崔曼 薛惠鋒2) 陳福振 卜凡彪

1)(西北工業(yè)大學(xué)自動化學(xué)院,西安 710072)2)(中國航天系統(tǒng)科學(xué)與工程研究院,北京 100048)3)(火箭軍工程大學(xué)動力工程系,西安 710025)

道路交通的流體物理模型與粒子仿真方法?

崔曼1)薛惠鋒1)2)陳福振3)?卜凡彪1)

1)(西北工業(yè)大學(xué)自動化學(xué)院,西安 710072)2)(中國航天系統(tǒng)科學(xué)與工程研究院,北京 100048)3)(火箭軍工程大學(xué)動力工程系,西安 710025)

(2017年6月8日收到;2017年8月21日收到修改稿)

針對受多種因素影響的復(fù)雜道路交通系統(tǒng)問題,基于顆粒動力學(xué)理論,結(jié)合傳統(tǒng)的Lighthill-Whitham-Richards物理模型,建立道路交通系統(tǒng)的流體物理模型,采用無網(wǎng)格粒子與網(wǎng)格相結(jié)合的方法進行數(shù)值仿真,并應(yīng)用于典型道路交通問題的求解.在新模型中,將車輛比擬為硬顆粒,車輛的跟車比擬為顆粒間的碰撞相互作用,已知道路情況對駕駛員操作車輛的影響比擬為流-粒兩相系統(tǒng)中的外部流體驅(qū)動力作用,不同車道間車輛的影響比擬為顆粒間的黏性作用,從而在顆粒動力學(xué)理論的基礎(chǔ)上,推導(dǎo)建立了道路交通系統(tǒng)擬流體模型;引入光滑離散顆粒流體動力學(xué)(SDPH)對車輛系統(tǒng)模型進行離散,建立“SDPH車輛”與真實車輛之間的一一對應(yīng)關(guān)系,再結(jié)合有限體積方法,對道路交通構(gòu)建的雙流體模型進行求解,建立求解交通流體物理模型的新型仿真方法.最后,采用所建立的模型和方法對車輛匯入以及機非混合對交通系統(tǒng)的影響過程進行了數(shù)值仿真,所得結(jié)果與實測值符合較好,表明新的模型和方法有效性好、可靠性高,為道路交通問題的解決提供了一條全新的途徑.

道路交通問題,顆粒動力學(xué),粒子法,流體物理模型

1 引 言

社會經(jīng)濟的快速發(fā)展促進了城市化進程的加速,同時也帶來了城市交通擁堵以及由此衍生的事故頻發(fā)、能源耗費、環(huán)境污染等城市交通問題.道路交通作為城市交通組成中最重要的部分,它是一個復(fù)雜的系統(tǒng)問題,對其進行研究不僅可以解決當(dāng)前城市發(fā)展和人們生產(chǎn)生活所面臨的困境,同時也將極大地促進國家和經(jīng)濟社會的發(fā)展.

目前,國內(nèi)外對于道路交通問題的研究主要有三個大類的方法,分別為基于實驗采集數(shù)據(jù)的分析方法[1?3]、基于非線性科學(xué)的理論分析方法[4?7]和基于交通系統(tǒng)流體力學(xué)模型的仿真分析方法[8?31].采用傳統(tǒng)的實驗數(shù)據(jù)分析方法,需要大量的人力、物力資源及很長的實驗采集周期.雖然如今高速攝像系統(tǒng)及其數(shù)據(jù)分析手段不斷改進和更新,但是僅通過數(shù)據(jù)很難全面直觀地了解道路交通系統(tǒng)內(nèi)由于駕駛員等為因素造成的時走時停、幽靈式交通等特殊交通行為.同時,采用理論分析的方法很難得到道路交通復(fù)雜系統(tǒng)的定量數(shù)值解,無法對交通系統(tǒng)內(nèi)某些具體因素的影響進行深入分析.隨著交通流理論的提出以及計算機軟硬件的發(fā)展,通過建立交通流體力學(xué)模型進行數(shù)值模擬,已經(jīng)為研究道路交通系統(tǒng)特性提供了一種有效而又經(jīng)濟的工具,逐漸成為道路交通問題解決和系統(tǒng)設(shè)計的重要手段.

交通流理論是一門運用物理學(xué)和數(shù)學(xué)工具描述交通系統(tǒng)特性的科學(xué).自20世紀30年代提出至今,已發(fā)展出多達上百種物理模型和數(shù)學(xué)模型,這些模型從對車輛的描述方法上可分為微觀、中觀和宏觀方法.微觀方法集中于單個車輛在相互作用下的個體行為描述,如車輛跟馳模型[8?11]和元胞自動機模型[12?15],該方法存在計算消耗大,無法考慮車輛與駕駛員間存在巨大差異的情形,或者過于依賴演化更新規(guī)則,模擬結(jié)果與實測結(jié)果差別很大的缺點.宏觀方法是將由大量車輛組成的系統(tǒng)看作可壓縮連續(xù)流體介質(zhì),研究車輛集體的綜合平均行為,如Lighthill-Whitham-Richards(LWR)模型[16,17]、Payne模型[18]、Papageorgiou模型[19,20]、Khüne模型[21,22]、Michalopoulos模型[23]、Helbing“三方程”模型[24]以及吳正模型等[25],此類方法為交通問題的解決做出了巨大貢獻,但目前所建立的非平衡流的高階連續(xù)模型理論基礎(chǔ)不夠嚴格,模型較為簡單,存在大量的人為假設(shè),尤其模型中一些參數(shù)較大程度上依賴于實驗數(shù)據(jù)和經(jīng)驗公式,普適性差,制約了此類方法自身優(yōu)勢的有效發(fā)揮.中觀的氣體動力學(xué)模型[26?30]有較好的理論基礎(chǔ),它采用統(tǒng)計平均的方法考察大量分子的集體行為,推導(dǎo)出了宏觀規(guī)律,建立起了微觀模型和宏觀模型的橋梁.但是目前該模型僅適合于稀疏氣體分子的運動,分子間距較大,與道路交通系統(tǒng)中車輛間距可大可小的現(xiàn)狀不相符合.同時,采用該模型建立的方程中包括很多待定參量和復(fù)雜關(guān)系式,尚未能和實際道路交通系統(tǒng)參量建立起聯(lián)系,致使該模型相比其他兩種方法發(fā)展遲緩.

另外,目前國內(nèi)外對道路交通系統(tǒng)模型進行求解,大多采用基于網(wǎng)格的數(shù)值模擬方法,通過追蹤每一時間步固定位置上的車流密度、速度、流量等參量觀測交通系統(tǒng)的演變過程,無法得到車輛實時的運動狀況,更無法跟蹤每一車輛的運動軌跡,這樣對于道路交通系統(tǒng)中存在的一些典型狀況,如幽靈式交通、交通擁堵、混合交通等均無法詳細追蹤事故的原因,無法充分發(fā)揮數(shù)值模擬的優(yōu)勢.

本文從一種全新的角度出發(fā),基于顆粒動力學(xué)理論建立更為全面描述復(fù)雜道路交通系統(tǒng)的模型,引入無網(wǎng)格粒子模擬方法進行仿真求解,解決以上描述的現(xiàn)有交通系統(tǒng)模型和仿真方法存在的不足,實現(xiàn)對道路交通復(fù)雜系統(tǒng)的有效模擬.

2 道路交通系統(tǒng)流體物理模型的建立

通過對道路交通系統(tǒng)模型總結(jié)研究,可以發(fā)現(xiàn)由大量車輛組成的系統(tǒng)在宏觀上會表現(xiàn)出類似可壓縮流體的性質(zhì),在不受外界壓力和干擾作用下會自由均勻運動,而當(dāng)遇到紅綠燈、交通擁堵又可以聚集到一起,道路交通系統(tǒng)的這種宏觀性質(zhì)直接帶來了道路交通宏觀流體力學(xué)模型的誕生.然而,這種直接從宏觀層面進行等效假設(shè)出發(fā)建立的模型,缺乏嚴格的理論基礎(chǔ),僅為一種等價模型,致使很多參量和方程均具有人為性.

而換個角度分析,車輛從單體角度出發(fā)又是一種具有隨機運動規(guī)律的離散物質(zhì),假定其在不考慮自身密度、質(zhì)量和尺寸等條件下,僅將車輛當(dāng)成是運動的質(zhì)點,僅考慮其自身的數(shù)密度、速度和數(shù)流量,其運動規(guī)律與離散粒子的運動具有較高的一致性.那么直接從該角度出發(fā),通過建立微觀系統(tǒng)車輛的隨機運動方程,加上車輛間相互作用模型,推導(dǎo)系統(tǒng)的宏觀擬流體模型,正是目前中觀方法的思想,并且其具有嚴格的理論基礎(chǔ).但是中觀方法所采用的氣體分子動理論自身卻存在分子間距的稀疏性假設(shè),并且分子之間的相互作用與車輛間的相互作用存在差異性(碰撞概率、速度分布均不同),因此,目前中觀方法建立起的模型中還存在很多未知量和關(guān)系式,還未能和實際交通系統(tǒng)建立一一對應(yīng)關(guān)系,未能實現(xiàn)大規(guī)模應(yīng)用.

我們前期在研究氣體-顆粒兩相流的基礎(chǔ)問題時,發(fā)現(xiàn)顆粒動力學(xué)[31?33]作為一種新的理論,其思想即源于氣體分子動理論,它將顆粒間的相互作用假定為二體碰撞假設(shè),與車輛間通常產(chǎn)生的兩-兩車輛相互作用不謀而合.同時該模型克服了氣體分子動理論的缺點,既適用于稀疏顆粒的運動,又可以處理顆粒的稠密運動.采用該理論推導(dǎo)得到的宏觀擬流體模型與傳統(tǒng)的宏觀交通系統(tǒng)模型存在較大的一致性,同時將其中的人為項替換成了流體力學(xué)項,基于物理本質(zhì)求解得到,更加具有合理性.因此,這里重點闡述基于顆粒動力學(xué)建立的道路交通系統(tǒng)擬流體模型.

2.1 基于車輛相互作用的車輛系統(tǒng)模型

基于顆粒動力學(xué)模型,將每一車輛看作離散的顆粒,對應(yīng)考慮車輛間的相互作用.車輛在自身行駛條件下,受周圍車輛的影響產(chǎn)生加減速、時走時停等隨機運動,從而產(chǎn)生宏觀交通系統(tǒng)的壓力和黏度.同時,假定發(fā)生相互作用的兩車輛速度間無相關(guān)關(guān)系(這里的相關(guān)關(guān)系指的是直接關(guān)系,例如兩輛車為一個車隊,速度之間存在著直接的線性關(guān)系等).類比于顆粒動力學(xué)中的兩顆粒作用模式,道路交通系統(tǒng)中,兩輛車之間的相互影響作用為主要作用模式,同其他車輛的作用對系統(tǒng)的影響較小.需要強調(diào)的是,這里比擬的兩車之間不會發(fā)生真正的碰撞,而是兩車間的車距小于最小車距后,便認為其等價于兩顆粒的碰撞作用,產(chǎn)生光滑的反彈作用,造成車輛速度的改變,并且發(fā)生該現(xiàn)象的時間很短.單車輛速度分布采用Maxwell速度分布函數(shù)描述,且滿足Boltzmann積分微分方程.

車輛的運動采用速度分布函數(shù)f(t,r,v)drdv來描述.車輛數(shù)方程則為

表示在時刻t、體積元從r到r+dr且速度范圍從v到v+dv內(nèi)的車輛總數(shù)目.速度從v到v+dv內(nèi)車輛分布概率為

對空間中與車輛速度有關(guān)的物理量,采用概率速度平均的方法,進行統(tǒng)計平均,得到

ψ指車流量、速度、動量和能量等.

通常,假定車輛速度分布函數(shù)滿足Boltzmann積分微分方程(如Phillips[30]假定)

該公式表示在體積范圍V(t)和速度范圍v(t)內(nèi)車輛總數(shù)量的守恒關(guān)系;(?f/?t)colldrdv表示在體積和速度空間(r,v)內(nèi)由車輛間的相互作用而引起的速度凈變化率.基于Reynolds理論[33]可以得到著名的Boltzmann方程:

a表征作用于單車輛的外應(yīng)力,不包含車輛間相互作用應(yīng)力.

著名的Maxwell速度分布公式可從Boltzmann方程在車輛系統(tǒng)均勻穩(wěn)定的狀態(tài)下求得為車輛的平均速度,θv定義為車輛的擬溫度,表征車輛的速度脈動,也即車輛的速度方差,主要考慮車輛受周圍車輛影響造成的車速波動,同Helbing[24]引入的車輛速度方差相類似,

C為車輛的脈動速度.將反映車輛特性的物理量ψ代入Boltzmann方程兩邊,化簡得到一般輸運方程,

在考慮兩車輛產(chǎn)生相互作用的情況下,上式可表示為

令ψ=1,n=αvkv=k,不考慮目標(biāo)系統(tǒng)之外的車輛進入和駛出等源項作用,代入(10)式中,可得車流量連續(xù)性守恒方程:

或

kv為單位車道內(nèi)根據(jù)單個車輛所占據(jù)的空間計算出的可容納最多的車輛數(shù)目;k為車輛數(shù)目密度,即單位車道內(nèi)車輛的數(shù)目;αv為車輛所占據(jù)空間的體積分數(shù),由當(dāng)前狀態(tài)下單位空間內(nèi)的車輛數(shù)與完全飽和狀態(tài)下車輛數(shù)的比值求得,和車輛數(shù)密度與速度一樣給定初始狀態(tài)值,然后每一時間步進行更新求解.vv不是瞬時速度,而是平均量,即

v為瞬時速度.可以看出,該方程在一維情形下與LWR模型方程完全相同,說明了采用顆粒動力學(xué)理論同樣可以建立起微觀模型與宏觀模型的聯(lián)系,同時驗證了采用該理論推導(dǎo)宏觀交通系統(tǒng)模型方程的可行性.

同理,令ψ=v,考慮車輛受駕駛員操作的影響,車輛運動方程表示為

?P為駕駛員根據(jù)道路分布操控的動力梯度,操控的動力P由動力系統(tǒng)輸運方程求得,在第3節(jié)中詳細介紹;?Pv為車輛系統(tǒng)等效壓力梯度,Pv由(17)式求得,其中Pv為脈動能θv的函數(shù),θv由其輸運方程(19)求解;kg為外部由于雨、雪等環(huán)境因素施加給系統(tǒng)的作用力;βvf為駕駛員對車輛操控的等效曳力系數(shù),第2.3節(jié)詳細介紹.

其中,g0為徑向分布函數(shù),通常取

αv,max為車輛在車道上擁擠時可達到的最大體積分數(shù)值;kv,αv,g0在每個時間步進行計算更新,e為車輛間相互作用影響歸還系數(shù),為常量.從(17)式可以看出,當(dāng)?shù)缆飞宪囕v較少時,車輛的體積分數(shù)較小,第二項相比第一項可忽略,剩下的第一項與Phillips[30]和Helbing等[24]提出的交通壓力項相類似,表明在車流量密集度較小的情況下與傳統(tǒng)宏觀道路交通系統(tǒng)模型相同.傳統(tǒng)的宏觀道路交通系統(tǒng)模型是本文推導(dǎo)模型的一個特例.

τv為車輛系統(tǒng)等效黏性應(yīng)力張量

其中,μv和λv為車輛系統(tǒng)的等效剪切黏度和體黏度,表征不同車道的車輛之間的相互影響,μv和λv的取值將根據(jù)特定的交通問題由實測數(shù)據(jù)進行校驗比對得到;I為單位張量.

其中(?pvI+τv):?vv為由車輛系統(tǒng)內(nèi)相互作用產(chǎn)生的能量,具體公式均在前面列出.?3βvfθv為駕駛動力與車輛間的能量交換,βvf在3.3節(jié)中介紹.

可以看出,本文所建立的模型中涉及的車流密度為數(shù)密度,與車輛的真實密度等物理屬性無關(guān),僅與車輛的尺寸相關(guān),而顆粒動力學(xué)中將真實顆粒的密度忽略,僅考慮顆粒的數(shù)密度,同時將顆粒的尺寸增大到車輛尺寸(顆粒動力學(xué)對顆粒的尺寸無限定要求),那么車輛的運動完全可以由顆粒的運動來替代,兩者之間無本質(zhì)上的差別,所以這也是本文所建立模型的出發(fā)點.另外,本文所建立的模型中的大部分參數(shù)或者為每時間步可求得的參數(shù),或者為常數(shù),僅有考慮特殊交通問題的極少數(shù)的參量無法直接確定,我們采用實測數(shù)據(jù)校驗比對的方式進行確定,所以本文所建模型物理意義明確,理論基礎(chǔ)扎實,所有參量均可以確定求解,克服了傳統(tǒng)模型的不足.

該模型與傳統(tǒng)的宏觀道路交通模型存在的另一個不同點是關(guān)于維度的計算.本文模型既可以進行一維計算,也可以在二維情況下計算.考慮相鄰車道間車輛之間的相互影響作用,比擬為顆粒間的黏性力的作用.同時考慮相鄰車道間道路空間大小的影響,體現(xiàn)在相鄰車道內(nèi)假定車輛擁擠時,交通系統(tǒng)壓力增大,而假如本車道相對壓力小時,車輛就會變道而向本車道運動,緩解相鄰車道的壓力;相反,假如相鄰車道車輛較少,交通壓力則較小,本車道車輛就會向相鄰車道運動,減緩本車道的壓力,使得車道間壓力處于一個相對均衡狀態(tài),這與實際情況是較為符合的.同時,根據(jù)Zheng等[34]的分析,在多維情況下,各向異性假設(shè)不再滿足,可采用各向同性進行求解.因此,本文所做的假設(shè)合理.采用本文的多維流體系統(tǒng)模型,可以解決相鄰車道車輛變道的問題.另外,需要注意的問題是,本文的交通系統(tǒng)數(shù)密度在多車道復(fù)雜運動狀況下為面密度,單位為veh/km2,與傳統(tǒng)交通系統(tǒng)模型參數(shù)有所區(qū)別,同時,忽略車輛在橫向車道上的孔隙率,假定車輛在橫向占滿空間,僅考慮在車道方向上的車輛間隙.

2.2 基于理想駕駛速度的外部流體驅(qū)動力模型

在已知道路的分布狀況和限速情況后,在不考慮其他車輛及外界因素的影響下,駕駛員將控制車輛趨向和達到一個理想駕駛速度值.每條道路每個路段都具有自己的理想駕駛速度,尤其對于有紅綠燈、車道變換、拐彎、路障等特殊情況,道路上每一點的理想駕駛速度分布將根據(jù)道路的變化情況而發(fā)生改變.同樣地,對于管道中顆粒的氣力輸送過程而言,在已知管道的分布和初邊界條件情況下,管道中首先產(chǎn)生一個理想的氣體速度分布,顆粒在該氣動力的驅(qū)動下逐步達到一個穩(wěn)定的理想速度,這與道路交通系統(tǒng)具有相似性.那么,當(dāng)我們將車輛的行駛比擬為管道中運動的顆粒,實際道路中的氣體空間與管道中的氣體具有對應(yīng)關(guān)系,設(shè)想駕駛員根據(jù)道路的分布操控車輛的驅(qū)動力完全轉(zhuǎn)移給道路空間中的氣體,就如同車輛駕駛員完全脫離車輛,車輛的行駛完全依靠外部流體的驅(qū)動作用,當(dāng)車流量密度較大時,空間中流體體積分數(shù)減少,相應(yīng)的驅(qū)動力減少,當(dāng)車流量密度較小時,空間中流體體積分數(shù)較大,驅(qū)動力則相應(yīng)增加.而駕駛員根據(jù)周圍車輛的狀況操控車輛的驅(qū)動力則相應(yīng)地在車輛系統(tǒng)壓力中體現(xiàn)((17)式).這樣就避免了傳統(tǒng)交通流宏觀模型中平衡項的使用.

基于理想駕駛速度建立道路交通從流體動力系統(tǒng)模型如下:

其中,下標(biāo)f和v分別表示外部從流體和交通流,ρf和vf分別為等效從流體動力系統(tǒng)的密度和速度,P和τf為等效從流體動力系統(tǒng)的壓力和黏性項,Rfv為不同流體系統(tǒng)間的相互作用力.這里對于外部從流體的密度是該系統(tǒng)的一個關(guān)鍵參數(shù),直接決定了施加于主流體上的曳力作用,從而影響到車輛達到理想行駛速度狀態(tài)的時間.經(jīng)過分析可以發(fā)現(xiàn),從流體的密度與駕駛員操控車輛的性質(zhì)息息相關(guān),如駕駛員的年齡、身體狀況、性別等因素決定了駕駛員能操控車輛達到理想行駛速度的時間,也就是駕駛員對系統(tǒng)狀態(tài)的反應(yīng)時間,因此,可以將駕駛員對交通系統(tǒng)的影響與從流體動力系統(tǒng)的密度建立一一對應(yīng)關(guān)系,從而為交通系統(tǒng)多相擬流體的求解鋪平道路.

綜上2.1節(jié)和2.2節(jié),可以得出基于顆粒動力學(xué)的道路交通系統(tǒng)模型與基于理想駕駛速度的外部驅(qū)動力模型共同組成了道路交通系統(tǒng)的“雙流體系統(tǒng)”模型,不僅動力系統(tǒng)采用宏觀連續(xù)介質(zhì)力學(xué)求解,車輛系統(tǒng)同樣等效為宏觀連續(xù)的流體.

2.3 考慮非機動車輛的交通多相系統(tǒng)模型

在交通系統(tǒng)中,非機動車與機動車表現(xiàn)得如運動的兩種顆粒,當(dāng)兩者之間的距離小于理想的間距時,速度發(fā)生改變,避免兩者出現(xiàn)真正的碰撞.因此,可將非機動車輛等效為與機動車輛處于相同體系下的顆粒,同樣采用基于顆粒動力學(xué)的流體系統(tǒng)建模求解,但其在密度、速度、體積分數(shù)、尺寸分布、擬溫度等參量上存在差異,也即將非機動車輛等價為道路交通系統(tǒng)的多相流模型.

其中,knv為單位車道內(nèi)所容納的非機動車的數(shù)目,vnv表示非機動車系統(tǒng)的速度矢量,αnv為非機動車所占據(jù)空間的體積分數(shù),?Pnv為非機動車系統(tǒng)等效壓力梯度,τnv為非機動車系統(tǒng)等效黏性應(yīng)力張量,knvg為外部由于雨、雪等環(huán)境因素施加給非機動車系統(tǒng)的作用力,βnvf為非機動車操控的等效曳力系數(shù),θnv為非機動車脈動能,Pnv表示非機動車系統(tǒng)的等效壓力,I為單位張量矩陣.

2.4 基于管道理論的道路交通系統(tǒng)邊界模型

將車輛的行駛比擬為顆粒的運動,車輛受限于車道的限制,只能保持在已知道路上行駛,對于顆粒運動而言,就如同受限于邊界而在管道中運動一樣.因此,基于管道流動理論,建立道路交通系統(tǒng)中車輛道路行駛的邊界模型.

圖1展示了建立道路交通系統(tǒng)邊界模型的過程.假定在已知道路上,當(dāng)車道變窄或拐彎等情況時,在最外層行駛的車輛繼續(xù)按原方向和速度行駛,車輛與外車道邊緣距離將逐漸減小至最小車距,此時車輛將在駕駛員的操作下改變速度和方向來控制車輛不與邊界發(fā)生碰撞.同時,相應(yīng)的內(nèi)側(cè)車輛也將根據(jù)外側(cè)車道車輛的行駛狀況改變自身速度和方向,該過程可等效為顆粒在管道中運動,當(dāng)管道直徑發(fā)生改變時,顆粒將與管道壁面發(fā)生碰撞,受到壁面對顆粒施加的邊界力的作用,從而改變自身運動的速度和方向,保持在管道中的運動.相應(yīng)地,車輛與車道外側(cè)間距進入最小車距范圍時即表征顆粒與壁面之間發(fā)生了碰撞作用,因此,根據(jù)該假設(shè),可建立道路交通系統(tǒng)的邊界模型.

圖1 基于管道理論的道路交通系統(tǒng)邊界模型Fig.1.Boundary model of road traffic system based on pipeline theory.

施加的邊界作用力公式為[35]

當(dāng)車輛與邊界距離|rbv|小于最小剎車距離hb時,施加邊界作用力fbv,ε為罰參數(shù).

3 復(fù)雜道路交通的光滑離散顆粒流體動力學(xué)-有限體積(SDPH-FVM)耦合數(shù)值仿真方法

在建立道路交通系統(tǒng)擬流體模型的基礎(chǔ)上,對系統(tǒng)進行仿真分析,需進一步引入仿真方法對模型求解.傳統(tǒng)的理論解析法如分離變量法、傅里葉變換法、譜方法以及蒙特卡羅方法等僅能得到特定參量隨影響因素的變換關(guān)系,無法直觀地掌握交通系統(tǒng)中車輛的運動信息.現(xiàn)有的求解雙流體模型的數(shù)值模擬方法為基于歐拉網(wǎng)格的方法,不僅連續(xù)相采用網(wǎng)格方法求解,顆粒相的信息同樣在固定的網(wǎng)格節(jié)點上進行更新,僅能在每一時刻觀察車道固定位置處車輛數(shù)密度的變化,無法得到車輛實時的運動狀況,更無法跟蹤每一車輛的運動軌跡,這樣對于道路交通系統(tǒng)中存在的一些典型狀況,如幽靈式交通、交通擁堵、混合交通等均無法詳細追蹤事故的原因.

車輛作為一種隨機運動的離散物質(zhì),具有完全拉格朗日粒子的特性.要對其進行追蹤模擬,拉格朗日粒子方法最為合適,不僅可以大幅減小計算量,同時可以自然追蹤車輛的運動軌跡,較易加入車輛的拋錨、碰撞、時走時停等單車輛運動模型,適合求解考慮道路交通系統(tǒng)復(fù)雜因素影響的宏觀交通流模型.

3.1 車輛系統(tǒng)求解的SDPH方法

SDPH[36?41]是在傳統(tǒng)SPH(光滑粒子流體動力學(xué))方法的基礎(chǔ)上進行改進的數(shù)值模擬方法,它主要是將SPH方法應(yīng)用于離散物質(zhì)系統(tǒng)的宏觀擬流體模型求解,已成功應(yīng)用于模擬噴動流化床[37]、風(fēng)沙運動[38]、氣-粒傳熱[39]、空氣燃料炸彈[40]、發(fā)動機噴管等[41]氣體顆粒兩相流動問題的數(shù)值模擬.采用SDPH方法對道路交通系統(tǒng)模型進行求解,一方面可以利用SDPH的拉格朗日特性,追蹤系統(tǒng)內(nèi)物質(zhì)的詳細運動信息,俘獲車輛的運動行為;另一方面,每個SDPH粒子可以表征一系列具有一定尺寸分布的車輛,可大幅減小計算量,實現(xiàn)對大規(guī)模交通系統(tǒng)的有效求解.

由于傳統(tǒng)SPH主要用于離散連續(xù)性物質(zhì),所以SDPH方法將SPH進行了改進,這里針對交通問題再進行適當(dāng)調(diào)整,建立可求解交通流的改進SPH方法.SDPH粒子不僅承載車輛的數(shù)量、數(shù)密度、速度、位置、交通壓力等參量,而且承載車輛的尺寸分布形態(tài)、體積分數(shù)以及由顆粒動力學(xué)引入的擬溫度等車輛屬性,將其稱為“SDPH車輛”.本文采用實際車輛的尺寸均值、方差和車輛的數(shù)量表征車輛的尺寸分布情況.如2.1節(jié),引入車輛的擬溫度表征車輛運動的速度脈動(如Helbing的速度方差[24]).車輛擬溫度θp如(8)式定義,其同樣作為一個參量值賦予“SDPH車輛”上.車輛的擬溫度守恒方程為(20)式.

“SDPH車輛”與實際車輛之間屬性的對應(yīng)關(guān)系為:對于交通車輛系統(tǒng)擬流體,車輛的有效數(shù)密度表示為

假設(shè)一定區(qū)域中存在有n輛車,車輛的平均體積為Vv,空間總體積為V0,那么有

基于建立的“SDPH車輛”與真實車輛間的對應(yīng)關(guān)系,對顆粒動力學(xué)守恒方程(15),(16)和(20)采用SPH方法進行離散,得到用于SPH求解的控制方程組:

式中應(yīng)力σ=?pvI+τv,如第2節(jié)所述.為壁面力,如2.4節(jié).車輛體積分數(shù)、連續(xù)相壓力梯度以及曳力等作用來源于驅(qū)動力系統(tǒng).

3.2 外部流體動力系統(tǒng)求解的FVM方法

對于FVM,在空間離散的四邊形網(wǎng)格上構(gòu)造控制體.外部流體動力系統(tǒng)模型守恒方程(21)和(22)在控制體上構(gòu)造的動力學(xué)平衡方程如下:

其中I為單位矩陣,V為流體所占據(jù)體積,S為占據(jù)體積邊界的面積,n為垂直于面S的單位法向量.方程(30)和(31)計算的解在交錯網(wǎng)格上獲得.壓力、密度、黏度、擬溫度及其他車輛屬性都定義在網(wǎng)格中心處,速度的水平分量定義于垂直網(wǎng)格面的中心,速度的垂直分量則定義于水平網(wǎng)格面的中心位置.

方程(32)和(33)的有限體積離散式如下:

3.3 SDPH-FVM耦合框架及算法流程

基于雙流體模型,可以建立SDPH與FVM間耦合的橋梁,通過曳力、壓力和能量等源項作用,以及體積分數(shù)值的交換,實現(xiàn)算法之間的耦合,具體框架和流程見文獻[36—41],不再贅述.這里重點闡述相間曳力作用.

作用于單車輛上的曳力可由動量交換系數(shù)β和兩相間滑移速度vf?vv表示:

大量研究表明,車輛系統(tǒng)的體積分數(shù)對于決定車輛群運動的曳力來說具有重要的影響.動量交換系數(shù)βfv采用Schiller和Naumann提出的公式[42]

lv為車輛的平均尺寸,ρf為外部流體動力系統(tǒng)的等效密度,CD為可調(diào)整參數(shù),通常設(shè)為0.5.

4 算例驗證

4.1 車輛匯入對道路交通影響的仿真分析

不論是在高速公路還是城市快速道路上,均有車輛通過匝道駛?cè)胫鞯赖臓顩r,如果說交叉口是間斷流交通設(shè)施的擁堵節(jié)點,那么匝道駛?cè)朦c則是高速路或快速路等連續(xù)流交通設(shè)施的咽喉,是導(dǎo)致主線交通紊亂、造成道路擁堵的直接誘因.這種路段也通常稱為“瓶頸”路段,屬于道路交通系統(tǒng)的合流區(qū),是發(fā)生交通事故、造成車輛延誤的主要區(qū)域[43,44].

為獲得更多的實驗數(shù)據(jù),以便與仿真結(jié)果進行對比分析,這里選擇城市快速路入口匝道合流區(qū)車輛匯入作為研究對象,研究其在匯入過程中對交通運行特性和交通系統(tǒng)特性的影響過程,同時檢驗本文提出的新模型和方法的有效性.圖2顯示了快速路入口處合流區(qū)示意圖.可以看到,以相同方向上分開行駛的兩股車輛合并成一股車流繼續(xù)向前運動,車道包括主線車道、入口匝道和主線車道與匝道之間的的加速車道.加速車道的作用是為了提供空間使匝道車輛提高行駛速度,順暢地匯入主路交通而不發(fā)生車輛的碰撞,減少匯入的擾動.通過分析可以發(fā)現(xiàn),該兩股車流相匯的過程和管道中的兩股顆粒流相匯的過程相似,完全可以進行等價.

以西安市由建工路與東二環(huán)主干道路合流區(qū)為例,經(jīng)過數(shù)據(jù)采集統(tǒng)計,東二環(huán)主線運行速度均值為54 km/h,匝道車輛速度約為38 km/h,設(shè)定主路交通單車道流量密度為44 veh/km.雖然東二環(huán)主路為四車道,但是通過觀測可以發(fā)現(xiàn),合流區(qū)附近很長一段道路內(nèi)最左側(cè)車道和右側(cè)的三車道無任何影響,最左側(cè)車道上車輛非常穩(wěn)定,所以這里只考慮二環(huán)主路的單向三車道,車道總車流密度為22 kveh/km2.匝道交通單車道流量密度為62 veh/km,單向為兩車道,車道總密度為31 kveh/km2.車輛平均長度為4.3 m,初始主干道路車流量體積分數(shù)為0.4,匝道車流量體積分數(shù)為0.5,模型如圖3所示.在匯入處由于道路出現(xiàn)變化,駕駛員會根據(jù)道路的狀況改變駕駛方向和速度,因此,需增加外部的動力系統(tǒng)模型對車輛方向校正,再根據(jù)車輛間的間距情況進行速度的調(diào)整.

圖2 合流區(qū)示意圖Fig.2.Sketch map of con fluence area.

圖3 計算模型示意圖Fig.3.Sketch map of calculation model.

圖4為根據(jù)圖3所示的道路分布情況計算得到的外部流體動力系統(tǒng)的速度矢量隨主車道速度逐漸增加的分布情況.可以看出,車輛在由加速區(qū)行駛至主路區(qū)時,受到主路區(qū)道路的影響,速度方向迅速發(fā)生改變,和主路區(qū)有一個交叉調(diào)整區(qū)域,而后兩者合二為一.當(dāng)主車道速度和流量較小時,匝道車輛能順利進入主車道,速度大小基本保持不變;當(dāng)主車道速度逐漸增大,與匝道車輛速度相同時,主車道車輛經(jīng)過匝道口也需要調(diào)整自身方向,防止與匝道車輛相碰;而當(dāng)主車道速度增大到大于匝道車輛速度時,匝道車輛就需要改變自身行駛方向和提高自身速度以實現(xiàn)車輛的相互避讓,因此可以從圖4(c)中明顯看到在匝道口的下游位置速度有明顯提高.從一定程度上揭示了匝道向主道行駛的路況特性,駕駛員一般都會按照此種情況操作.在此基礎(chǔ)上,作為外部驅(qū)動力施加于車輛的行駛上,所得動力學(xué)結(jié)果如圖5所示.可以看出,車輛行駛除受外部驅(qū)動力作用之外,車輛之間的相互作用同樣發(fā)揮了重要作用.匝道車輛在合流區(qū)進入主車道,受左右車輛的影響,其僅能位于最右側(cè)車道行駛,隨著往前行駛,其根據(jù)左側(cè)車輛情況會選擇進入左側(cè)車道,車輛在道路下游區(qū)域分布逐漸均勻.圖6為計算得到的車流量密度隨時間的分布云圖,可以看出,匝道車道較窄,車流量密度較大,其進入主車道后會在下游位置產(chǎn)生一個高密度區(qū)域,隨著時間的推移,該高密度區(qū)域會向上游傳播,影響后方進入該區(qū)域的車輛,造成上游區(qū)域密度也會有增長區(qū)域,隨著下游車輛的疏散,車流量密度在道路上的分布逐漸趨于穩(wěn)定.

為了驗證模型和算法計算的準(zhǔn)確性,我們實地拍攝了西安建工路與東二環(huán)主干道路合流區(qū)車流量分布情況,圖7為所拍攝到的一段時間內(nèi)車輛在合流區(qū)交匯的狀況.通過跟蹤圖片上編號為1,2,3的三輛車的運動,可以看到車輛的運動軌跡與圖5計算得到的車輛的軌跡非常符合,匝道車輛進入主道后會逐漸向內(nèi)側(cè)兩車道行駛,造成內(nèi)側(cè)車流量密度增大.同時,合流區(qū)車輛的混合狀況符合也較好,通過對一段時間內(nèi)合流區(qū)車流量的統(tǒng)計平均,得到合流區(qū)的車流量密度平均為43.6 kveh/km2,該實測值與數(shù)值模擬結(jié)果誤差小于6%,表明采用新的模型和方法不僅可以得到車輛在空間中的實時運動狀態(tài),同時車輛數(shù)密度等定量值也可以很好地俘獲.

圖4 (網(wǎng)刊彩色)動力系統(tǒng)速度矢量隨主車道速度增加而逐漸增加的情況 (a)主車道速度為32 km/h;(b)主車道速度為54 km/h;(c)主車道速度為68 km/hFig.4.(color online)Speed vector of power system increases with the increase of main lane speed:(a)Main lane speed is 32 km/h;(b)main lane speed is 54 km/h;(c)main lane speed is 68 km/h.

圖5 車輛匯入主車道過程空間分布狀況 (a)0 s;(b)10 s;(c)20 s;(d)30 sFig.5.Spatial distribution of vehicles entering main lane:(a)0 s;(b)10 s;(c)20 s;(d)30 s.

圖6 (網(wǎng)刊彩色)車流量密度隨時間變化的空間分布狀況 (a)10 s;(b)20 s;(c)30 s;(d)40 sFig.6.(color online)Spatial distribution of vehicle flow density over time:(a)10 s;(b)20 s;(c)30 s;(d)40 s.

圖7 (網(wǎng)刊彩色)合流區(qū)實測車輛行駛過程Fig.7.(color online)The process of vehicle running observed in the merging area.

4.2 機動車-非機動車混合對道路交通影響的仿真分析

我國城市交通系統(tǒng)是由機動車、非機動車和行人構(gòu)成的混合交通,不同的交通工具間駕駛行為和工具性能差異較大,混合行駛于道路上會出現(xiàn)相互之間的干擾,甚至引發(fā)交通事故.我國交通事故存在的典型特征為交通弱勢群體占事故傷亡人數(shù)的75%以上.非機動車騎行者由于缺乏車艙的保護,在交通中最易受到傷害.因此,非機動車交通流動特性及其對車輛交通系統(tǒng)的影響研究,對于城市交通系統(tǒng)的管理、行車安全的保障、指導(dǎo)道路安全措施的建設(shè)將具有十分重要的意義[45?48].

這里提到的非機動車主要指自行車和電動自行車.機動車-非機動車混合道路交通問題主要發(fā)生在機動車道與非機動車道劃線分割路段,非機動車越線占用機動車道行駛,造成機動車道通行能力下降,非機動車和機動車混合行駛,互相干擾,產(chǎn)生不同程度的交通沖突,影響非機動車駕駛員的安全,分析產(chǎn)生這種現(xiàn)象的原因主要有機動車道負荷小、非機動車道負荷高、公交站點設(shè)置問題以及路邊停車情況等.這里針對機動車道負荷小、非機動車道負荷高的常見狀況進行數(shù)值模擬研究.

圖8 非機動車混合流模型示意圖Fig.8.Sketch map of mixed flow composed of motorized and non-motorized vehicles.

計算模型如圖8所示,模型共有三條車道,主車道基本為機動車運行,非機動車道基本為非機動車運行,而中間的車道為機動車-非機動車混合車道,由于該車道車輛較少,而旁邊的非機動車道非機動車較多,造成非機動車向旁邊車道移動緩解的狀況,這和交通系統(tǒng)的壓力分布造成車輛的行駛趨勢,完全相類似.車輛主車道的運行速度為70 km/h,密度為30 kveh/km2,非機動車道的運行速度為20 km/h,初始密度為65 kveh/km2,機非混合車道初始密度為1 kveh/km2.

圖9為計算得到的車輛和非機動車由各自車道運行到混合車道的過程.初始時刻機動車主要在最左側(cè)車道行駛,車流量最大,中間車道機動車數(shù)量相比較少,無非機動車混入,最右側(cè)為非機動車道;中間時刻,非機動車輛在中間車道負壓的牽引下,逐漸向中間車道運動,速度方向指向中間車道;最終非機動車基本占滿中間機動車道,使兩個車道的交通壓力均衡則達到了穩(wěn)定狀態(tài),所以說交通系統(tǒng)的壓力分布決定了機動車道非機動的混入情況,同時非機動車的混合,降低了機動車道車輛的行駛速度,限制了主車道上車輛的自適應(yīng)的運動.

圖9 車輛和非機動車由各自車道運行到混合運行的過程(a)0時刻;(b)中間轉(zhuǎn)換時刻;(c)最終穩(wěn)定時刻Fig.9.Motorized and non-motorized vehicles run from each lane to the mixed lane:(a)Time zero;(b)intermediate switching time;(c) final stability time.

圖10 (網(wǎng)刊彩色)三條車道上機動車、非機動車車輛的速度隨時間的變化Fig.10.(color online)Velocity curves of motorized and non-motorized vehicles over time in the three lanes.

圖10為車道下游1.0 km處計算得到的三條不同車道上機動車速度和非機動車速度隨時間的變化關(guān)系曲線,圖11為相應(yīng)的密度隨時間變化曲線.可以看出,機動車主車道上車速受非機動車混入影響較小,基本處于相同狀況下運行,車流密度也基本處于恒定值.非機動車道上由于向混合車道上分流出了部分非機動車,所以非機動車流密度有降低趨勢,而混合車道上機動車的車流密度基本保持不變,非機動車則呈現(xiàn)增大的趨勢,到一定程度時基本保持不變,機動車速度降低幅度較大,而非機動車速度有一定程度的增加.由于實際城市道路交通中時刻處于混合狀態(tài),所以難以獲得動態(tài)變化過程與本算例進行對比,所以對機動車-非機動車混合車道的均值速度和車流密度進行測定,統(tǒng)計平均后得到不同車道的車輛均值速度分別為:68 km/h(機動車主車道速度),33 km/h(機動車-非機動車混合車道平均速度),21 km/h(非機動車道平均速度);不同車道的車流密度分別為:31.5 kveh/km2(機動車主車道車輛數(shù)密度),37.5 kveh/km2(機非混合車道總流量密度),43 veh/km2(非機動車道總流量密度),仿真結(jié)果與實測值相比誤差在6%以內(nèi),驗證了本文模型和方法在求解此類道路交通問題中可行.同時,分析誤差的原因可能在于實測得到的車流量密度與道路不同時段有關(guān),如上下班高峰車流量密度較大,相反平時車流量密度相對較小.

圖11 (網(wǎng)刊彩色)三條車道上機、非車輛的密度隨時間的變化Fig.11.(color online)Density curves of motorized and non-motorized vehicles over time in the three lanes.

5 結(jié) 論

針對傳統(tǒng)交通流模型在描述交通系統(tǒng)問題時存在的不足,本文從顆粒動力學(xué)角度出發(fā),經(jīng)過建立交通系統(tǒng)中的因素與顆粒流體系統(tǒng)中的因素的一一對應(yīng)關(guān)系,提出了新的道路交通擬流體模型,并引入新型無網(wǎng)格粒子法與網(wǎng)格法相耦合的算法,建立了道路交通模型求解的數(shù)值仿真方法,選取了道路交通問題中的兩個典型過程進行了數(shù)值模擬,所得結(jié)論如下.

1)車輛間相互作用與顆粒間的碰撞作用存在相似性,基于該理論推導(dǎo)得到的新的道路交通系統(tǒng)模型中的連續(xù)性方程與LWR模型完全一致,說明了采用顆粒動力學(xué)理論同樣可以建立起微觀模型與宏觀模型間的聯(lián)系,同時驗證了采用該理論推導(dǎo)宏觀道路交通系統(tǒng)模型方程的可行性.

2)從駕駛員根據(jù)已知道路狀況對車輛的操控行為角度出發(fā),提出了道路的理想駕駛速度的概念,基于該思想,將駕駛員的操控比擬為道路上存在的外部流體連續(xù)空間對車輛的驅(qū)動作用,同時建立描述駕駛員的自身狀態(tài)與流體密度之間的一一對應(yīng)關(guān)系,該模型等價于傳統(tǒng)宏觀模型中的弛豫項,從顆粒流體系統(tǒng)角度豐富了交通流理論的基礎(chǔ).

3)從車輛的微觀行為角度出發(fā),基于顆粒流體系統(tǒng)的思想,建立起交通系統(tǒng)擬流體模型,再引入粒子數(shù)值方法進行求解,既可以保持傳統(tǒng)微、中、宏觀模型在求解交通系統(tǒng)中存在的各自優(yōu)勢,又克服了他們自身的缺點,為交通系統(tǒng)問題的解決開辟了一條新的有效途徑.

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PACS:45.70.Vn,05.20.Dd,07.05.TpDOI:10.7498/aps.66.224501

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant Nos.U1501253,11502132)and the Research project of the Education Department of Shaanxi Province,China(Grant No.14JK1132).

?Corresponding author.E-mail:chen_fu_zhen@163.com

Physics model of fluid and particle simulation method for road traffic?

Cui Man1)Xue Hui-Feng1)2)Chen Fu-Zhen3)?Bu Fan-Biao1)

1)(School of Automation,Northwestern Polyechnical University,Xi’an 710072,China)2)(China Aerospace Academy of Systems Science and Engineering,Beijing 100048,China)3)(Dapartment of Power Enginneering,Rocket Engineering University,Xi’an 710025,China)

8 June 2017;revised manuscript

21 August 2017)

The rapid development of social economy speeds up urbanization,but also brings urban traffic congestion and urban traffic problems,such as frequent accidents,energy consumption and environmental pollution.Road traffic,as a part of the most important components in city traffic,is a complex system problem.To solve the difficulties in current city development and people’s production and living,and to promote the development of national economy and society greatly,we need to study the road traffic.In order to solve the problem of complex road traffic system in fluenced by many factors,a physics model of pseudo- fluid of macroscopic road traffic system is established in combination with the traditional Lighthill-Whitham-Richards physics model based on kinetic theory of granular flow.A coupling method of meshless particles with grid is adopted to solve the new traffic model,which is then applied to solving the typical traffic problems.In the new model,vehicles are likened to hard particles.Car-following is likened to collision interactions between particles.Driver driving a ff ected by known road conditions is likened to the driving force exerted by external fluid in two-phase system consisting of fluid and particle,and the in fluence of vehicles in di ff erent lanes is likened to viscous e ff ect between particles.Thus the pseudo- fluid model of road traffic system is deduced and established based on the kinetic theory of granular flow.Then,the traffic multiphase system model is established by adding pedestrians and other non-motorized vehicles to the particles with di ff erent attributes.The boundary model of road traffic system based on pipeline theory is established through comparing the boundary model of traffic lights,barricades and forbidden lane changes to wall boundary conditions.Therefore,a complex large traffic model with di ff erent initial and boundary conditions considering the complex factors of the system is established.The Smoothed discrete particle hydrodynamics(SDPH)is used to discretize the vehicle system model.A one-to-one correspondence between SDPH vehicles and real vehicles is established through adding the vehicle flow properties characterized by SDPH particles.Then the two- fluid model of road traffic system is solved by combining the finite volume method.Thus,a new simulation approach to solving the macroscopic model of traffic flow is established.Finally,the e ff ects of mixed flow composed of motorized and non-motorized vehicles and vehicles merging on the road traffic are simulated by employing the established model and method.The real-time distribution of the vehicle on the road is obtained,and the variation of the vehicle flow density with time is analyzed.The simulation results are in good agreement with the measured values,which shows that the new model and method are e ff ective and reliable,and they provide a new way of solving the road traffic problem.

road traffic problems,kinetic theory of granular flow,particle method,physics model of fluid

10.7498/aps.66.224501

?國家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號:U1501253,11502132)和陜西省教育廳科研項目(批準(zhǔn)號:14JK1132)資助的課題.

?通信作者.E-mail:chen_fu_zhen@163.com