fù)雜度為O(3K5M+K6).總體而言,所提算法的計(jì)算復(fù)雜度為O(51M3+192(M?1)3+21M2N+3K5M+K6).表1所列為所提算法與SOS算法、TLS-ESPRIT算法、CDNC算法和NCCC算法的計(jì)算復(fù)雜度對(duì)比(L表示搜索點(diǎn)數(shù)).

由表1可以看出,SOS算法需要一維譜峰搜索,當(dāng)搜索點(diǎn)數(shù)L較大時(shí),本文算法的復(fù)雜度低于SOS算法.本文算法復(fù)雜度略高于CDNC算法,而相較于TLS-ESPRIT算法和NCCC算法,本文算法計(jì)算復(fù)雜度雖然有所增加,但并不需要任何的譜峰搜索,所以復(fù)雜度也不會(huì)大幅度提升.因此綜合上述的仿真實(shí)驗(yàn)和復(fù)雜度分析,可以得出這樣的結(jié)論:本文算法相比于CDNC算法和NCCC算法,避免了Taylor級(jí)數(shù)近似引入的額外誤差,以較小的復(fù)雜度代價(jià)獲得了性能的較大提升;而相比于SOS算法和TLS-ESPRIT算法,在避免Taylor級(jí)數(shù)近似的同時(shí),還利用了信號(hào)非圓特性進(jìn)一步提升了估計(jì)性能.

表1 算法復(fù)雜度對(duì)比表Table 1.Algorithm complexity comparison.

5 結(jié) 論

在相干分布式非圓信號(hào)二維DOA估計(jì)中,利用信號(hào)非圓特性可提升估計(jì)性能,但現(xiàn)有的低復(fù)雜度算法均需要利用Taylor級(jí)數(shù)近似建立子陣中擴(kuò)展廣義方向矢量之間的近似旋轉(zhuǎn)不變關(guān)系,這會(huì)引入額外的誤差,進(jìn)而導(dǎo)致估計(jì)精度的下降.針對(duì)該問題,本文算法利用CD源DADF矢量的對(duì)稱特性在三維立體線陣各個(gè)子陣中分別建立了對(duì)稱旋轉(zhuǎn)不變關(guān)系,避免了Taylor級(jí)數(shù)引入的額外誤差,并且通過多項(xiàng)式求根的方式得到中心方位角和俯仰角估計(jì),避免了譜峰搜索,通過仿真實(shí)驗(yàn)和復(fù)雜度分析可以看出,本文算法相比于現(xiàn)有的相干分布式非圓信號(hào)二維DOA估計(jì)算法,在較小復(fù)雜度的代價(jià)下取得了性能的較大提升,并且能夠?qū)崿F(xiàn)三維空間全方位的角度估計(jì).

[1]Krim H,Viberg M 1996IEEE Signal Process.Mag.13 67

[2]Liang G L,Ma W,Fan Z,Wang Y L 2013Acta Phys.Sin.62 144302(in Chinese)[梁國龍,馬巍,范展,王逸林2013物理學(xué)報(bào)62 144302]

[3]Ba B,Liu G C,Li T,Fan Z,Lin Y C,Wang Y 2015Acta Phys.Sin.64 078403(in Chinese)[巴斌,劉國春,李韜,范展,林禹丞,王瑜2015物理學(xué)報(bào)64 078403]

[4]Valaee S,Champagne B,Kabal P 1995IEEE Trans.Signal Process.43 2144

[5]Zheng Z 2011Ph.D.Dissertation(Chengdu:University of Electronic Science and Technology)(in Chinese)[鄭植2011博士學(xué)位論文(成都:電子科技大學(xué))]

[6]Jiang H,Zhou J,Hisakazu K,Shao G 2014Acta Phys.Sin.63 048702(in Chinese)[江浩,周杰,菊池久和,邵根富2014物理學(xué)報(bào)63 048702]

[7]Cao R Z,Gao F,Zhang X 2016IEEE Trans.Signal Process.64 1

[8]Shahbazpanahi S,Valaee S,Bastani M H 2001IEEE Trans.Signal Process.49 2169

[9]Hassanien A,Shahbazpanahi S,Gershman A B 2004IEEE Trans.Signal Process.52 280

[10]Shahbazpanahi S,Valaee S,Gershman A B 2004IEEE Trans.Signal Process.52 592

[11]Sieskul B T 2010IEEE Trans.Vehicul.Technol.59 1534

[12]Yang X,Li G J,Zheng Z 2014J.Electron.Informat.Technol.36 164(in Chinese)[楊學(xué)敏,李廣軍,鄭植2014電子與信息學(xué)報(bào)36 164]

[13]Boujemaa H 2005European Trans.Telecommun.16 557

[14]Lü T,Tan F,Gao H,Yang G 2016Signal Process.121 30

[15]Lee J,Song I,Kwon H,Lee S R 2003Signal Process.83 1789

[16]Guo X S,Wan Q,Yang W L,Lei X M 2009Sci.China:Infor.Sci.52 835

[17]Zheng Z,Li G,Teng Y 2012Wireless Pers.Commun.62 907

[18]Yin J X,Wu Y,Wang D 2014J.Commun.2 153(in Chinese)[尹潔昕,吳瑛,王鼎 2014通信學(xué)報(bào)2 153]

[19]Yang X,Li G,Zheng Z,Zhong L 2014Wireless Pers.Commun.78 1095

[20]Yang X,Li G J,Zheng Z 2013International Conference on Wireless Communication Signal ProcessingHangzhou,China,October 24–26,2013 p1

[21]Eckho ffR 1998IEEE International Symposium on Personal,Indoor and Mobile Radio CommunicationBoston,Massachusetts,September 8–11,1998 p471

[22]Yang Z Q,Li S M 2001J.Commun.22 8(in Chinese)[楊正權(quán),李思敏 2001通信學(xué)報(bào) 22 8]

[23]Shi Y,Huang L,Qian C,So H C 2015IEEE Trans.Aerosp.Electron.Syst.51 1267

[24]Yan F,Shen Y,Jin M,Qiao X 2016J.Syst.Eng.Electron.27 739

PACS:07.50.Qx,07.05.Kf,84.40.UaDOI:10.7498/aps.66.220701

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant No.61401513).

?Corresponding author.E-mail:xinxidailiang@outlook.com

Two-dimensional direction-of-arrival estimation of coherently distributed noncircular signals via symmetric shift invariance?

Dai Zheng-Liang?Cui Wei-Jia Ba Bin Zhang Yan-Kui

(The PLA Information Engineering University,Zhengzhou 450001,China)

11 April 2017;revised manuscript

23 June 2017)

In practical applications such as mobile communication,radar and sonar,the e ff ect of angular spread on the source energy can no longer be ignored due to multipath phenomena.Therefore,a spatially distributed source model is more realistic than the point source mode in these complex cases.A lot of direction-of-arrival(DOA)estimation methods for distributed sources have been published.Whereas researches concentrated on the complex circular signal case,the noncircular property of signal can be employed to further improve the estimation performance,which has received extensive attention recently.To date,several low-complexity DOA estimation algorithms for two-dimensional(2D)coherently distributed(CD)noncircular sources have been proposed.However,all these algorithms need obtain the approximate shift invariance relationship between the sub-arrays by applying the one-order Taylor series approximation to the generalized steering vectors,which may introduce additional errors and a ff ect the estimation accuracy.

In this paper,a novel 2D DOA estimation algorithm based on the symmetric shift invariance relationship is proposed using the centro-symmetric three-dimensional(3D)linear arrays.Firstly,the extended array model is established by exploiting the noncircularity of the signal.Then,it is proved that the deterministic angular distribution function vector of the CD source has a symmetrical property for arbitrary centro-symmetric array,based on which the symmetric shift invariance relationships of extended generalized steering vectors are established in the three sub-arrays of 3D linear arrays.On the premise of such relationships,the center azimuth and elevation DOAs are obtained by the polynomial rooting method without spectral peak searching.Finally,the cost function implementing the parameter matching is constructed by the symmetric shift invariance relationship of the generalized steering vector of the whole array.Theoretical analysis and simulation experiment show that compared with the existing low-complexity algorithms,the proposed algorithm avoids the additional errors introduced by the Taylor series approximation,which allows it to achieve higher estimation accuracy with the small complexity cost.Moreover,the proposed algorithm can achieve omnidirectional angle estimation in the three-dimensional space.

coherently distributed source,noncircular source,3D linear arrays,symmetric shift invariance

10.7498/aps.66.220701

?國家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào):61401513)資助的課題.

?通信作者.E-mail:xinxidailiang@outlook.com