吳 昳

(蘇州大學(xué)東吳商學(xué)院 江蘇 蘇州 215000)

基于波動(dòng)率的期權(quán)定價(jià)

吳 昳

(蘇州大學(xué)東吳商學(xué)院 江蘇 蘇州 215000)

2015 年2月9日，我國(guó)的證券市場(chǎng)上出現(xiàn)首個(gè)場(chǎng)內(nèi)期權(quán)——上證 50ETF 期權(quán)，它具有的避險(xiǎn)、做空以及杠桿性等許多特性，一上市便成為眾多投資者追逐的對(duì)象。在實(shí)證研究中，本文使用上證50ETF期權(quán)作為研究樣本，采用主要使用 GARCH系列模型來(lái)估計(jì)波動(dòng)率，并與傳統(tǒng)的期權(quán)定價(jià)模型相結(jié)合，同時(shí)和傳統(tǒng)BS公式方法下的理論價(jià)格以及期權(quán)的實(shí)際價(jià)格進(jìn)行對(duì)比，通過(guò)平均偏離度的分析，GARCH族模型提高了BS模型準(zhǔn)確性和有效性,因此拓展波動(dòng)率在期權(quán)定價(jià)中的推廣是合理的。

上證50ETF期權(quán)；GARCH模型；Black-Scholes模型

一、研究意義

2015年2月9日，中國(guó)證券市場(chǎng)首個(gè)股票期權(quán)產(chǎn)品——上證50ETF期權(quán)合約品種，經(jīng)中國(guó)證監(jiān)會(huì)批準(zhǔn)，在上海證券交易所揭牌上市，表明了我國(guó)境內(nèi)資本市場(chǎng)進(jìn)入了全新的期權(quán)時(shí)代。根據(jù)國(guó)外關(guān)于期權(quán)的經(jīng)驗(yàn)以及期權(quán)自身的特點(diǎn)可以看到，上證50ETF期權(quán)的推出，不僅提高了標(biāo)的產(chǎn)品的市場(chǎng)流動(dòng)性，而且對(duì)于投資者來(lái)說(shuō)，改善了ETF投資者結(jié)構(gòu)，豐富了投資者的風(fēng)險(xiǎn)管理工具，也為投資者提供了無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利的機(jī)會(huì)。因此，掌握期權(quán)定價(jià)的原理并將其運(yùn)用到實(shí)踐中去是至關(guān)重要的。

從理論角度，一個(gè)合理的期權(quán)定價(jià)方法，是有利于促進(jìn)期權(quán)市場(chǎng)的發(fā)展，從而完善金融市場(chǎng)的。傳統(tǒng)的BS公式中，波動(dòng)率是一個(gè)常數(shù)，進(jìn)行定價(jià)時(shí)難免會(huì)有偏差。本文通過(guò)GARCH族模型進(jìn)行波動(dòng)率的預(yù)測(cè)，得到的波動(dòng)率是隨時(shí)間發(fā)送變化的，在一定程度上能夠豐富期權(quán)定價(jià)理論。

從實(shí)務(wù)角度，本文通過(guò)動(dòng)態(tài)波動(dòng)率模型進(jìn)行相關(guān)實(shí)證分析，以期制定更為合理的期權(quán)定價(jià)，為投資者實(shí)現(xiàn)套期保值、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利等提供重要的指導(dǎo)意義。

二、期權(quán)定價(jià)影響因素及原理

1.影響因素

對(duì)于股票價(jià)格(S)和行權(quán)價(jià)格(X)，S變大時(shí)，看漲期權(quán)的價(jià)格會(huì)上升，而看跌期權(quán)的價(jià)格會(huì)下降；X變大時(shí)，看漲期權(quán)的價(jià)格會(huì)下降，而看跌期權(quán)的價(jià)格會(huì)上升。對(duì)于期權(quán)合約的到期期限(T)，假設(shè)其他因素都不變，T的值越大，期權(quán)的時(shí)間價(jià)值越大，該合約被執(zhí)行的可能性越大，所以期權(quán)的價(jià)格越大。對(duì)于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率(r)，從理論意義上講，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r變大，則風(fēng)險(xiǎn)中性條件中的期望回報(bào)率會(huì)變大；而在T時(shí)刻以r貼現(xiàn)的X的現(xiàn)值則會(huì)變小，所以在其他條件不變的情況下，當(dāng)r變大時(shí)，看漲期權(quán)的價(jià)格會(huì)上升，而看跌期權(quán)的價(jià)格會(huì)下降。對(duì)于標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)率(σ)，波動(dòng)率越大，無(wú)論是看漲還是看跌期權(quán)，其價(jià)格都會(huì)變大。

2.期權(quán)的定價(jià)原理

根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理，把期望值進(jìn)行貼現(xiàn)，其貼現(xiàn)率為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)率，所得到的貼現(xiàn)值就是期權(quán)(歐式看漲期權(quán))的價(jià)格c：

(1)

c=SN(d1)-Xe-r(T-t)N(d2)

(2)

(3)

(4)

其中，N(X)表示這個(gè)變量小于X的概率，也叫標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量的累計(jì)概率分布函數(shù)①，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的性質(zhì)，我們可以得到N(-X)=1-N(X)。

由于歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)之間存在平價(jià)關(guān)系，我們可以得到無(wú)收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)的定價(jià)公式：

p=Xe-r(T-t)N(-d2)-SN(-d1)

(5)

三、模型介紹

1.GARCH(1，1)，模型

大量的實(shí)證研究表明，在大多數(shù)情況下，ARCH效應(yīng)可被GARCH(1，1)模型消除，因此本文簡(jiǎn)化模型形式為：

(6)

2.TGARCH模型

TGARCH模型也叫門限GARCH模型，由Zakoian (1990) 和Glosten，Jafanathan，Runkle(1993)提出。該模型加入了門限值②：

(7)

上述方程當(dāng)中引入的虛擬變量dt-1，表示作用在均值方程上的擾動(dòng)。

3.EGARCH模型

EGARCH模型也叫指數(shù)(Exponential)GARCH模型，由Nelson，(1991)提出。條件方差方程為

(8)

四、實(shí)證分析

1.數(shù)據(jù)樣本的選擇及理由

由于本文的目的在于研究上市不久的上證50ETF期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題，因此本文分別選取了2015年12月、2016年3月以及2016年4月到期的并且交易量最大的期權(quán)，分別為50ETF購(gòu)12月2500(10000285)和50ETF沽12月2500(10000286)，50ETF購(gòu)3月2050(10000375)和50ETF沽2050(10000379)以及50ETF購(gòu)4月2150(10000579)和50ETF沽2150(10000584)。本文使用的統(tǒng)計(jì)軟件為EVIEWS8.0和Matlab2012b。

2.平穩(wěn)性檢驗(yàn)

為了研究上證50ETF收益率波動(dòng)的特征,本文選取從2012年11月2日到2016年4月8日的收益率數(shù)據(jù)，共834個(gè)樣本點(diǎn)。本文選取對(duì)數(shù)收益率來(lái)衡量上證50ETF波動(dòng)風(fēng)險(xiǎn):

(9)

經(jīng)實(shí)證檢驗(yàn)可知，t統(tǒng)計(jì)量的值為-25.56240，對(duì)應(yīng)的P值為0。在99%的置信水平下，拒絕原假設(shè)，則認(rèn)為上證50ETF的收益率序列不存在單位根，所以其對(duì)應(yīng)的收益率序列是平穩(wěn)的，因此，用GARCH模型進(jìn)行檢驗(yàn)是有效的。

3.正態(tài)性檢驗(yàn)

從實(shí)證結(jié)果來(lái)看，偏度的數(shù)值是個(gè)負(fù)數(shù)，表明該序列分布右偏；峰度為8.024320，大于3，表明分布的凸起程度大于正態(tài)分布，該收益率具有“尖峰厚尾”的特征；JB統(tǒng)計(jì)量的值較大，且其對(duì)應(yīng)的P值為0，也說(shuō)明該序列顯著異于正態(tài)分布，因此用GARCH族模型來(lái)估計(jì)收益率是合理的。

4.波動(dòng)率的估計(jì)

以第一期預(yù)測(cè)為例，首先采用GARCH(1,1)模型進(jìn)行估計(jì)，選用的歷史數(shù)據(jù)為2012.11.02-2015.11.02，得到方差方程為：

接下來(lái)對(duì)GARCH(1,1)模型的結(jié)果進(jìn)行ARCH LM檢驗(yàn)，此時(shí)的P值為0.1950，接受原假設(shè)，則可認(rèn)為該序列不存在ARCH效應(yīng)，說(shuō)明利用GARCH(1,1)模型消除了異方差性。

在TGARCH模型下，得到方差方程為：

因此，在TGARCH模型下，杠桿效應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)γ=0.006902說(shuō)明上證50ETF價(jià)格的波動(dòng)具有杠桿效應(yīng)。

在EGARCH模型下，通過(guò)EVIEWS操作的結(jié)果圖5-7。

得到方差方程為

在EGARCH模型中，項(xiàng)的估計(jì)值顯著的不為0，所以沖擊的影響也存在非對(duì)稱性。當(dāng)ut-1>0時(shí)，該信息沖擊條件方差的對(duì)數(shù)有一個(gè)0.177952倍的沖擊；當(dāng)ut-1<0時(shí)，該信息給條件方差的對(duì)數(shù)帶來(lái)的沖擊倍數(shù)為0.19044倍。

5.計(jì)算結(jié)果分析

為了更直觀并且定量地評(píng)價(jià)不同模型的定價(jià)效果，本文引入了一個(gè)新的概念——偏離度，以此作為檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷挠行缘囊罁?jù)。

偏離度ω=(實(shí)際市場(chǎng)價(jià)格-理論計(jì)算價(jià)格)/實(shí)際市場(chǎng)價(jià)格

計(jì)算結(jié)果如下表：

表5-1 各模型平均偏離度

從上表中，我們可以看出：(1)同實(shí)際的期權(quán)市場(chǎng)價(jià)格相比，傳統(tǒng)的BS期權(quán)定價(jià)模型存在較大偏差。(2)GARCH族模型的定價(jià)效果明顯比傳統(tǒng)的BS 模型好。(3)GARCH(1,1)、TGARCH、EGARCH模型的定價(jià)效果差距不大。(4)四個(gè)模型中，EGARCH模型的定價(jià)效果相對(duì)較好，說(shuō)明非對(duì)稱GARCH能更準(zhǔn)確的估計(jì)波動(dòng)率的大小。

五、結(jié)論

從期權(quán)定價(jià)的效果來(lái)看，四種模型模擬的價(jià)格趨勢(shì)與真實(shí)價(jià)格基本一致；由于收益率序列r存在時(shí)變性和非正態(tài)性，因此傳統(tǒng)的BS期權(quán)定價(jià)模型與期權(quán)的實(shí)際的市場(chǎng)價(jià)格存在偏差；GARCH族模型的定價(jià)效果明顯比傳統(tǒng)的BS 模型好；GARCH(1,1)、TGARCH、EGARCH模型的定價(jià)效果差距不大；四個(gè)模型中，EGARCH模型的定價(jià)效果相對(duì)較好，說(shuō)明波動(dòng)的非對(duì)稱效應(yīng)是存在的。

雖然本文研究了基于波動(dòng)率的期權(quán)定價(jià)，但由于客觀條件以及自身研究視野及研究水平有限有限，本文還存在諸多不足之處，標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格在波動(dòng)的同時(shí)一般都會(huì)有擴(kuò)散和跳躍行為，但本文為了簡(jiǎn)化起見(jiàn)，并沒(méi)有使用跳躍模型，有可能會(huì)導(dǎo)致期權(quán)的理論價(jià)格和實(shí)際的市場(chǎng)價(jià)格差距較大；實(shí)際上利率也不是一個(gè)固定不變的常數(shù)，而應(yīng)該是一個(gè)隨機(jī)波動(dòng)的參數(shù)，本文為了簡(jiǎn)化起見(jiàn)，假設(shè)利率固定不變，也有可能導(dǎo)致期權(quán)的理論價(jià)格和實(shí)際的市場(chǎng)價(jià)格之間存在偏差。

[1]王健,李超杰,何建敏.有交易成本的GARCH-擴(kuò)散期權(quán)定價(jià)模型[J].東南大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版， 2006,174-178。

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[7]焦凱.中國(guó)內(nèi)地權(quán)證的實(shí)證研究[D]: [博士學(xué)位論文].復(fù)旦大學(xué)，2007.

【注解】

①鄭振龍.版金融工程.期權(quán)定價(jià)模型,[M].高等教育出版社.2010

②基于GARCH模型的波動(dòng)率預(yù)測(cè)及應(yīng)用[J]工學(xué)院學(xué)報(bào).2011(6)

吳昳(1994.05-)，女，漢，江蘇蘇州人，在職研究生，蘇州大學(xué)東吳商學(xué)院，研究方向：國(guó)際金融。