崔曼 薛惠鋒2) 陳福振 卜凡彪

1)(西北工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院,西安 710072)2)(中國(guó)航天系統(tǒng)科學(xué)與工程研究院,北京 100048)3)(火箭軍工程大學(xué)動(dòng)力工程系,西安 710025)

道路交通的流體物理模型與粒子仿真方法?

崔曼1)薛惠鋒1)2)陳福振3)?卜凡彪1)

1)(西北工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院,西安 710072)2)(中國(guó)航天系統(tǒng)科學(xué)與工程研究院,北京 100048)3)(火箭軍工程大學(xué)動(dòng)力工程系,西安 710025)

(2017年6月8日收到;2017年8月21日收到修改稿)

針對(duì)受多種因素影響的復(fù)雜道路交通系統(tǒng)問(wèn)題,基于顆粒動(dòng)力學(xué)理論,結(jié)合傳統(tǒng)的Lighthill-Whitham-Richards物理模型,建立道路交通系統(tǒng)的流體物理模型,采用無(wú)網(wǎng)格粒子與網(wǎng)格相結(jié)合的方法進(jìn)行數(shù)值仿真,并應(yīng)用于典型道路交通問(wèn)題的求解.在新模型中,將車輛比擬為硬顆粒,車輛的跟車比擬為顆粒間的碰撞相互作用,已知道路情況對(duì)駕駛員操作車輛的影響比擬為流-粒兩相系統(tǒng)中的外部流體驅(qū)動(dòng)力作用,不同車道間車輛的影響比擬為顆粒間的黏性作用,從而在顆粒動(dòng)力學(xué)理論的基礎(chǔ)上,推導(dǎo)建立了道路交通系統(tǒng)擬流體模型;引入光滑離散顆粒流體動(dòng)力學(xué)(SDPH)對(duì)車輛系統(tǒng)模型進(jìn)行離散,建立“SDPH車輛”與真實(shí)車輛之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,再結(jié)合有限體積方法,對(duì)道路交通構(gòu)建的雙流體模型進(jìn)行求解,建立求解交通流體物理模型的新型仿真方法.最后,采用所建立的模型和方法對(duì)車輛匯入以及機(jī)非混合對(duì)交通系統(tǒng)的影響過(guò)程進(jìn)行了數(shù)值仿真,所得結(jié)果與實(shí)測(cè)值符合較好,表明新的模型和方法有效性好、可靠性高,為道路交通問(wèn)題的解決提供了一條全新的途徑.

道路交通問(wèn)題,顆粒動(dòng)力學(xué),粒子法,流體物理模型

1 引 言

社會(huì)經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展促進(jìn)了城市化進(jìn)程的加速,同時(shí)也帶來(lái)了城市交通擁堵以及由此衍生的事故頻發(fā)、能源耗費(fèi)、環(huán)境污染等城市交通問(wèn)題.道路交通作為城市交通組成中最重要的部分,它是一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)問(wèn)題,對(duì)其進(jìn)行研究不僅可以解決當(dāng)前城市發(fā)展和人們生產(chǎn)生活所面臨的困境,同時(shí)也將極大地促進(jìn)國(guó)家和經(jīng)濟(jì)社會(huì)的發(fā)展.

目前,國(guó)內(nèi)外對(duì)于道路交通問(wèn)題的研究主要有三個(gè)大類的方法,分別為基于實(shí)驗(yàn)采集數(shù)據(jù)的分析方法[1?3]、基于非線性科學(xué)的理論分析方法[4?7]和基于交通系統(tǒng)流體力學(xué)模型的仿真分析方法[8?31].采用傳統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法,需要大量的人力、物力資源及很長(zhǎng)的實(shí)驗(yàn)采集周期.雖然如今高速攝像系統(tǒng)及其數(shù)據(jù)分析手段不斷改進(jìn)和更新,但是僅通過(guò)數(shù)據(jù)很難全面直觀地了解道路交通系統(tǒng)內(nèi)由于駕駛員等為因素造成的時(shí)走時(shí)停、幽靈式交通等特殊交通行為.同時(shí),采用理論分析的方法很難得到道路交通復(fù)雜系統(tǒng)的定量數(shù)值解,無(wú)法對(duì)交通系統(tǒng)內(nèi)某些具體因素的影響進(jìn)行深入分析.隨著交通流理論的提出以及計(jì)算機(jī)軟硬件的發(fā)展,通過(guò)建立交通流體力學(xué)模型進(jìn)行數(shù)值模擬,已經(jīng)為研究道路交通系統(tǒng)特性提供了一種有效而又經(jīng)濟(jì)的工具,逐漸成為道路交通問(wèn)題解決和系統(tǒng)設(shè)計(jì)的重要手段.

交通流理論是一門運(yùn)用物理學(xué)和數(shù)學(xué)工具描述交通系統(tǒng)特性的科學(xué).自20世紀(jì)30年代提出至今,已發(fā)展出多達(dá)上百種物理模型和數(shù)學(xué)模型,這些模型從對(duì)車輛的描述方法上可分為微觀、中觀和宏觀方法.微觀方法集中于單個(gè)車輛在相互作用下的個(gè)體行為描述,如車輛跟馳模型[8?11]和元胞自動(dòng)機(jī)模型[12?15],該方法存在計(jì)算消耗大,無(wú)法考慮車輛與駕駛員間存在巨大差異的情形,或者過(guò)于依賴演化更新規(guī)則,模擬結(jié)果與實(shí)測(cè)結(jié)果差別很大的缺點(diǎn).宏觀方法是將由大量車輛組成的系統(tǒng)看作可壓縮連續(xù)流體介質(zhì),研究車輛集體的綜合平均行為,如Lighthill-Whitham-Richards(LWR)模型[16,17]、Payne模型[18]、Papageorgiou模型[19,20]、Khüne模型[21,22]、Michalopoulos模型[23]、Helbing“三方程”模型[24]以及吳正模型等[25],此類方法為交通問(wèn)題的解決做出了巨大貢獻(xiàn),但目前所建立的非平衡流的高階連續(xù)模型理論基礎(chǔ)不夠嚴(yán)格,模型較為簡(jiǎn)單,存在大量的人為假設(shè),尤其模型中一些參數(shù)較大程度上依賴于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和經(jīng)驗(yàn)公式,普適性差,制約了此類方法自身優(yōu)勢(shì)的有效發(fā)揮.中觀的氣體動(dòng)力學(xué)模型[26?30]有較好的理論基礎(chǔ),它采用統(tǒng)計(jì)平均的方法考察大量分子的集體行為,推導(dǎo)出了宏觀規(guī)律,建立起了微觀模型和宏觀模型的橋梁.但是目前該模型僅適合于稀疏氣體分子的運(yùn)動(dòng),分子間距較大,與道路交通系統(tǒng)中車輛間距可大可小的現(xiàn)狀不相符合.同時(shí),采用該模型建立的方程中包括很多待定參量和復(fù)雜關(guān)系式,尚未能和實(shí)際道路交通系統(tǒng)參量建立起聯(lián)系,致使該模型相比其他兩種方法發(fā)展遲緩.

另外,目前國(guó)內(nèi)外對(duì)道路交通系統(tǒng)模型進(jìn)行求解,大多采用基于網(wǎng)格的數(shù)值模擬方法,通過(guò)追蹤每一時(shí)間步固定位置上的車流密度、速度、流量等參量觀測(cè)交通系統(tǒng)的演變過(guò)程,無(wú)法得到車輛實(shí)時(shí)的運(yùn)動(dòng)狀況,更無(wú)法跟蹤每一車輛的運(yùn)動(dòng)軌跡,這樣對(duì)于道路交通系統(tǒng)中存在的一些典型狀況,如幽靈式交通、交通擁堵、混合交通等均無(wú)法詳細(xì)追蹤事故的原因,無(wú)法充分發(fā)揮數(shù)值模擬的優(yōu)勢(shì).

本文從一種全新的角度出發(fā),基于顆粒動(dòng)力學(xué)理論建立更為全面描述復(fù)雜道路交通系統(tǒng)的模型,引入無(wú)網(wǎng)格粒子模擬方法進(jìn)行仿真求解,解決以上描述的現(xiàn)有交通系統(tǒng)模型和仿真方法存在的不足,實(shí)現(xiàn)對(duì)道路交通復(fù)雜系統(tǒng)的有效模擬.

2 道路交通系統(tǒng)流體物理模型的建立

通過(guò)對(duì)道路交通系統(tǒng)模型總結(jié)研究,可以發(fā)現(xiàn)由大量車輛組成的系統(tǒng)在宏觀上會(huì)表現(xiàn)出類似可壓縮流體的性質(zhì),在不受外界壓力和干擾作用下會(huì)自由均勻運(yùn)動(dòng),而當(dāng)遇到紅綠燈、交通擁堵又可以聚集到一起,道路交通系統(tǒng)的這種宏觀性質(zhì)直接帶來(lái)了道路交通宏觀流體力學(xué)模型的誕生.然而,這種直接從宏觀層面進(jìn)行等效假設(shè)出發(fā)建立的模型,缺乏嚴(yán)格的理論基礎(chǔ),僅為一種等價(jià)模型,致使很多參量和方程均具有人為性.

而換個(gè)角度分析,車輛從單體角度出發(fā)又是一種具有隨機(jī)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的離散物質(zhì),假定其在不考慮自身密度、質(zhì)量和尺寸等條件下,僅將車輛當(dāng)成是運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn),僅考慮其自身的數(shù)密度、速度和數(shù)流量,其運(yùn)動(dòng)規(guī)律與離散粒子的運(yùn)動(dòng)具有較高的一致性.那么直接從該角度出發(fā),通過(guò)建立微觀系統(tǒng)車輛的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)方程,加上車輛間相互作用模型,推導(dǎo)系統(tǒng)的宏觀擬流體模型,正是目前中觀方法的思想,并且其具有嚴(yán)格的理論基礎(chǔ).但是中觀方法所采用的氣體分子動(dòng)理論自身卻存在分子間距的稀疏性假設(shè),并且分子之間的相互作用與車輛間的相互作用存在差異性(碰撞概率、速度分布均不同),因此,目前中觀方法建立起的模型中還存在很多未知量和關(guān)系式,還未能和實(shí)際交通系統(tǒng)建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,未能實(shí)現(xiàn)大規(guī)模應(yīng)用.

我們前期在研究氣體-顆粒兩相流的基礎(chǔ)問(wèn)題時(shí),發(fā)現(xiàn)顆粒動(dòng)力學(xué)[31?33]作為一種新的理論,其思想即源于氣體分子動(dòng)理論,它將顆粒間的相互作用假定為二體碰撞假設(shè),與車輛間通常產(chǎn)生的兩-兩車輛相互作用不謀而合.同時(shí)該模型克服了氣體分子動(dòng)理論的缺點(diǎn),既適用于稀疏顆粒的運(yùn)動(dòng),又可以處理顆粒的稠密運(yùn)動(dòng).采用該理論推導(dǎo)得到的宏觀擬流體模型與傳統(tǒng)的宏觀交通系統(tǒng)模型存在較大的一致性,同時(shí)將其中的人為項(xiàng)替換成了流體力學(xué)項(xiàng),基于物理本質(zhì)求解得到,更加具有合理性.因此,這里重點(diǎn)闡述基于顆粒動(dòng)力學(xué)建立的道路交通系統(tǒng)擬流體模型.

2.1 基于車輛相互作用的車輛系統(tǒng)模型

基于顆粒動(dòng)力學(xué)模型,將每一車輛看作離散的顆粒,對(duì)應(yīng)考慮車輛間的相互作用.車輛在自身行駛條件下,受周圍車輛的影響產(chǎn)生加減速、時(shí)走時(shí)停等隨機(jī)運(yùn)動(dòng),從而產(chǎn)生宏觀交通系統(tǒng)的壓力和黏度.同時(shí),假定發(fā)生相互作用的兩車輛速度間無(wú)相關(guān)關(guān)系(這里的相關(guān)關(guān)系指的是直接關(guān)系,例如兩輛車為一個(gè)車隊(duì),速度之間存在著直接的線性關(guān)系等).類比于顆粒動(dòng)力學(xué)中的兩顆粒作用模式,道路交通系統(tǒng)中,兩輛車之間的相互影響作用為主要作用模式,同其他車輛的作用對(duì)系統(tǒng)的影響較小.需要強(qiáng)調(diào)的是,這里比擬的兩車之間不會(huì)發(fā)生真正的碰撞,而是兩車間的車距小于最小車距后,便認(rèn)為其等價(jià)于兩顆粒的碰撞作用,產(chǎn)生光滑的反彈作用,造成車輛速度的改變,并且發(fā)生該現(xiàn)象的時(shí)間很短.單車輛速度分布采用Maxwell速度分布函數(shù)描述,且滿足Boltzmann積分微分方程.

車輛的運(yùn)動(dòng)采用速度分布函數(shù)f(t,r,v)drdv來(lái)描述.車輛數(shù)方程則為

表示在時(shí)刻t、體積元從r到r+dr且速度范圍從v到v+dv內(nèi)的車輛總數(shù)目.速度從v到v+dv內(nèi)車輛分布概率為

對(duì)空間中與車輛速度有關(guān)的物理量,采用概率速度平均的方法,進(jìn)行統(tǒng)計(jì)平均,得到

ψ指車流量、速度、動(dòng)量和能量等.

通常,假定車輛速度分布函數(shù)滿足Boltzmann積分微分方程(如Phillips[30]假定)

該公式表示在體積范圍V(t)和速度范圍v(t)內(nèi)車輛總數(shù)量的守恒關(guān)系;(?f/?t)colldrdv表示在體積和速度空間(r,v)內(nèi)由車輛間的相互作用而引起的速度凈變化率.基于Reynolds理論[33]可以得到著名的Boltzmann方程:

a表征作用于單車輛的外應(yīng)力,不包含車輛間相互作用應(yīng)力.

著名的Maxwell速度分布公式可從Boltzmann方程在車輛系統(tǒng)均勻穩(wěn)定的狀態(tài)下求得為車輛的平均速度,θv定義為車輛的擬溫度,表征車輛的速度脈動(dòng),也即車輛的速度方差,主要考慮車輛受周圍車輛影響造成的車速波動(dòng),同Helbing[24]引入的車輛速度方差相類似,

C為車輛的脈動(dòng)速度.將反映車輛特性的物理量ψ代入Boltzmann方程兩邊,化簡(jiǎn)得到一般輸運(yùn)方程,

在考慮兩車輛產(chǎn)生相互作用的情況下,上式可表示為

令ψ=1,n=αvkv=k,不考慮目標(biāo)系統(tǒng)之外的車輛進(jìn)入和駛出等源項(xiàng)作用,代入(10)式中,可得車流量連續(xù)性守恒方程:

或

kv為單位車道內(nèi)根據(jù)單個(gè)車輛所占據(jù)的空間計(jì)算出的可容納最多的車輛數(shù)目;k為車輛數(shù)目密度,即單位車道內(nèi)車輛的數(shù)目;αv為車輛所占據(jù)空間的體積分?jǐn)?shù),由當(dāng)前狀態(tài)下單位空間內(nèi)的車輛數(shù)與完全飽和狀態(tài)下車輛數(shù)的比值求得,和車輛數(shù)密度與速度一樣給定初始狀態(tài)值,然后每一時(shí)間步進(jìn)行更新求解.vv不是瞬時(shí)速度,而是平均量,即

v為瞬時(shí)速度.可以看出,該方程在一維情形下與LWR模型方程完全相同,說(shuō)明了采用顆粒動(dòng)力學(xué)理論同樣可以建立起微觀模型與宏觀模型的聯(lián)系,同時(shí)驗(yàn)證了采用該理論推導(dǎo)宏觀交通系統(tǒng)模型方程的可行性.

同理,令ψ=v,考慮車輛受駕駛員操作的影響,車輛運(yùn)動(dòng)方程表示為

?P為駕駛員根據(jù)道路分布操控的動(dòng)力梯度,操控的動(dòng)力P由動(dòng)力系統(tǒng)輸運(yùn)方程求得,在第3節(jié)中詳細(xì)介紹;?Pv為車輛系統(tǒng)等效壓力梯度,Pv由(17)式求得,其中Pv為脈動(dòng)能θv的函數(shù),θv由其輸運(yùn)方程(19)求解;kg為外部由于雨、雪等環(huán)境因素施加給系統(tǒng)的作用力;βvf為駕駛員對(duì)車輛操控的等效曳力系數(shù),第2.3節(jié)詳細(xì)介紹.

其中,g0為徑向分布函數(shù),通常取

αv,max為車輛在車道上擁擠時(shí)可達(dá)到的最大體積分?jǐn)?shù)值;kv,αv,g0在每個(gè)時(shí)間步進(jìn)行計(jì)算更新,e為車輛間相互作用影響歸還系數(shù),為常量.從(17)式可以看出,當(dāng)?shù)缆飞宪囕v較少時(shí),車輛的體積分?jǐn)?shù)較小,第二項(xiàng)相比第一項(xiàng)可忽略,剩下的第一項(xiàng)與Phillips[30]和Helbing等[24]提出的交通壓力項(xiàng)相類似,表明在車流量密集度較小的情況下與傳統(tǒng)宏觀道路交通系統(tǒng)模型相同.傳統(tǒng)的宏觀道路交通系統(tǒng)模型是本文推導(dǎo)模型的一個(gè)特例.

τv為車輛系統(tǒng)等效黏性應(yīng)力張量

其中,μv和λv為車輛系統(tǒng)的等效剪切黏度和體黏度,表征不同車道的車輛之間的相互影響,μv和λv的取值將根據(jù)特定的交通問(wèn)題由實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行校驗(yàn)比對(duì)得到;I為單位張量.

其中(?pvI+τv):?vv為由車輛系統(tǒng)內(nèi)相互作用產(chǎn)生的能量,具體公式均在前面列出.?3βvfθv為駕駛動(dòng)力與車輛間的能量交換,βvf在3.3節(jié)中介紹.

可以看出,本文所建立的模型中涉及的車流密度為數(shù)密度,與車輛的真實(shí)密度等物理屬性無(wú)關(guān),僅與車輛的尺寸相關(guān),而顆粒動(dòng)力學(xué)中將真實(shí)顆粒的密度忽略,僅考慮顆粒的數(shù)密度,同時(shí)將顆粒的尺寸增大到車輛尺寸(顆粒動(dòng)力學(xué)對(duì)顆粒的尺寸無(wú)限定要求),那么車輛的運(yùn)動(dòng)完全可以由顆粒的運(yùn)動(dòng)來(lái)替代,兩者之間無(wú)本質(zhì)上的差別,所以這也是本文所建立模型的出發(fā)點(diǎn).另外,本文所建立的模型中的大部分參數(shù)或者為每時(shí)間步可求得的參數(shù),或者為常數(shù),僅有考慮特殊交通問(wèn)題的極少數(shù)的參量無(wú)法直接確定,我們采用實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)校驗(yàn)比對(duì)的方式進(jìn)行確定,所以本文所建模型物理意義明確,理論基礎(chǔ)扎實(shí),所有參量均可以確定求解,克服了傳統(tǒng)模型的不足.

該模型與傳統(tǒng)的宏觀道路交通模型存在的另一個(gè)不同點(diǎn)是關(guān)于維度的計(jì)算.本文模型既可以進(jìn)行一維計(jì)算,也可以在二維情況下計(jì)算.考慮相鄰車道間車輛之間的相互影響作用,比擬為顆粒間的黏性力的作用.同時(shí)考慮相鄰車道間道路空間大小的影響,體現(xiàn)在相鄰車道內(nèi)假定車輛擁擠時(shí),交通系統(tǒng)壓力增大,而假如本車道相對(duì)壓力小時(shí),車輛就會(huì)變道而向本車道運(yùn)動(dòng),緩解相鄰車道的壓力;相反,假如相鄰車道車輛較少,交通壓力則較小,本車道車輛就會(huì)向相鄰車道運(yùn)動(dòng),減緩本車道的壓力,使得車道間壓力處于一個(gè)相對(duì)均衡狀態(tài),這與實(shí)際情況是較為符合的.同時(shí),根據(jù)Zheng等[34]的分析,在多維情況下,各向異性假設(shè)不再滿足,可采用各向同性進(jìn)行求解.因此,本文所做的假設(shè)合理.采用本文的多維流體系統(tǒng)模型,可以解決相鄰車道車輛變道的問(wèn)題.另外,需要注意的問(wèn)題是,本文的交通系統(tǒng)數(shù)密度在多車道復(fù)雜運(yùn)動(dòng)狀況下為面密度,單位為veh/km2,與傳統(tǒng)交通系統(tǒng)模型參數(shù)有所區(qū)別,同時(shí),忽略車輛在橫向車道上的孔隙率,假定車輛在橫向占滿空間,僅考慮在車道方向上的車輛間隙.

2.2 基于理想駕駛速度的外部流體驅(qū)動(dòng)力模型

在已知道路的分布狀況和限速情況后,在不考慮其他車輛及外界因素的影響下,駕駛員將控制車輛趨向和達(dá)到一個(gè)理想駕駛速度值.每條道路每個(gè)路段都具有自己的理想駕駛速度,尤其對(duì)于有紅綠燈、車道變換、拐彎、路障等特殊情況,道路上每一點(diǎn)的理想駕駛速度分布將根據(jù)道路的變化情況而發(fā)生改變.同樣地,對(duì)于管道中顆粒的氣力輸送過(guò)程而言,在已知管道的分布和初邊界條件情況下,管道中首先產(chǎn)生一個(gè)理想的氣體速度分布,顆粒在該氣動(dòng)力的驅(qū)動(dòng)下逐步達(dá)到一個(gè)穩(wěn)定的理想速度,這與道路交通系統(tǒng)具有相似性.那么,當(dāng)我們將車輛的行駛比擬為管道中運(yùn)動(dòng)的顆粒,實(shí)際道路中的氣體空間與管道中的氣體具有對(duì)應(yīng)關(guān)系,設(shè)想駕駛員根據(jù)道路的分布操控車輛的驅(qū)動(dòng)力完全轉(zhuǎn)移給道路空間中的氣體,就如同車輛駕駛員完全脫離車輛,車輛的行駛完全依靠外部流體的驅(qū)動(dòng)作用,當(dāng)車流量密度較大時(shí),空間中流體體積分?jǐn)?shù)減少,相應(yīng)的驅(qū)動(dòng)力減少,當(dāng)車流量密度較小時(shí),空間中流體體積分?jǐn)?shù)較大,驅(qū)動(dòng)力則相應(yīng)增加.而駕駛員根據(jù)周圍車輛的狀況操控車輛的驅(qū)動(dòng)力則相應(yīng)地在車輛系統(tǒng)壓力中體現(xiàn)((17)式).這樣就避免了傳統(tǒng)交通流宏觀模型中平衡項(xiàng)的使用.

基于理想駕駛速度建立道路交通從流體動(dòng)力系統(tǒng)模型如下:

其中,下標(biāo)f和v分別表示外部從流體和交通流,ρf和vf分別為等效從流體動(dòng)力系統(tǒng)的密度和速度,P和τf為等效從流體動(dòng)力系統(tǒng)的壓力和黏性項(xiàng),Rfv為不同流體系統(tǒng)間的相互作用力.這里對(duì)于外部從流體的密度是該系統(tǒng)的一個(gè)關(guān)鍵參數(shù),直接決定了施加于主流體上的曳力作用,從而影響到車輛達(dá)到理想行駛速度狀態(tài)的時(shí)間.經(jīng)過(guò)分析可以發(fā)現(xiàn),從流體的密度與駕駛員操控車輛的性質(zhì)息息相關(guān),如駕駛員的年齡、身體狀況、性別等因素決定了駕駛員能操控車輛達(dá)到理想行駛速度的時(shí)間,也就是駕駛員對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的反應(yīng)時(shí)間,因此,可以將駕駛員對(duì)交通系統(tǒng)的影響與從流體動(dòng)力系統(tǒng)的密度建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,從而為交通系統(tǒng)多相擬流體的求解鋪平道路.

綜上2.1節(jié)和2.2節(jié),可以得出基于顆粒動(dòng)力學(xué)的道路交通系統(tǒng)模型與基于理想駕駛速度的外部驅(qū)動(dòng)力模型共同組成了道路交通系統(tǒng)的“雙流體系統(tǒng)”模型,不僅動(dòng)力系統(tǒng)采用宏觀連續(xù)介質(zhì)力學(xué)求解,車輛系統(tǒng)同樣等效為宏觀連續(xù)的流體.

2.3 考慮非機(jī)動(dòng)車輛的交通多相系統(tǒng)模型

在交通系統(tǒng)中,非機(jī)動(dòng)車與機(jī)動(dòng)車表現(xiàn)得如運(yùn)動(dòng)的兩種顆粒,當(dāng)兩者之間的距離小于理想的間距時(shí),速度發(fā)生改變,避免兩者出現(xiàn)真正的碰撞.因此,可將非機(jī)動(dòng)車輛等效為與機(jī)動(dòng)車輛處于相同體系下的顆粒,同樣采用基于顆粒動(dòng)力學(xué)的流體系統(tǒng)建模求解,但其在密度、速度、體積分?jǐn)?shù)、尺寸分布、擬溫度等參量上存在差異,也即將非機(jī)動(dòng)車輛等價(jià)為道路交通系統(tǒng)的多相流模型.

其中,knv為單位車道內(nèi)所容納的非機(jī)動(dòng)車的數(shù)目,vnv表示非機(jī)動(dòng)車系統(tǒng)的速度矢量,αnv為非機(jī)動(dòng)車所占據(jù)空間的體積分?jǐn)?shù),?Pnv為非機(jī)動(dòng)車系統(tǒng)等效壓力梯度,τnv為非機(jī)動(dòng)車系統(tǒng)等效黏性應(yīng)力張量,knvg為外部由于雨、雪等環(huán)境因素施加給非機(jī)動(dòng)車系統(tǒng)的作用力,βnvf為非機(jī)動(dòng)車操控的等效曳力系數(shù),θnv為非機(jī)動(dòng)車脈動(dòng)能,Pnv表示非機(jī)動(dòng)車系統(tǒng)的等效壓力,I為單位張量矩陣.

2.4 基于管道理論的道路交通系統(tǒng)邊界模型

將車輛的行駛比擬為顆粒的運(yùn)動(dòng),車輛受限于車道的限制,只能保持在已知道路上行駛,對(duì)于顆粒運(yùn)動(dòng)而言,就如同受限于邊界而在管道中運(yùn)動(dòng)一樣.因此,基于管道流動(dòng)理論,建立道路交通系統(tǒng)中車輛道路行駛的邊界模型.

圖1展示了建立道路交通系統(tǒng)邊界模型的過(guò)程.假定在已知道路上,當(dāng)車道變窄或拐彎等情況時(shí),在最外層行駛的車輛繼續(xù)按原方向和速度行駛,車輛與外車道邊緣距離將逐漸減小至最小車距,此時(shí)車輛將在駕駛員的操作下改變速度和方向來(lái)控制車輛不與邊界發(fā)生碰撞.同時(shí),相應(yīng)的內(nèi)側(cè)車輛也將根據(jù)外側(cè)車道車輛的行駛狀況改變自身速度和方向,該過(guò)程可等效為顆粒在管道中運(yùn)動(dòng),當(dāng)管道直徑發(fā)生改變時(shí),顆粒將與管道壁面發(fā)生碰撞,受到壁面對(duì)顆粒施加的邊界力的作用,從而改變自身運(yùn)動(dòng)的速度和方向,保持在管道中的運(yùn)動(dòng).相應(yīng)地,車輛與車道外側(cè)間距進(jìn)入最小車距范圍時(shí)即表征顆粒與壁面之間發(fā)生了碰撞作用,因此,根據(jù)該假設(shè),可建立道路交通系統(tǒng)的邊界模型.

圖1 基于管道理論的道路交通系統(tǒng)邊界模型Fig.1.Boundary model of road traffic system based on pipeline theory.

施加的邊界作用力公式為[35]

當(dāng)車輛與邊界距離|rbv|小于最小剎車距離hb時(shí),施加邊界作用力fbv,ε為罰參數(shù).

3 復(fù)雜道路交通的光滑離散顆粒流體動(dòng)力學(xué)-有限體積(SDPH-FVM)耦合數(shù)值仿真方法

在建立道路交通系統(tǒng)擬流體模型的基礎(chǔ)上,對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行仿真分析,需進(jìn)一步引入仿真方法對(duì)模型求解.傳統(tǒng)的理論解析法如分離變量法、傅里葉變換法、譜方法以及蒙特卡羅方法等僅能得到特定參量隨影響因素的變換關(guān)系,無(wú)法直觀地掌握交通系統(tǒng)中車輛的運(yùn)動(dòng)信息.現(xiàn)有的求解雙流體模型的數(shù)值模擬方法為基于歐拉網(wǎng)格的方法,不僅連續(xù)相采用網(wǎng)格方法求解,顆粒相的信息同樣在固定的網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上進(jìn)行更新,僅能在每一時(shí)刻觀察車道固定位置處車輛數(shù)密度的變化,無(wú)法得到車輛實(shí)時(shí)的運(yùn)動(dòng)狀況,更無(wú)法跟蹤每一車輛的運(yùn)動(dòng)軌跡,這樣對(duì)于道路交通系統(tǒng)中存在的一些典型狀況,如幽靈式交通、交通擁堵、混合交通等均無(wú)法詳細(xì)追蹤事故的原因.

車輛作為一種隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的離散物質(zhì),具有完全拉格朗日粒子的特性.要對(duì)其進(jìn)行追蹤模擬,拉格朗日粒子方法最為合適,不僅可以大幅減小計(jì)算量,同時(shí)可以自然追蹤車輛的運(yùn)動(dòng)軌跡,較易加入車輛的拋錨、碰撞、時(shí)走時(shí)停等單車輛運(yùn)動(dòng)模型,適合求解考慮道路交通系統(tǒng)復(fù)雜因素影響的宏觀交通流模型.

3.1 車輛系統(tǒng)求解的SDPH方法

SDPH[36?41]是在傳統(tǒng)SPH(光滑粒子流體動(dòng)力學(xué))方法的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)的數(shù)值模擬方法,它主要是將SPH方法應(yīng)用于離散物質(zhì)系統(tǒng)的宏觀擬流體模型求解,已成功應(yīng)用于模擬噴動(dòng)流化床[37]、風(fēng)沙運(yùn)動(dòng)[38]、氣-粒傳熱[39]、空氣燃料炸彈[40]、發(fā)動(dòng)機(jī)噴管等[41]氣體顆粒兩相流動(dòng)問(wèn)題的數(shù)值模擬.采用SDPH方法對(duì)道路交通系統(tǒng)模型進(jìn)行求解,一方面可以利用SDPH的拉格朗日特性,追蹤系統(tǒng)內(nèi)物質(zhì)的詳細(xì)運(yùn)動(dòng)信息,俘獲車輛的運(yùn)動(dòng)行為;另一方面,每個(gè)SDPH粒子可以表征一系列具有一定尺寸分布的車輛,可大幅減小計(jì)算量,實(shí)現(xiàn)對(duì)大規(guī)模交通系統(tǒng)的有效求解.

由于傳統(tǒng)SPH主要用于離散連續(xù)性物質(zhì),所以SDPH方法將SPH進(jìn)行了改進(jìn),這里針對(duì)交通問(wèn)題再進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整,建立可求解交通流的改進(jìn)SPH方法.SDPH粒子不僅承載車輛的數(shù)量、數(shù)密度、速度、位置、交通壓力等參量,而且承載車輛的尺寸分布形態(tài)、體積分?jǐn)?shù)以及由顆粒動(dòng)力學(xué)引入的擬溫度等車輛屬性,將其稱為“SDPH車輛”.本文采用實(shí)際車輛的尺寸均值、方差和車輛的數(shù)量表征車輛的尺寸分布情況.如2.1節(jié),引入車輛的擬溫度表征車輛運(yùn)動(dòng)的速度脈動(dòng)(如Helbing的速度方差[24]).車輛擬溫度θp如(8)式定義,其同樣作為一個(gè)參量值賦予“SDPH車輛”上.車輛的擬溫度守恒方程為(20)式.

“SDPH車輛”與實(shí)際車輛之間屬性的對(duì)應(yīng)關(guān)系為:對(duì)于交通車輛系統(tǒng)擬流體,車輛的有效數(shù)密度表示為

假設(shè)一定區(qū)域中存在有n輛車,車輛的平均體積為Vv,空間總體積為V0,那么有

基于建立的“SDPH車輛”與真實(shí)車輛間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,對(duì)顆粒動(dòng)力學(xué)守恒方程(15),(16)和(20)采用SPH方法進(jìn)行離散,得到用于SPH求解的控制方程組:

式中應(yīng)力σ=?pvI+τv,如第2節(jié)所述.為壁面力,如2.4節(jié).車輛體積分?jǐn)?shù)、連續(xù)相壓力梯度以及曳力等作用來(lái)源于驅(qū)動(dòng)力系統(tǒng).

3.2 外部流體動(dòng)力系統(tǒng)求解的FVM方法

對(duì)于FVM,在空間離散的四邊形網(wǎng)格上構(gòu)造控制體.外部流體動(dòng)力系統(tǒng)模型守恒方程(21)和(22)在控制體上構(gòu)造的動(dòng)力學(xué)平衡方程如下:

其中I為單位矩陣,V為流體所占據(jù)體積,S為占據(jù)體積邊界的面積,n為垂直于面S的單位法向量.方程(30)和(31)計(jì)算的解在交錯(cuò)網(wǎng)格上獲得.壓力、密度、黏度、擬溫度及其他車輛屬性都定義在網(wǎng)格中心處,速度的水平分量定義于垂直網(wǎng)格面的中心,速度的垂直分量則定義于水平網(wǎng)格面的中心位置.

方程(32)和(33)的有限體積離散式如下:

3.3 SDPH-FVM耦合框架及算法流程

基于雙流體模型,可以建立SDPH與FVM間耦合的橋梁,通過(guò)曳力、壓力和能量等源項(xiàng)作用,以及體積分?jǐn)?shù)值的交換,實(shí)現(xiàn)算法之間的耦合,具體框架和流程見(jiàn)文獻(xiàn)[36—41],不再贅述.這里重點(diǎn)闡述相間曳力作用.

作用于單車輛上的曳力可由動(dòng)量交換系數(shù)β和兩相間滑移速度vf?vv表示:

大量研究表明,車輛系統(tǒng)的體積分?jǐn)?shù)對(duì)于決定車輛群運(yùn)動(dòng)的曳力來(lái)說(shuō)具有重要的影響.動(dòng)量交換系數(shù)βfv采用Schiller和Naumann提出的公式[42]

lv為車輛的平均尺寸,ρf為外部流體動(dòng)力系統(tǒng)的等效密度,CD為可調(diào)整參數(shù),通常設(shè)為0.5.

4 算例驗(yàn)證

4.1 車輛匯入對(duì)道路交通影響的仿真分析

不論是在高速公路還是城市快速道路上,均有車輛通過(guò)匝道駛?cè)胫鞯赖臓顩r,如果說(shuō)交叉口是間斷流交通設(shè)施的擁堵節(jié)點(diǎn),那么匝道駛?cè)朦c(diǎn)則是高速路或快速路等連續(xù)流交通設(shè)施的咽喉,是導(dǎo)致主線交通紊亂、造成道路擁堵的直接誘因.這種路段也通常稱為“瓶頸”路段,屬于道路交通系統(tǒng)的合流區(qū),是發(fā)生交通事故、造成車輛延誤的主要區(qū)域[43,44].

為獲得更多的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),以便與仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析,這里選擇城市快速路入口匝道合流區(qū)車輛匯入作為研究對(duì)象,研究其在匯入過(guò)程中對(duì)交通運(yùn)行特性和交通系統(tǒng)特性的影響過(guò)程,同時(shí)檢驗(yàn)本文提出的新模型和方法的有效性.圖2顯示了快速路入口處合流區(qū)示意圖.可以看到,以相同方向上分開(kāi)行駛的兩股車輛合并成一股車流繼續(xù)向前運(yùn)動(dòng),車道包括主線車道、入口匝道和主線車道與匝道之間的的加速車道.加速車道的作用是為了提供空間使匝道車輛提高行駛速度,順暢地匯入主路交通而不發(fā)生車輛的碰撞,減少匯入的擾動(dòng).通過(guò)分析可以發(fā)現(xiàn),該兩股車流相匯的過(guò)程和管道中的兩股顆粒流相匯的過(guò)程相似,完全可以進(jìn)行等價(jià).

以西安市由建工路與東二環(huán)主干道路合流區(qū)為例,經(jīng)過(guò)數(shù)據(jù)采集統(tǒng)計(jì),東二環(huán)主線運(yùn)行速度均值為54 km/h,匝道車輛速度約為38 km/h,設(shè)定主路交通單車道流量密度為44 veh/km.雖然東二環(huán)主路為四車道,但是通過(guò)觀測(cè)可以發(fā)現(xiàn),合流區(qū)附近很長(zhǎng)一段道路內(nèi)最左側(cè)車道和右側(cè)的三車道無(wú)任何影響,最左側(cè)車道上車輛非常穩(wěn)定,所以這里只考慮二環(huán)主路的單向三車道,車道總車流密度為22 kveh/km2.匝道交通單車道流量密度為62 veh/km,單向?yàn)閮绍嚨?車道總密度為31 kveh/km2.車輛平均長(zhǎng)度為4.3 m,初始主干道路車流量體積分?jǐn)?shù)為0.4,匝道車流量體積分?jǐn)?shù)為0.5,模型如圖3所示.在匯入處由于道路出現(xiàn)變化,駕駛員會(huì)根據(jù)道路的狀況改變駕駛方向和速度,因此,需增加外部的動(dòng)力系統(tǒng)模型對(duì)車輛方向校正,再根據(jù)車輛間的間距情況進(jìn)行速度的調(diào)整.

圖2 合流區(qū)示意圖Fig.2.Sketch map of con fluence area.

圖3 計(jì)算模型示意圖Fig.3.Sketch map of calculation model.

圖4為根據(jù)圖3所示的道路分布情況計(jì)算得到的外部流體動(dòng)力系統(tǒng)的速度矢量隨主車道速度逐漸增加的分布情況.可以看出,車輛在由加速區(qū)行駛至主路區(qū)時(shí),受到主路區(qū)道路的影響,速度方向迅速發(fā)生改變,和主路區(qū)有一個(gè)交叉調(diào)整區(qū)域,而后兩者合二為一.當(dāng)主車道速度和流量較小時(shí),匝道車輛能順利進(jìn)入主車道,速度大小基本保持不變;當(dāng)主車道速度逐漸增大,與匝道車輛速度相同時(shí),主車道車輛經(jīng)過(guò)匝道口也需要調(diào)整自身方向,防止與匝道車輛相碰;而當(dāng)主車道速度增大到大于匝道車輛速度時(shí),匝道車輛就需要改變自身行駛方向和提高自身速度以實(shí)現(xiàn)車輛的相互避讓,因此可以從圖4(c)中明顯看到在匝道口的下游位置速度有明顯提高.從一定程度上揭示了匝道向主道行駛的路況特性,駕駛員一般都會(huì)按照此種情況操作.在此基礎(chǔ)上,作為外部驅(qū)動(dòng)力施加于車輛的行駛上,所得動(dòng)力學(xué)結(jié)果如圖5所示.可以看出,車輛行駛除受外部驅(qū)動(dòng)力作用之外,車輛之間的相互作用同樣發(fā)揮了重要作用.匝道車輛在合流區(qū)進(jìn)入主車道,受左右車輛的影響,其僅能位于最右側(cè)車道行駛,隨著往前行駛,其根據(jù)左側(cè)車輛情況會(huì)選擇進(jìn)入左側(cè)車道,車輛在道路下游區(qū)域分布逐漸均勻.圖6為計(jì)算得到的車流量密度隨時(shí)間的分布云圖,可以看出,匝道車道較窄,車流量密度較大,其進(jìn)入主車道后會(huì)在下游位置產(chǎn)生一個(gè)高密度區(qū)域,隨著時(shí)間的推移,該高密度區(qū)域會(huì)向上游傳播,影響后方進(jìn)入該區(qū)域的車輛,造成上游區(qū)域密度也會(huì)有增長(zhǎng)區(qū)域,隨著下游車輛的疏散,車流量密度在道路上的分布逐漸趨于穩(wěn)定.

為了驗(yàn)證模型和算法計(jì)算的準(zhǔn)確性,我們實(shí)地拍攝了西安建工路與東二環(huán)主干道路合流區(qū)車流量分布情況,圖7為所拍攝到的一段時(shí)間內(nèi)車輛在合流區(qū)交匯的狀況.通過(guò)跟蹤圖片上編號(hào)為1,2,3的三輛車的運(yùn)動(dòng),可以看到車輛的運(yùn)動(dòng)軌跡與圖5計(jì)算得到的車輛的軌跡非常符合,匝道車輛進(jìn)入主道后會(huì)逐漸向內(nèi)側(cè)兩車道行駛,造成內(nèi)側(cè)車流量密度增大.同時(shí),合流區(qū)車輛的混合狀況符合也較好,通過(guò)對(duì)一段時(shí)間內(nèi)合流區(qū)車流量的統(tǒng)計(jì)平均,得到合流區(qū)的車流量密度平均為43.6 kveh/km2,該實(shí)測(cè)值與數(shù)值模擬結(jié)果誤差小于6%,表明采用新的模型和方法不僅可以得到車輛在空間中的實(shí)時(shí)運(yùn)動(dòng)狀態(tài),同時(shí)車輛數(shù)密度等定量值也可以很好地俘獲.

圖4 (網(wǎng)刊彩色)動(dòng)力系統(tǒng)速度矢量隨主車道速度增加而逐漸增加的情況 (a)主車道速度為32 km/h;(b)主車道速度為54 km/h;(c)主車道速度為68 km/hFig.4.(color online)Speed vector of power system increases with the increase of main lane speed:(a)Main lane speed is 32 km/h;(b)main lane speed is 54 km/h;(c)main lane speed is 68 km/h.

圖5 車輛匯入主車道過(guò)程空間分布狀況 (a)0 s;(b)10 s;(c)20 s;(d)30 sFig.5.Spatial distribution of vehicles entering main lane:(a)0 s;(b)10 s;(c)20 s;(d)30 s.

圖6 (網(wǎng)刊彩色)車流量密度隨時(shí)間變化的空間分布狀況 (a)10 s;(b)20 s;(c)30 s;(d)40 sFig.6.(color online)Spatial distribution of vehicle flow density over time:(a)10 s;(b)20 s;(c)30 s;(d)40 s.

圖7 (網(wǎng)刊彩色)合流區(qū)實(shí)測(cè)車輛行駛過(guò)程Fig.7.(color online)The process of vehicle running observed in the merging area.

4.2 機(jī)動(dòng)車-非機(jī)動(dòng)車混合對(duì)道路交通影響的仿真分析

我國(guó)城市交通系統(tǒng)是由機(jī)動(dòng)車、非機(jī)動(dòng)車和行人構(gòu)成的混合交通,不同的交通工具間駕駛行為和工具性能差異較大,混合行駛于道路上會(huì)出現(xiàn)相互之間的干擾,甚至引發(fā)交通事故.我國(guó)交通事故存在的典型特征為交通弱勢(shì)群體占事故傷亡人數(shù)的75%以上.非機(jī)動(dòng)車騎行者由于缺乏車艙的保護(hù),在交通中最易受到傷害.因此,非機(jī)動(dòng)車交通流動(dòng)特性及其對(duì)車輛交通系統(tǒng)的影響研究,對(duì)于城市交通系統(tǒng)的管理、行車安全的保障、指導(dǎo)道路安全措施的建設(shè)將具有十分重要的意義[45?48].

這里提到的非機(jī)動(dòng)車主要指自行車和電動(dòng)自行車.機(jī)動(dòng)車-非機(jī)動(dòng)車混合道路交通問(wèn)題主要發(fā)生在機(jī)動(dòng)車道與非機(jī)動(dòng)車道劃線分割路段,非機(jī)動(dòng)車越線占用機(jī)動(dòng)車道行駛,造成機(jī)動(dòng)車道通行能力下降,非機(jī)動(dòng)車和機(jī)動(dòng)車混合行駛,互相干擾,產(chǎn)生不同程度的交通沖突,影響非機(jī)動(dòng)車駕駛員的安全,分析產(chǎn)生這種現(xiàn)象的原因主要有機(jī)動(dòng)車道負(fù)荷小、非機(jī)動(dòng)車道負(fù)荷高、公交站點(diǎn)設(shè)置問(wèn)題以及路邊停車情況等.這里針對(duì)機(jī)動(dòng)車道負(fù)荷小、非機(jī)動(dòng)車道負(fù)荷高的常見(jiàn)狀況進(jìn)行數(shù)值模擬研究.

圖8 非機(jī)動(dòng)車混合流模型示意圖Fig.8.Sketch map of mixed flow composed of motorized and non-motorized vehicles.

計(jì)算模型如圖8所示,模型共有三條車道,主車道基本為機(jī)動(dòng)車運(yùn)行,非機(jī)動(dòng)車道基本為非機(jī)動(dòng)車運(yùn)行,而中間的車道為機(jī)動(dòng)車-非機(jī)動(dòng)車混合車道,由于該車道車輛較少,而旁邊的非機(jī)動(dòng)車道非機(jī)動(dòng)車較多,造成非機(jī)動(dòng)車向旁邊車道移動(dòng)緩解的狀況,這和交通系統(tǒng)的壓力分布造成車輛的行駛趨勢(shì),完全相類似.車輛主車道的運(yùn)行速度為70 km/h,密度為30 kveh/km2,非機(jī)動(dòng)車道的運(yùn)行速度為20 km/h,初始密度為65 kveh/km2,機(jī)非混合車道初始密度為1 kveh/km2.

圖9為計(jì)算得到的車輛和非機(jī)動(dòng)車由各自車道運(yùn)行到混合車道的過(guò)程.初始時(shí)刻機(jī)動(dòng)車主要在最左側(cè)車道行駛,車流量最大,中間車道機(jī)動(dòng)車數(shù)量相比較少,無(wú)非機(jī)動(dòng)車混入,最右側(cè)為非機(jī)動(dòng)車道;中間時(shí)刻,非機(jī)動(dòng)車輛在中間車道負(fù)壓的牽引下,逐漸向中間車道運(yùn)動(dòng),速度方向指向中間車道;最終非機(jī)動(dòng)車基本占滿中間機(jī)動(dòng)車道,使兩個(gè)車道的交通壓力均衡則達(dá)到了穩(wěn)定狀態(tài),所以說(shuō)交通系統(tǒng)的壓力分布決定了機(jī)動(dòng)車道非機(jī)動(dòng)的混入情況,同時(shí)非機(jī)動(dòng)車的混合,降低了機(jī)動(dòng)車道車輛的行駛速度,限制了主車道上車輛的自適應(yīng)的運(yùn)動(dòng).

圖9 車輛和非機(jī)動(dòng)車由各自車道運(yùn)行到混合運(yùn)行的過(guò)程(a)0時(shí)刻;(b)中間轉(zhuǎn)換時(shí)刻;(c)最終穩(wěn)定時(shí)刻Fig.9.Motorized and non-motorized vehicles run from each lane to the mixed lane:(a)Time zero;(b)intermediate switching time;(c) final stability time.

圖10 (網(wǎng)刊彩色)三條車道上機(jī)動(dòng)車、非機(jī)動(dòng)車車輛的速度隨時(shí)間的變化Fig.10.(color online)Velocity curves of motorized and non-motorized vehicles over time in the three lanes.

圖10為車道下游1.0 km處計(jì)算得到的三條不同車道上機(jī)動(dòng)車速度和非機(jī)動(dòng)車速度隨時(shí)間的變化關(guān)系曲線,圖11為相應(yīng)的密度隨時(shí)間變化曲線.可以看出,機(jī)動(dòng)車主車道上車速受非機(jī)動(dòng)車混入影響較小,基本處于相同狀況下運(yùn)行,車流密度也基本處于恒定值.非機(jī)動(dòng)車道上由于向混合車道上分流出了部分非機(jī)動(dòng)車,所以非機(jī)動(dòng)車流密度有降低趨勢(shì),而混合車道上機(jī)動(dòng)車的車流密度基本保持不變,非機(jī)動(dòng)車則呈現(xiàn)增大的趨勢(shì),到一定程度時(shí)基本保持不變,機(jī)動(dòng)車速度降低幅度較大,而非機(jī)動(dòng)車速度有一定程度的增加.由于實(shí)際城市道路交通中時(shí)刻處于混合狀態(tài),所以難以獲得動(dòng)態(tài)變化過(guò)程與本算例進(jìn)行對(duì)比,所以對(duì)機(jī)動(dòng)車-非機(jī)動(dòng)車混合車道的均值速度和車流密度進(jìn)行測(cè)定,統(tǒng)計(jì)平均后得到不同車道的車輛均值速度分別為:68 km/h(機(jī)動(dòng)車主車道速度),33 km/h(機(jī)動(dòng)車-非機(jī)動(dòng)車混合車道平均速度),21 km/h(非機(jī)動(dòng)車道平均速度);不同車道的車流密度分別為:31.5 kveh/km2(機(jī)動(dòng)車主車道車輛數(shù)密度),37.5 kveh/km2(機(jī)非混合車道總流量密度),43 veh/km2(非機(jī)動(dòng)車道總流量密度),仿真結(jié)果與實(shí)測(cè)值相比誤差在6%以內(nèi),驗(yàn)證了本文模型和方法在求解此類道路交通問(wèn)題中可行.同時(shí),分析誤差的原因可能在于實(shí)測(cè)得到的車流量密度與道路不同時(shí)段有關(guān),如上下班高峰車流量密度較大,相反平時(shí)車流量密度相對(duì)較小.

圖11 (網(wǎng)刊彩色)三條車道上機(jī)、非車輛的密度隨時(shí)間的變化Fig.11.(color online)Density curves of motorized and non-motorized vehicles over time in the three lanes.

5 結(jié) 論

針對(duì)傳統(tǒng)交通流模型在描述交通系統(tǒng)問(wèn)題時(shí)存在的不足,本文從顆粒動(dòng)力學(xué)角度出發(fā),經(jīng)過(guò)建立交通系統(tǒng)中的因素與顆粒流體系統(tǒng)中的因素的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,提出了新的道路交通擬流體模型,并引入新型無(wú)網(wǎng)格粒子法與網(wǎng)格法相耦合的算法,建立了道路交通模型求解的數(shù)值仿真方法,選取了道路交通問(wèn)題中的兩個(gè)典型過(guò)程進(jìn)行了數(shù)值模擬,所得結(jié)論如下.

1)車輛間相互作用與顆粒間的碰撞作用存在相似性,基于該理論推導(dǎo)得到的新的道路交通系統(tǒng)模型中的連續(xù)性方程與LWR模型完全一致,說(shuō)明了采用顆粒動(dòng)力學(xué)理論同樣可以建立起微觀模型與宏觀模型間的聯(lián)系,同時(shí)驗(yàn)證了采用該理論推導(dǎo)宏觀道路交通系統(tǒng)模型方程的可行性.

2)從駕駛員根據(jù)已知道路狀況對(duì)車輛的操控行為角度出發(fā),提出了道路的理想駕駛速度的概念,基于該思想,將駕駛員的操控比擬為道路上存在的外部流體連續(xù)空間對(duì)車輛的驅(qū)動(dòng)作用,同時(shí)建立描述駕駛員的自身狀態(tài)與流體密度之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,該模型等價(jià)于傳統(tǒng)宏觀模型中的弛豫項(xiàng),從顆粒流體系統(tǒng)角度豐富了交通流理論的基礎(chǔ).

3)從車輛的微觀行為角度出發(fā),基于顆粒流體系統(tǒng)的思想,建立起交通系統(tǒng)擬流體模型,再引入粒子數(shù)值方法進(jìn)行求解,既可以保持傳統(tǒng)微、中、宏觀模型在求解交通系統(tǒng)中存在的各自優(yōu)勢(shì),又克服了他們自身的缺點(diǎn),為交通系統(tǒng)問(wèn)題的解決開(kāi)辟了一條新的有效途徑.

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PACS:45.70.Vn,05.20.Dd,07.05.TpDOI:10.7498/aps.66.224501

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant Nos.U1501253,11502132)and the Research project of the Education Department of Shaanxi Province,China(Grant No.14JK1132).

?Corresponding author.E-mail:chen_fu_zhen@163.com

Physics model of fluid and particle simulation method for road traffic?

Cui Man1)Xue Hui-Feng1)2)Chen Fu-Zhen3)?Bu Fan-Biao1)

1)(School of Automation,Northwestern Polyechnical University,Xi’an 710072,China)2)(China Aerospace Academy of Systems Science and Engineering,Beijing 100048,China)3)(Dapartment of Power Enginneering,Rocket Engineering University,Xi’an 710025,China)

8 June 2017;revised manuscript

21 August 2017)

The rapid development of social economy speeds up urbanization,but also brings urban traffic congestion and urban traffic problems,such as frequent accidents,energy consumption and environmental pollution.Road traffic,as a part of the most important components in city traffic,is a complex system problem.To solve the difficulties in current city development and people’s production and living,and to promote the development of national economy and society greatly,we need to study the road traffic.In order to solve the problem of complex road traffic system in fluenced by many factors,a physics model of pseudo- fluid of macroscopic road traffic system is established in combination with the traditional Lighthill-Whitham-Richards physics model based on kinetic theory of granular flow.A coupling method of meshless particles with grid is adopted to solve the new traffic model,which is then applied to solving the typical traffic problems.In the new model,vehicles are likened to hard particles.Car-following is likened to collision interactions between particles.Driver driving a ff ected by known road conditions is likened to the driving force exerted by external fluid in two-phase system consisting of fluid and particle,and the in fluence of vehicles in di ff erent lanes is likened to viscous e ff ect between particles.Thus the pseudo- fluid model of road traffic system is deduced and established based on the kinetic theory of granular flow.Then,the traffic multiphase system model is established by adding pedestrians and other non-motorized vehicles to the particles with di ff erent attributes.The boundary model of road traffic system based on pipeline theory is established through comparing the boundary model of traffic lights,barricades and forbidden lane changes to wall boundary conditions.Therefore,a complex large traffic model with di ff erent initial and boundary conditions considering the complex factors of the system is established.The Smoothed discrete particle hydrodynamics(SDPH)is used to discretize the vehicle system model.A one-to-one correspondence between SDPH vehicles and real vehicles is established through adding the vehicle flow properties characterized by SDPH particles.Then the two- fluid model of road traffic system is solved by combining the finite volume method.Thus,a new simulation approach to solving the macroscopic model of traffic flow is established.Finally,the e ff ects of mixed flow composed of motorized and non-motorized vehicles and vehicles merging on the road traffic are simulated by employing the established model and method.The real-time distribution of the vehicle on the road is obtained,and the variation of the vehicle flow density with time is analyzed.The simulation results are in good agreement with the measured values,which shows that the new model and method are e ff ective and reliable,and they provide a new way of solving the road traffic problem.

road traffic problems,kinetic theory of granular flow,particle method,physics model of fluid

10.7498/aps.66.224501

?國(guó)家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào):U1501253,11502132)和陜西省教育廳科研項(xiàng)目(批準(zhǔn)號(hào):14JK1132)資助的課題.

?通信作者.E-mail:chen_fu_zhen@163.com