曹建光，劉高輝

(西安理工大學(xué)，陜西 西安 710048)

LFM信號檢測和參數(shù)估計方法研究

曹建光，劉高輝

(西安理工大學(xué)，陜西 西安710048)

針對分解型分數(shù)階傅里葉變換(FrFT)快速算法與實際工程應(yīng)用脫節(jié)和降低LFM信號參數(shù)估計計算復(fù)雜度和精度的問題，在分析和研究分解型算法和LFM信號參數(shù)估計的基礎(chǔ)上，提出了一種基于RAT變換和分數(shù)階域二分法譜校正的LFM信號參數(shù)估計的方法，并在FrFT運算中采用量綱歸一化。仿真結(jié)果表明，本方法可以提高LFM信號參數(shù)估計的精度和有效降低計算復(fù)雜度，估計精度可以達到CRLB，從而證明了本方法的有效性。

分數(shù)階傅里葉變換；量綱歸一化因子；譜校正；參數(shù)估計

0 引言

傳統(tǒng)的傅里葉變換僅適合平穩(wěn)信號的研究，分數(shù)階傅里葉變換(FrFT)是一種新興的時頻分析工具，特別適合處理時頻耦合信等非平穩(wěn)信號。LFM信號已經(jīng)被廣泛地應(yīng)用在電子信息對抗、雷達等多個領(lǐng)域中，對線性調(diào)頻信號檢測和參數(shù)估計的研究具有重要的理論和應(yīng)用價值。

許多研究者對LFM信號參數(shù)估計的研究[1-2]都是對離散數(shù)據(jù)直接用分解型快速算法[3]做FrFT，忽略了對離散數(shù)據(jù)做FrFT數(shù)值計算之前做量綱歸一化處理，導(dǎo)致估計值總與理論值有誤差。本文采用量綱歸一化的分解型快速算法，使得分解型FrFT快速算法能夠應(yīng)用在實際工程中。

在對LFM信號參數(shù)進行估計時，文獻[4]提出了基于擬牛頓迭代法的兩級搜索算法，較好地解決了估計的精度問題，但是該算法是一種迭代逼近算法，運算量偏大且初始值和搜索步長對算法性能的影響比較大。本文提出利用RAT變換[2]首先估計出LFM的調(diào)頻率，然后利用二分法估計出信號的中心頻率，并對搜索得到的峰值點利用譜校正技術(shù)[5-6]進行校正，校正得到LFM信號的峰值點，進一步提高LFM信號參數(shù)估計的精度，這在精度要求高的場合顯得具有重要的價值。

1 FrFT及分解型快速離散算法

時域信號x(t)的FrFT[7]定義為：

(1)

其中p稱為FrFT的階數(shù)；Kp(u,t)稱為FrFT的核函數(shù)，其定義為：

(2)

其中，α=pπ/2為FrFT軸與時間軸的夾角。分數(shù)階傅里葉逆變換的表達式為：

(3)

式(3)說明，信號x(t)可被分解為u域上一組正交LFM基的線性組合，分解型FrFT快速離散算法具有計算速度快、計算精度高的優(yōu)點，故得到了非常廣泛的應(yīng)用。

2 LFM信號檢測和參數(shù)估計

2.1離散譜校正技術(shù)原理

離散譜校正技術(shù)[5-6]是為實現(xiàn)信號參數(shù)精確估計而提出來的，此種校正方法的原理是：為了估計信號的頻率，對離散化序列x(n)做 DFT，得到序列的離散化頻譜模值函數(shù)如圖1所示。

圖1 對諧波信號進行加窗截斷頻率校正

由圖1可知，當(dāng)信號頻譜的真實譜峰位置不是準(zhǔn)譜線間隔的整數(shù)倍情況時，對信號的頻率估計會產(chǎn)生誤差：

(4)

文獻[6]證明，對真實的信號譜峰位置可以結(jié)合離散頻譜的能量重心原理進行校正恢復(fù)，從而得到所估計信號

圖2 分數(shù)域譜峰值在p軸和u軸上的投影與s的關(guān)系

的頻率大?。?/p>

(5)

實際應(yīng)用中，在頻譜能量比較集中的情況下，可以用主瓣內(nèi)功率譜值較大的幾條譜線做近似計算，式(6)便是能量重心法頻率校正原理:

(6)

2.2對分解型算法量綱歸一化

2.2.1量綱歸一化方法

為使分解型FrFT快速算法應(yīng)用在實際工程中，對實際的離散信號必須進行量綱歸一化處理[10-11]，引入具有時間量綱的尺度因子s，并定義新的尺度化坐標(biāo)：

x=t/s,υ=fs

(7)

對離散數(shù)據(jù)通過尺度變換進行歸一化，關(guān)鍵是要選擇合適的時寬tb、寬fb、尺度因子s以及歸一化寬度xb，信號的時寬比較容易確定，直接取為觀測時間t0，信號帶寬fb的選取要能夠?qū)⑿盘柕娜磕芰堪谄渲?。將帶寬直接取為采樣頻率即fb=fs，故可以得到尺度因子s和歸一化寬度xb：

s=(tb/fb)1/2=(t0/fs)1/2

(8)

xb=(tbfb)1/2=(t0fs)1/2

(9)

對離散數(shù)據(jù)按式(7)作尺度變換，則采樣間隔變?yōu)椋?/p>

(10)

原來的時域區(qū)間[-tb/2,tb/2],經(jīng)尺度變換后變?yōu)閇-xb/2,xb/2]。

2.2.2量綱歸一化因子的最優(yōu)化選取

任意兩個線性調(diào)頻信號xr和xl的分數(shù)域譜峰值在p軸和u軸上的投影[10]為：

Rp=-arccot(-μlt0/fs)-arccot(-μrt0/fs)/(π/2)

(11)

(12)

取兩個線性調(diào)頻信號xr和xl，xr的高頻率μr=12 Hz,中心頻率fr=20 Hz，振幅為2，初相位為0；xl的調(diào)頻率μl=10 Hz,中心頻率fl=30 Hz,振幅為2，初相位為0。仿真得到Rp和Ru隨量綱歸一化因子s2的變化曲線如圖2所示。

從圖2可以看出LFM信號的譜峰值值與量綱歸一化因子s有關(guān)系，適當(dāng)選取s可以使得兩個信號的譜峰值增大，這里選取對Rp和Ru取導(dǎo)數(shù)求得的極大值所對應(yīng)的量綱歸一化因子s的平均值作為最優(yōu)的量綱歸一化因子。

2.3二分法原理

二分法[12]就是先用DFrFT進行分數(shù)域譜峰值初步的搜索，然后對信號在分數(shù)域譜峰值二測通過用二分法進行進一步的精確譜峰值搜索。

(1)初步搜索：對所得到的N個離散采樣點數(shù)據(jù)，在分數(shù)域內(nèi)計算N點DFrFT，計算中可用分解型FrFT快速算法實現(xiàn)對連續(xù)譜等間隔抽樣，搜索LFM信號在最佳階次下的DFrFT的譜峰值，從而可以實現(xiàn)LFM信號分數(shù)域譜峰值所對應(yīng)的u值初步搜索。

圖3 LFM信號時域與分數(shù)域圖像

(2)精確搜索：對初步搜索得到的信號的分數(shù)域譜峰值的最大值點與左右近鄰兩點做比較，如果此分數(shù)域譜峰值點在最大點與第二大點之間，則把這個值作為中間點，計算此點的DFrFT。比如m點是LFM信號的分數(shù)域譜峰值點，m-1點為譜峰值點相鄰的第二大點，那么此分數(shù)域譜峰值點對應(yīng)的歸一化分數(shù)階域u為：

(13)

同時計算峰值點的DFrFT。然后對此點與剛才的左右兩點的LFM信號幅度譜做比較，判斷真實譜峰值在最大點與第二大點之間，再取其中間點，計算此點的DFrFT，就這樣通過反復(fù)地計算和比較，通過一次比較計算，搜索得到的信號譜峰值點精度就會增大2倍。

2.4利用RAT變換和分數(shù)域二分法譜校正的LFM信號參數(shù)估計

2.4.1利用RAT并結(jié)合譜校正技術(shù)對LFM信號調(diào)頻率估計

利用RAT對LFM信號的調(diào)頻率進行估計，基本原理為：假設(shè)LFM信號為：

x(t)=a0[exp[jπ(f0t+μ0t2+φ0)],-∞≤t≤+∞

(14)

其中a0、f0和μ0分別為線性調(diào)頻信號的幅值、中心頻率以及調(diào)頻率，得到LFM信號的模糊函數(shù)為：

(15)

對式(15)取模，然后對它做過原點直線ξ=kτ上的radon變換，取不同的直線斜率k，得：

(16)

由式(16)知：k=k0=μ0時，得目標(biāo)函數(shù)η(k)的最大值。通過此性質(zhì)，可對η(k)進行譜峰位置搜索得出LFM信號的調(diào)頻率估計值，用公式表示為：

(17)

2.4.2基于FrFT的LFM中心頻率、幅值和初相位估計原理

由圖3可以知道，LFM信號在時域分析比較困難，而在分數(shù)域LFM信號在最優(yōu)變換階次下則表現(xiàn)出很好的能量聚集特性。

(18)

(19)

(20)

2.4.3本文提出方法的具體實現(xiàn)步驟

本節(jié)將譜校正技術(shù)分別引入模糊域和分數(shù)階傅里葉域，實現(xiàn)信號參數(shù)的超分辨率估計，進而給出基于RAT和FRFT譜校正估計LFM方法的實現(xiàn)步驟如下：

(21)

(22)

由式(22)估計出信號的中心頻率：

(23)

根據(jù)上面估計出的調(diào)頻率和中心頻率，由式(24)可以得出LFM信號的幅值和初相位：

(24)

3 仿真實驗

設(shè)一單分量LFM信號，參數(shù)取為：a0=1.5，f0=100 Hz，μ0=10 Hz，φ0=π/3，觀測時間取T=6 s,噪聲取加性高斯白噪聲，信噪比SNR=[0～15 dB]，得LFM信號參數(shù)估計值的均方誤差(MSE)隨信噪比變化特性曲線如圖4所示。

4 結(jié)論

本文針對FrFT分解型快速算法與實際工程應(yīng)用脫節(jié)和降低LFM信號參數(shù)估計計算復(fù)雜度和精度的問題，提出了一種基于RAT變換和分數(shù)階域二分法譜校正的LFM信號參數(shù)估計的方法，把二維的搜索運算轉(zhuǎn)化為2次一維的搜索運算，并在FrFT運算中采用量綱歸一化和進行譜峰值的校正。分析和仿真結(jié)果表明，本文提出的基于RAT變換和分數(shù)階域二分法譜校正的LFM信號參數(shù)估計精度有所提高。

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曹建光(1988-)，通信作者，男，碩士研究生，主要研究方向：先進導(dǎo)航技術(shù)。E-mail:1279777638@qq.com。

劉高輝(1968-)，男，博士，副教授，碩士生導(dǎo)師，主要研究方向：信號與信息處理和通信集成電路設(shè)計。

The research on the detection and parameters estimation of LFM signal

Cao Jianguang, Liu Gaohui

(Xi’an University of Technology, Xi’an 710048, China)

Aiming at the problems that the decomposition FrFT fast algorithm is separated from the actual engineering application and how to reduce the computational complexity and accuracy of LFM signal parameter estimation, by analysing and researching decomposition algorithm and the estimation of LFM signal parameters , this paper presents a method based on RAT transform and using division combining spectral correction technique in fractional domain to realise estimation of LFM signal parameters,which uses the dimensional normalization during the calculation of FrFT.The simulation results show that this method can improve the precision of the estimation of LFM signal parameters and reduce the computational complexity, whose precision can reach CRLB.The simulation results prove that this method is effective.

fractional Fourier transform; dimensional normalization factor; spectrum correction;parameter estimation

TN911.23

A

10.19358/j.issn.1674- 7720.2017.22.026

曹建光，劉高輝.LFM信號檢測和參數(shù)估計方法研究J.微型機與應(yīng)用，2017,36(22)：99-102.

2017-03-31)