李驛林、孫艷

（法雷奧照明湖北技術(shù)中心有限公司 430056)

汽車燈具零件控制尺寸公差計(jì)算方法研究

李驛林、孫艷

（法雷奧照明湖北技術(shù)中心有限公司 430056)

快速準(zhǔn)確計(jì)算車燈零件控制尺寸公差大小，用于控制裝配間隙、精密光學(xué)件裝配精度及結(jié)構(gòu)位置精度。本文基于齊次坐標(biāo)變化理論，先后闡述了坐標(biāo)轉(zhuǎn)換原理，建立了數(shù)學(xué)模型，分別對(duì)兩類車燈零件進(jìn)行了討論。通過坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)、平移等理論計(jì)算公式，結(jié)合計(jì)算機(jī)輔助，創(chuàng)建出公差計(jì)算工具，解決一般情況的產(chǎn)品控制點(diǎn)公差不易計(jì)算、定位優(yōu)劣無量化等難題。

尺寸公差；定位固定；坐標(biāo)變換；齊次變換矩陣；羅德里格旋轉(zhuǎn)矩陣

0 引言

近年來車燈造型越來越多，車燈內(nèi)部件結(jié)構(gòu)復(fù)雜，不規(guī)則性強(qiáng)。零件間的定位固定受空間約束，易發(fā)生首批模具件安裝間隙不均、固定不穩(wěn)定等現(xiàn)象。這樣容易造成浪費(fèi)，并影響開發(fā)周期。對(duì)此，必須在建模階段就準(zhǔn)確計(jì)算公差并分析。

1 理論分析

控制空間中產(chǎn)品6個(gè)自由度，需要6個(gè)點(diǎn)，即3～2～1原則。它們分別作為正交坐標(biāo)系中3個(gè)方向的定位基準(zhǔn)。零件的特征尺寸及公差由這基準(zhǔn)得出。車身采用統(tǒng)一的絕對(duì)坐標(biāo)系，但車燈零件間定位并非只按該坐標(biāo)系設(shè)計(jì)，往往為空間的一般正交坐標(biāo)系。在數(shù)模上雖然可以方便得到各點(diǎn)的絕對(duì)坐標(biāo)值，但無法方便得到定位坐標(biāo)系下的值，為計(jì)算公差造成困難。因此，需要通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換來解決該問題。以下公式為點(diǎn)在絕對(duì)坐標(biāo)下的坐標(biāo)值及矢量方向到任一坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換公式。

1.1 絕對(duì)坐標(biāo)系中矢量轉(zhuǎn)換為定位坐標(biāo)系矢量

設(shè)Φ為控制點(diǎn)在絕對(duì)坐標(biāo)系下的矢量值為（α β ?），第一基準(zhǔn)方向在絕對(duì)坐標(biāo)系下矢量為（α1 β1 ?1），第二基準(zhǔn)方向在絕對(duì)坐標(biāo)系下矢量為（α2 β2 ?2），第三基準(zhǔn)方向在絕對(duì)坐標(biāo)系下矢量為（α3 β3 ?3），則該控制點(diǎn)在定位坐標(biāo)系下的矢量則為（Φ·A Φ·B Φ·C），即（α·α1+ β·β1+?*?1 α·α2+β·β2+?·?2 α·α3+β·β3+? ·?3）。

2.2 絕對(duì)坐標(biāo)系下點(diǎn)坐標(biāo)值在定位坐標(biāo)系下的坐標(biāo)

設(shè)控制點(diǎn)在絕對(duì)坐標(biāo)系下坐標(biāo)為（x1 y1 z1），定位坐標(biāo)系坐標(biāo)原點(diǎn)在絕對(duì)坐標(biāo)系中坐標(biāo)為（x0 y0 z0）。定位坐標(biāo)系各坐標(biāo)軸在絕對(duì)坐標(biāo)系下矢量，第一基準(zhǔn)在絕對(duì)坐標(biāo)系下矢量為（α1 β1 ?1），第二基準(zhǔn)在絕對(duì)坐標(biāo)系下矢量為（α2 β2 ?2），第三基準(zhǔn)在絕對(duì)坐標(biāo)系下矢量為：（α3 β3 ?3）。

則該點(diǎn)在定位坐標(biāo)系中坐標(biāo)為：{[（x1-x0）·α1+（y1-y0）)·β1+（z1-z0）·?1] [（x1-x0）·α2+（y1-y0）·β2+（z1-z0）·?2] [（x1-x0）·α3+（y1-y0）·β3+（z1-z0）·?3]}。

1.3 求解定位坐標(biāo)系原點(diǎn)的絕對(duì)坐標(biāo)系值

(1)求解定位點(diǎn)C投影到直線B上的點(diǎn)坐標(biāo)

定位點(diǎn)C投影到直線B上的點(diǎn)坐標(biāo)如下。

x’=mt+xB

y’=nt+yB

z’=pt+zB

其中，m、n、p為直線B矢量方向，xB、yB、zB為直線B上一點(diǎn)（B1或B2），于是得出以下公式。

t=(xC-xB)m+(yC-yB)n+(zC-zB)p

其中，xC、yC、zC為定位基準(zhǔn)點(diǎn)C坐標(biāo)。

(2)求解上式中投影點(diǎn)投影到平面A上的點(diǎn)坐標(biāo)（即原點(diǎn)坐標(biāo)）

原點(diǎn)坐標(biāo)如下。

x=ot’+x’

y=pt’+y’

z=qt’+z’

其中，o、p、q為平面A矢量方向，x’、y’、z’結(jié)果見上文，于是得出以下公式。

t’=(xA-x’)o+(yA-y’)p+(zA-z’)q

xA、yA、zA為平面A上一點(diǎn)（A1，A2或A3）。

根據(jù)上述公式得出控制點(diǎn)在定位系統(tǒng)中坐標(biāo)，由公差手冊(cè)（如NFT-58000等）可得該控制點(diǎn)分別在A、B、C向上公差值。

對(duì)于所求矢量方向上公差值可由公式1得出。

如果零件設(shè)計(jì)的A1、A2、A3正好與方向?yàn)锳向的平面共面，B1、B2連線矢量方向正好和B向一致，則由上述公式即可求出結(jié)果。但常見情況為A1、A2、A3不共面，B1、B2在B向有落差。下面將討論該一般情形。

2 情形討論

車燈內(nèi)部零件較多，有柔性的內(nèi)、外過度盤等，也有剛性的支架、燈殼等，相應(yīng)的裝配定位設(shè)計(jì)以及公差控制也有很大不同。現(xiàn)分別討論這2種情況。

2.1 柔性零件

柔性零件一般為帶框或懸臂的過渡盤，容易變形，局部需過約束保證裝配質(zhì)量?？捎孟铝心Ｐ蛠砗喕㈥U述：將可變形產(chǎn)品裝到一理想的夾具上，假設(shè)6個(gè)定位點(diǎn)能一一匹配到夾具對(duì)應(yīng)點(diǎn)。由公式3分別求C到過B1與B2的B向直線上投影，再投影到法向?yàn)锳并過A1、A2、A3的平面上，共得到6個(gè)坐標(biāo)系統(tǒng)。最后求出控制點(diǎn)在這6個(gè)坐標(biāo)系中，矢量方向上的公差最小值即可。

2.2 剛性零件

剛性零件即車燈產(chǎn)品里的結(jié)構(gòu)件，如燈殼、支架和反光碗等。在做裝配設(shè)計(jì)時(shí)不允許過約束，如定位點(diǎn)存在落差，需留定位間隙，該間隙會(huì)影響定位精度。在該一般情形中，需考慮定位點(diǎn)之間的相互影響。

模型：剛性體放置于理想夾具上，首先零件上A1’點(diǎn)放置到理論平面A1上，然后依次放置A2’到A2，A’到A3。由于A1’、A2’、A3’在主定位A向上有高度差，導(dǎo)致零件的A1’、A2’和A3’與理論存在偏差，放置后的零件發(fā)生歪斜（圖1）。接著靠上基準(zhǔn)B，同樣B1’ B2’在B方向上有落差，這樣B1’B2’靠上理論基準(zhǔn)B后發(fā)生偏轉(zhuǎn)，最后靠上基準(zhǔn)C完成定位（圖2），所以控制點(diǎn)的位置公差不僅由產(chǎn)品尺寸引起，同時(shí)定位造成的偏轉(zhuǎn)也有較大影響[1]。

圖1 零件發(fā)生歪斜

圖2 完成定位

(1)第一定位裝配計(jì)算

第一定位裝配計(jì)算的目的，是通過一系列旋轉(zhuǎn)保證A1’、A2’、A3’分別落在A1、A2、A3這三個(gè)理論平面上。

①首先根據(jù)設(shè)計(jì)圖紙定義A向尺寸的主基準(zhǔn)，假設(shè)為A1’，則A2’、A3’在A方向上的極值可通過公差表（如：NFT-58000等）得到。

②計(jì)算在極值狀態(tài)下的A1’A2’、 A1’A3’和A2’A3’長度尺寸，然后再進(jìn)行剛性旋轉(zhuǎn)（這些長度尺寸不會(huì)改變，可作為約束）。第一次旋轉(zhuǎn)過A1’點(diǎn)并使A2’點(diǎn)落在平面A2上，為了方便計(jì)算，虛擬一個(gè)輔助本地坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)為A1’，x軸為A向，y軸為B向，根據(jù)右手原則定出Z軸。在這個(gè)虛擬坐標(biāo)系下，A1’坐標(biāo)為（0 0 0），A2’坐標(biāo)為（x2 y2 0）；A3’坐標(biāo)為（x3 y3 z3）。其中，x2和x3分別為A2’和A3’ 與A1’在A向的落差，該落差可求；y2可根據(jù)勾股定理求得；y3和z3都根據(jù)約束方程組可求。

根據(jù)前文提到的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換將A2’和A3’反求到絕對(duì)坐標(biāo)系中，根據(jù)矢量行列式公式可求得矢量A1’A2’變換的旋轉(zhuǎn)軸，再根據(jù)矢量叉乘定義求得旋轉(zhuǎn)角度值。再由羅德里格旋轉(zhuǎn)公式，可求旋轉(zhuǎn)矩陣matrix a。

③第二次旋轉(zhuǎn)，用上文中旋轉(zhuǎn)后的A1’A2’作為旋轉(zhuǎn)軸，將經(jīng)過一次旋轉(zhuǎn)后的A3’點(diǎn)轉(zhuǎn)到理論平面A3上。同理可求旋轉(zhuǎn)矩陣matrix b。

(2)第二及第三定位裝配計(jì)算

目的是通過一系列的平移和旋轉(zhuǎn)將B1’、B2’分別靠到法線方向?yàn)锽，并過B1、B2的平面上；將C’靠到法線方向?yàn)镃，并過C點(diǎn)的平面上。

①將經(jīng)過第一定位裝配變化后的B1’運(yùn)用平移矩陣matrix c移到理論平面B1上。

Δx、Δy、Δy為經(jīng)過第一定位裝配變化后的B1到平面B1的距離，在絕對(duì)坐標(biāo)系下的分量值。

②為方便計(jì)算再虛擬一個(gè)求解坐標(biāo)系，其中x軸為平面A法線，y軸為平面B法線，z軸為平面C法線?，F(xiàn)將三維坐標(biāo)系沿x軸壓縮為二維坐標(biāo)系，則B1B2矢量為（矢量B1B2到z的投影 矢量B1B2到y(tǒng)的投影）。經(jīng)過一系列變換后的B1’ B2’矢量為（矢量B1’B2’到z的投影 矢量B1’B2’到y(tǒng)的投影）。旋轉(zhuǎn)軸為x軸（即方向A），可求得旋轉(zhuǎn)角，進(jìn)而求得旋轉(zhuǎn)矩陣matrix d。

③經(jīng)過上述所有變化后的C’可運(yùn)用平移矩陣matrix e移到理論平面C上，則零件已在理想夾具上放置完畢。

(3)考慮B1’與B2’點(diǎn)之間的偏差

由于B1’和B2’在定位方向B上存在落差，則B1’,B2’靠上理論平面B1,B2 上時(shí)，同樣發(fā)生偏轉(zhuǎn)。

①設(shè)以B1’作為主定位，由公差表可以求出B2’的極限位置。

②第二步中在A平面上投影矢量B1’B2’已得。再求出考慮偏差后的矢量B1’B2’(可根據(jù)購股公式求出)。旋轉(zhuǎn)軸為A 向，根據(jù)向量點(diǎn)乘定義可以求出前后的旋轉(zhuǎn)角，進(jìn)而求出旋轉(zhuǎn)矩陣matrix f。將經(jīng)過一系列變化的c’點(diǎn)通過平移矩陣matrix g移到平面C上。

(4)求出變換矩陣

matrix[transfer]=matrix a·matrix b·matrix c·matrix d·matrix

e·matrix f·matrix g。

對(duì)于所有控制點(diǎn)偏轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)都可通過以下公式求得。

coordinator[after]=coordinator[before]·matrix[transfer]

再根據(jù)向量點(diǎn)乘定義，可以求出控制點(diǎn)在定義矢量方向上的偏差值tol[rotate]。對(duì)于控制點(diǎn)矢量方向上的公差，可分解為定位點(diǎn)偏差引起的旋轉(zhuǎn)影響加上自身零件尺寸影響兩部分。即可用以下公式表示。

tol[control]=tol[rotate]+tol[dimension]

3 結(jié)束語

上文只討論了一種情形，即A1、B1為主定位的情況。排列組合為6種（A2、A3或B2為主定位），考慮公差的正負(fù)，一共48個(gè)結(jié)果，只需給定相應(yīng)輸入條件就能得到公差值。所有結(jié)果可通過計(jì)算機(jī)得出。

[1]譚晶,趙振鐸,孫勝.非軸對(duì)稱車燈燈圈成形數(shù)值模擬研究[J].塑性工程學(xué),2001,(02):8-10.

U468.4文獻(xiàn)標(biāo)示碼：A

李驛林（1984—），男，碩士，中級(jí)工程師，研究方向?yàn)檐嚐艚Y(jié)構(gòu)。