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        一類反應(yīng)擴散捕食模型高維空間中的古典解

        2017-11-30 07:53:28侯立春
        赤峰學院學報·自然科學版 2017年22期
        關(guān)鍵詞:模型

        侯立春

        (銅陵學院數(shù)學與計算機學院,安徽銅陵244000)

        一類反應(yīng)擴散捕食模型高維空間中的古典解

        侯立春

        (銅陵學院數(shù)學與計算機學院,安徽銅陵244000)

        文章討論的反應(yīng)擴散捕食模型帶有交錯擴散項,目前有關(guān)此類模型的已知結(jié)果非常少,文章主要應(yīng)用能量估計方法,并結(jié)合Shauder理論和Bootstrap技巧證明了模型高維空間中古典解的存在性.文章研究結(jié)果可視為具有交錯擴散項的Lotka-Volterra競爭模型相關(guān)工作在一定程度上的推廣.

        捕食-食餌模型;交錯擴散;古典解;能量估計

        1 引言與主要結(jié)論

        本文討論如下帶有交錯擴散項的捕食-食餌模型

        其中di,αii(i=1,2,3),α31,α32,均為正的常數(shù).d1,d2,d3分別為三個種群的擴散率.αii(i=1,2,3)為自擴散率,表明個體從種群的高密度區(qū)向低密度區(qū)運動.α31,α32為交錯擴散率,交錯擴散表示一個種群向另外一個種群流動.一般地,交錯擴散系數(shù)可以是正的、負的或者是零.正的交錯擴散項表示一個種群向另一個種群的低密度區(qū)擴散,負的交錯擴散項表示向另一個種群的高密度區(qū)擴散,交錯擴散為零表示種群是自包含的,更具體的生物意義可參見文獻[1].

        為簡單起見,在討論過程中始終假定系數(shù)a0,a1,a2,a3,k,b為正常數(shù),給定相關(guān)符號為

        本文的主要結(jié)果是關(guān)于模型在高維空間中古典解的存在性,結(jié)論敘述如下:

        定理1.1設(shè)初值u0,v0,w0≥0滿足齊次Neumann邊界條件,且u0,v0,w0∈C2+λ(Ωˉ)(λ∈(0,1)).如果空間Ω的維數(shù)n<6,則問題(1.1)有唯一非負古典解

        2 輔助引理及證明

        引理2.1設(shè)問題(1.1)解為(u1,u2,w).則存在正的常數(shù),使得

        證明對(1.1)應(yīng)用比較原理[2],易知.u1≥0,u2≥0,w≥0

        注意到f1,f2在R2上充分光滑,在R+2上擬單調(diào).設(shè)(0,0),(M,N)為輔助問題(2.2)的一對上、下解,其中M,N為正的常數(shù).直接計算不等式

        引理2.2設(shè)X=(d1+α11u1)u1,u∈L∞(QT)為下列方程的解

        其中d1,α11為正常數(shù),且0≤w≤L2(QT).則存在依賴于||u10||

        進一步地,

        證明由X=(d1+α11u1)u1,易知

        對(2.6)的右端使用H?lder不等式和Young不等式,對某個m1>0,我們有

        將(2.7)代入(2.6),得到

        其中m2依賴于方程的正則性估計([3,Lemma2.3]),得

        引理2.3(引理2.3可綜合文獻[4]中引理2.3及引理2.4得到)

        且存在β∈(0,1)和CT使得則存在依賴于n,Ω,p,β和CT的正常數(shù)M',使得

        引理2.4設(shè)Ω∈RN為有界區(qū)域且?Ω?C2,則對?u1∈

        其中C是依賴于q,n,Ω,T的正常數(shù).

        3 主要結(jié)論的證明

        下面分三步完成模型(1.1)非負古典解的存在性,即對定理1.1進行證明.

        證明第一步,關(guān)于w的L1-,L2-及Lq-估計.首先,對(1.1)的第三個方程在Ω上積分,得

        從而,

        進一步地,

        在[0,T]上對(2.8)積分,得

        其次,在(1.1)的第三個方程兩邊乘以qwq-1(q>1),并在Ω上積分,得

        上式在[0,T](t≤T)上積分,得

        于是由引理2.3和(2.16),得

        最后,不難看出q=2滿足(n2-4)q<n2+4n,(n=2,3,4,5).所以在(2.11)和(2.12)中取q=2,則存在正常數(shù)M4,使得

        第二步,關(guān)于w的L∞-范數(shù)估計.將模型(1.1)的第三個方程改寫為

        (1)||w||V2(QT)有界

        其中u2,μ1為正常數(shù),q,r滿足

        下面依次證明條件(1)-(3)成立.由(2.18),并注意到n≤5,易知條件(1)成立.只須選取u2=d3,則條件(2)成立.為了證明條件(3),將(1.1)的第一個方程改寫為

        由引理2.1,d1+2α11在QT上有界.對任意對(2.21),由H?lder連續(xù)性([5,T h10.1,p.204]),得

        返回到(2.5).由(2.1)和(2.17)知,C1+C2w∈Lq(QT),?q∈從而對(2.5),由拋物方程的正則性([13,T h9.1,p.341-342]),得

        第三歩,證明對于任意T>0,模型(1.1)的解(u1,u2,w)在QT上是古典的.因為(d1+2α11u1)f1對任意q>1,由(2.24)有所以,對?β*∈(0,1),從而由Lemma3.3([5],又通過直接計算X=(d1+α11u1)u1,得

        將(1.1)的第三個方程重寫為

        綜合上面證明的系列結(jié)果,易知(-b+u1-w)w∈L∞(QT)且u1,u2,w,▽u1,▽u2在QT上有界.于是由Theorem10.1([5],p.204)知,存在σ1∈(0,1),使得

        類似于引理2.2的證明,我們有▽u2∈L2(QT),即u2∈V2(QT),則對(1.1)的第二個方程應(yīng)用Theorem10.1,存在σ2∈(0,1),使得

        進而應(yīng)用Schauder估計([5],p.320-321),對σ*=min{σ2,λ}有由Sobolev嵌入定理,則同樣使用Schauder估計,可得

        其中f(x,t)=(d3+a31u1+a32u2+2a33w)(-b+u1-w)w+(a31u1t+a32u2t)w由(2.25)-(2.27),我們有(2.29)應(yīng)用Schauder估計,可得

        將(1.1)的第一個方程改寫為

        特別地,如果λ<α,則σ=λ,即定理2.1被證明.如果α<λ,由Sobolev嵌入定理知重復上述Bootstrap技巧和S hauder估計過程,定理2.1的證明被完成.

        〔1〕B.Dubey,B.Hussain,A predator-prey interaction model with self and cross-diffusion,Ecological Modelling.141(2001)67-76.

        〔2〕M.H.Protter,H.F.W einberger,Maximum Principles in Differentical Equations,2nd ed,Spring-Verlag,New York,1984.

        〔3〕Y.Lou,W.N i,Y.W u,On the global existence of a cross-diffusion system,Discreate and Continuous Dynamical Systems.4(1998)193-203.

        〔4〕Y.S.Choi,Roger Lui,Yoshio Yamada.Existence of Global Solutions for the Shigesada-Kawasaki-Teramoto Model with Strongly Coupeled Cross-diffusion,Discreate and Continuous Dynam ical Systems.10(2004)719-730.

        〔5〕O.A.Ladyzenskaja,V.A.Solonnikov,N.N.Uralceva,Linear and Quasilinear Partial Differential Equations of Parabolic Type,Translations of Mathematical Monographs,23,AMS,1968.

        〔6〕謝君輝,劉婷婷,等.一類具反應(yīng)擴散的捕食模型平衡態(tài)模式的定性分析[J].湖北民族學院學報(自然科學版),2015(03).

        O175.26

        A

        1673-260X(2017)11-0003-04

        2017-08-18

        安徽省高校自然科學研究重點項目(KJ2015A251);池州學院自然科學研究項目(2016ZR009)

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