李建麗,張蓬霞

（長治學(xué)院數(shù)學(xué)系，山西長治046011）

一類比率依賴型捕食系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

李建麗,張蓬霞

（長治學(xué)院數(shù)學(xué)系，山西長治046011）

研究了一類具有捕獲項(xiàng)的比率依賴型捕食系統(tǒng),討論了系統(tǒng)正平衡點(diǎn)的存在性和各個(gè)平衡點(diǎn)的性態(tài).它分析了非平凡正周期解的不存在性,構(gòu)造lyaounov函數(shù)證明了該模型的正平衡點(diǎn)是全局穩(wěn)定的結(jié)論,得到各個(gè)平衡點(diǎn)全局穩(wěn)定性,并且研究捕食系統(tǒng)在各個(gè)平衡點(diǎn)下的最優(yōu)收益,進(jìn)而確定最優(yōu)的捕獲策略。

比率依賴；穩(wěn)定性；最優(yōu)收獲；捕食模型

在捕獲過程中,種群資源捕獲不是恒定的,往往考慮因素較多,而比率型功能反應(yīng)函數(shù)[1-8]的捕食系統(tǒng)更接近現(xiàn)實(shí)情況,所以討論比率依賴的捕食系統(tǒng)更具實(shí)際意義。

將在此基礎(chǔ)下研究以下模型:

從生物學(xué)意義考慮,系統(tǒng)(1)滿足條件

1 平衡點(diǎn)

1.1 平衡點(diǎn)的存在性

將系統(tǒng)無量綱化得

易驗(yàn)證E*(x*,y*)為唯一正平衡點(diǎn)的條件為

或者

1.2 平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

證明系統(tǒng)的雅克比矩陣為

當(dāng)f＜d+q時(shí),若其特征多項(xiàng)式

求解得到特征值

此時(shí)該雅克比矩陣的行列式

它的跡

由捕食系統(tǒng)中方程知

(1)若c＜m(a-p),則對?ε∈(0,a-p),都存在T,使得當(dāng)c≤m(a-p),f＜(d+q),有則

(2)若c=m(a-p)時(shí),

綜上得,若c≤m(a-p),f＜(d+q),則模型的平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的。

2 非平凡正周期解分析

由系統(tǒng)有唯一的正平衡點(diǎn)E*(x*,y*)可得

在同等條件下,系統(tǒng)(3)不存在非平凡正周期解令

引理1若δ*=Tr(x*,y*)＜0，且c≤mf,則對于系統(tǒng)(3)在平衡點(diǎn)E*周圍的所有正周期解有Δ(Γ)＜0 。

引理2 若δ*=Tr(x*,y*)＜0，且c＞mf,則對于系統(tǒng)(3)在平衡點(diǎn)E*周圍的所有正周期解有Δ(Γ)＜0。

綜上,由引理1,2[3]可得到如下定理:

定理3若系統(tǒng)(2)的正平衡態(tài)是局部漸近穩(wěn)定的,則其沒有非平凡正周期解,也就是所有的正周期解都趨近于O(0,0)或者E*(x*,y*)。

證明由上述條件和引理1,2得到,系統(tǒng)(2)無非平凡正周期解,而是鞍點(diǎn)且不穩(wěn)定的,故系統(tǒng)(2)的所有的正周期解都趨近于O(0,0)或者E*(x*,y*)。

3 正平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性

定理4若系統(tǒng)(4)的唯一正平衡點(diǎn)E*(x*,y*)滿足下列條件

(2)上述函數(shù)h(u)滿足h′(u)＜0，且（u-u*)(h(u)-h(u*))≤ 0，

其中，

則E*(x*,y*)是全局穩(wěn)定的。

證明由

故正平衡點(diǎn)E*(x*,y*)的雅克比矩陣為

故正平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的。

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)，

V函數(shù)在區(qū)域正定，且具有無窮大性質(zhì),對V(u,y)的t求導(dǎo),得

在定理?xiàng)l件下系統(tǒng)(4)的唯一正平衡點(diǎn)E*(u*,y*)是全局漸近穩(wěn)定的。

4 最優(yōu)捕獲策略

設(shè)對捕食者和食餌的捕獲強(qiáng)度為p,q,設(shè)捕食與食餌兩種群的市場價(jià)格為p1,p2,若在生態(tài)系統(tǒng)下捕撈有意義,則必然要求每個(gè)平衡點(diǎn)的橫坐標(biāo)都大于或等于0[4],即滿足條件:

定理5系統(tǒng)(2)的三個(gè)平衡點(diǎn)滿足上述條件,捕獲能力有限,一定存在最優(yōu)捕獲策略。

證明 分別討論不同平衡點(diǎn)下的捕獲策略:

(1)對于平衡點(diǎn)O(0,0),Q=0,即捕獲策略不當(dāng)使兩種群滅絕,所以經(jīng)濟(jì)效益為0。

(3)對于平衡點(diǎn)E*(x*,y*),其中

其中A=cd-fc+fma+cq-fmp，B=f-d-q，

根據(jù)方程解出p,q的值,代入Q,即可得到最大收益。則捕獲策略可通過捕獲食餌,捕食者的經(jīng)濟(jì)效益,最大收益為Q。

定理證明了如何決策捕獲能力p,q,可獲得最大收益Q,分配p,q捕獲能力,可得到具體的收獲策略。

5 結(jié)語

文章討論了有捕獲項(xiàng)的比率依賴的捕食系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,通過對平衡點(diǎn)的研究,在不破壞生態(tài)環(huán)境下,得出什么情況對種群最大捕獲量可得到最優(yōu)收益,最終得到最優(yōu)捕獲策略。

[1]魯鐵軍.一類基于比率的捕食-食餌系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性分析[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué),2008,29(3):447-452.

[2]杜艷可,徐瑞,段立江.一類比率型捕食系統(tǒng)的定性分析[J].軍械工程學(xué)院學(xué)報(bào),2007,19(2):76-78.

[3]馬知恩.種群生態(tài)學(xué)的數(shù)學(xué)建模與研究[M].合肥:安徽教育出版社,1996.

[4]馬知恩,周義倉.常微分方程定性與穩(wěn)定性方法[M].北京:科學(xué)出版社,2001.

[5]王高雄.常微分方程[M].3版.北京:高等教育出版社,2006.

[6]黃建科.基于比率的三種群捕食模型的穩(wěn)定性[J].江西師范大學(xué)學(xué)報(bào),2007,11(6):588-590.

[7]張劍.一類比率型反應(yīng)捕食模型的穩(wěn)定性分析[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識,2011,41(10):198-204.

[8]堵秀鳳.具有密度制約項(xiàng)的捕食食餌系統(tǒng)的捕食優(yōu)化問題[J].高師理科學(xué)刊，2012,32(4):5-7.

〔責(zé)任編輯 高?！?/p>

Stability Analysis of a Ratio-Dependent Predator-Prey System

LI Jian-li，ZHANG Peng-xia
(Department of Mathematics,Changzhi University,Changzhi Shanxi,046011)

In recent years,some hot topics of ratio-dependent functional response predator-prey system are studied by people.In this paper,a ratio-dependent functional response predator-prey system include harvested item is researched.The existence of positive equilibrium point and properties of every equilibrium point are discussed.It proves condition that the model has no nontrivial positive periodic solution.By constructing Lyapunov function,the globally asymptotic stabilities of every equilibrium point are obtained.At the same time,the optimal harvested problems of every equilibrium point are studied,then it get the optimal harvest strategy of system.

ratio-dependent;stability;optimal revenue;predator-prey model

O212

A

1674-0874(2017)05-0012-03

2017-05-20

山西省高等學(xué)校大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練項(xiàng)目[2015429];長治學(xué)院院級科研項(xiàng)目[201514]

李建麗(1983-)，女，山西高平人，碩士，講師，研究方向:應(yīng)用數(shù)學(xué)。