趙鳳霞， 金少搏， 李紀峰

(鄭州大學 機械工程學院，河南 鄭州 450001)

考慮公差原則的三維公差分析方法研究

趙鳳霞， 金少搏， 李紀峰

(鄭州大學 機械工程學院，河南 鄭州 450001)

針對目前公差分析中普遍存在未考慮公差原則影響的現(xiàn)象，提出了一種考慮公差原則的三維公差建模與分析方法.基于SDT理論和模態(tài)區(qū)間方法分別建立了要素采用獨立原則、包容要求、最大實體要求、最小實體要求或可逆要求時的公差模型；利用空間矢量表示三維尺寸鏈，基于空間矢量環(huán)疊加原理推導出了三維公差分析時的封閉環(huán)尺寸及其變動計算模型；以采用不同公差原則的工程實例進行了三維公差建模和公差分析，給出了公差分析的步驟，驗證了本文所研究方法的有效性.

公差原則；公差分析；公差建模；SDT理論；模態(tài)區(qū)間方法

0 引言

裝配公差分析或稱裝配偏差分析,即通過已知零部件的尺寸分布和公差，考慮公差的累積和傳播，計算裝配體的尺寸公布和裝配公差的過程.公差分析為解決零件尺寸公差和幾何公差對裝配性能的影響提供了一個有效的評價工具.目前，國內(nèi)外學者在公差分析領域進行了諸多研究，并取得了豐碩的成果.Chase等[1]和Gao等[2]通過對隱式運動學方程進行線性化，提出了一種基于矢量環(huán)模型的直接線性化公差分析方法，該方法可以對二維和三維裝配體進行分析.Davidson等[3]基于單純形和面積坐標的概念提出了T-Map模型，一個T-Map模型將特征公差帶影射到一個多維參數(shù)空間區(qū)域，該模型只能處理簡單的公差鏈，目前仍處于發(fā)展階段.Desrochers等[4]將機器人運動學中的Jacobian模型和SDT模型相結合提出了Jacobian-Torsor模型.Li等[5]基于SDT(small displacement torsor)和誤差傳播理論進行了公差分析.彭和平等[6]基于矢量環(huán)裝配模型進行了考慮幾何公差的二維公差分析，吳常林等[7]和程彬彬等[8]利用雅可比旋量理論建立了裝配功能要求與零件公差之間的三維公差數(shù)學模型，采用蒙特卡洛方法實現(xiàn)了裝配體三維公差統(tǒng)計分析.張為民等[9]基于雅克比旋量法進行了實際工況的公差建模.吳兆強[10]研究了小位移旋量的公差建模方法，采用齊次坐標變換進行了三維公差分析.但是，目前的公差分析主要是研究尺寸公差分析，或只對裝配體中零件的尺寸公差和幾何公差逐個進行零件裝配分析，而不考慮尺寸公差和幾何公差之間相互關系及其對零件性能的影響.實際上，對同一個零件而言，尺寸公差與幾何公差是共存的，二者之間存在一定的內(nèi)在聯(lián)系，零件是否能裝配，并不單獨取決于尺寸公差或者幾何公差，而是取決于尺寸公差和幾何公差的綜合作用.因此，在公差分析時必須考慮公差原則對裝配性能的影響.

為了研究考慮公差原則的三維公差建模與分析方法，筆者首先基于SDT理論和模態(tài)區(qū)間方法建立不同公差原則下的三維公差SDT模型,然后基于空間矢量環(huán)疊加原理推導尺寸鏈的三維公差分析模型,最后結合工程實例給出公差分析的步驟.

1 公差分析中的公差建模

公差建模是公差分析的基礎.筆者基于SDT理論和模態(tài)區(qū)間方法建立不同公差原則下的公差模型.

1.1應用獨立原則時的公差模型

應用獨立原則時，尺寸公差和幾何公差是相互獨立的，二者相互無關.尺寸公差只控制要素實際尺寸的變動量，不控制幾何誤差；而幾何公差只控制被測要素的幾何誤差，與實際尺寸無關.因此公差分析時應分別計入尺寸公差和幾何公差，其中幾何公差的尺寸為0.

尺寸公差和幾何公差的特征由公差帶來表征，實際要素可以在公差帶內(nèi)旋轉或移動，這些旋轉和移動可用SDT模型描述.設ω是旋轉矢量；ε是平動矢量；u、v、w分別是沿X、Y、Z軸的平動量；Δα、Δβ、Δγ分別是沿X、Y、Z軸的旋轉量，那么，公差帶的SDT模型可定義為

(1)

幾何公差帶的形狀主要有兩平行平面、兩平行直線、兩同心圓、兩同軸圓柱面、圓柱、圓、球、兩平行曲線、兩平行曲面等.如表1中的兩平行平面公差帶，平面長為L1、寬為L2，兩平行平面之間的距離為公差帶大小t.假設將坐標系XYZ置于兩平行平面中間.由新一代GPS的恒定度知[11]，平面有3個自由度，即繞X軸的轉動Δα、繞Y軸的轉動Δβ和沿Z軸的平動w.因此，對兩平行平面公差帶建模只需確定這3個自由度的變動范圍即可，由此可得其SDT模型及各矢量約束，各矢量約束采用模態(tài)區(qū)間法描述，見表1.同理，也可建立其他幾何公差帶的SDT模型，表1也給出了其他幾種常用的幾何公差帶的SDT模型及其矢量約束.

尺寸公差是允許尺寸的變動量，其公差帶限制了實際偏差處于上極限偏差TU和下極限偏差TL區(qū)域內(nèi).根據(jù)尺寸公差的性質(zhì)可知，尺寸公差帶的SDT模型中只有平動矢量.假設平動發(fā)生在X方向上，則其SDT模型為

(2)

其中，u=[TL,TU].

表1 常用幾何公差帶的SDT模型及其約束

1.2應用包容要求時的公差模型

應用包容要求時，尺寸公差具有雙重功能，既能控制實際尺寸，又能控制形狀誤差.尺寸要素對應的實際輪廓(實際尺寸和形狀誤差綜合的結果)應遵守最大實體邊界(MMB).因此，公差分析時只需計入尺寸公差，而不考慮幾何公差.尺寸公差的SDT模型同公式(2).

1.3應用最大實體要求或最小實體要求時的公差模型

應用最大實體要求(MMR)的尺寸要素對應的實際輪廓應遵守最大實體實效邊界(MMVB)，此時尺寸公差可以對幾何公差進行補償，使幾何公差帶大小由t可增大到t+T，T為尺寸公差值.當實際尺寸等于最小實體尺寸(LMS)時，幾何公差得到最大的補償值，幾何公差帶大小為t+T.因此，應用MMR的尺寸要素可等效為尺寸等于LMS的理想形體(公差值為0)與公差帶大小等于t+T的變動形體的疊加，變動形體是尺寸為0的幾何公差帶，其SDT模型與表(1)中對應相同形狀的模型相同，但矢量約束中的t替換為t+T.為了計算方便，應用MMR的尺寸要素進行公差分析時，可將尺寸公差和幾何公差合并為尺寸等于LMS、具有t+T公差帶大小的綜合公差.

圖1 圓柱軸應用MMR示例Fig.1 Example of MMR for an cylindrical feature

應用最小實體要求(LMR)的尺寸要素對應的實際輪廓應遵守最小實體實效邊界(LMVB).同理，公差分析時，將尺寸要素等效為尺寸等于MMS的理想形體(公差為0)與公差帶大小為t+T的變動形體(尺寸為0)的疊加.

1.4應用可逆要求時的公差模型

可逆要求(RPR)是最大實體要求(MMR)或最小實體要求(LMR)的附加要求.MMR或LMR附加了RPR后，允許尺寸和幾何公差之間相互補償；當尺寸要素具有理想形狀或方向或位置時，尺寸得到最大的補償值.因此，與1.3節(jié)同理，把尺寸要素等效為尺寸一定的理想形體與公差帶大小為t+T的變動形體的疊加，變動形體的SDT模型與應用MMR和LMR的相同.理想形體的尺寸與尺寸要素的形狀和采用的相關要求有關，如表2所示是筆者推導出的應用可逆要求時理想形體尺寸的計算公式.

表2 應用可逆要求時理想形體尺寸的計算公式Tab.2 The formula of basic size of nominal shapewhen using reciprocity requirement.

2 公差分析中的封閉環(huán)模型建立

三維公差分析即確定三維尺寸鏈中各個組成環(huán)矢量對封閉環(huán)的影響，從而確定封閉環(huán)的公差.

在三維空間中，每一個矢量的空間位置是由矢量長度ai和其與三個坐標軸的夾角αi、βi、γi確定，如圖2所示，即各矢量的三維坐標為

].

(3)

圖2 矢量的空間表示Fig.2 the space representation of vector

假設三維尺寸鏈由4個空間組成環(huán)矢量(A1、A2、A3、A4)組成，A0為封閉環(huán).由尺寸鏈的特點，對各矢量環(huán)進行疊加可得封閉環(huán)尺寸的三維模型為

A0=A1+A2+A3+A4=

(4)

假設由于尺寸公差和/或幾何公差的影響，使得各矢量的尺寸變動為Δai，與各坐標軸的夾角變動為Δαi、Δβi、Δγi，則各組成環(huán)矢量的三維模型變?yōu)?/p>

(5)

由于Δαi→0，Δβi→0，Δγi→0，Δai→0,可以認為cos Δαi≈1,cos Δβi≈1,cos Δγi≈1，sin Δαi≈Δαi，sin Δβi≈Δβi，sin Δγi≈Δγi；且 ΔaiΔαi≈0，ΔaiΔβi≈0，ΔaiΔγi≈0.

則 cos(αi+Δαi)≈cosαi-Δaisinαi;

cos(βi+Δβi)≈cosβi-Δβisinβi;

cos(γi+Δγi)≈cosγi-Δγisinγi.

由此可得封閉環(huán)的變動模型為

Δ=A0v-A0=

(6)

式(6)可擴展到n個組成環(huán)矢量情況.

3 公差分析步驟及工程實例

公差分析的步驟：

(1)首先對裝配體上的所有零件進行分析，

識別對保證功能有影響的所有要素.

(2)對各功能要素建立坐標系.

(3)根據(jù)零件間的裝配關系基于圖論建立零件功能要素間的裝配關系圖.

圖4所示是圖3示例中各零件功能要素間的裝配關系圖.圖中，每個零件內(nèi)部要素之間的尺寸和方位關系在內(nèi)圓中示出，零件之間的要素關系在外圓外分別實線或虛線連接，實線表示兩零件要素之間的裝配關系，虛線表示設計要求.各鏈環(huán)的矢量長度分別用ai(i=1,2,3,…)表示.

(4)根據(jù)各功能要素所采用的公差原則按本文第1章所述內(nèi)容進行公差建模.

如頂尖零件中，要素F1對要素F2有同軸度要求，且采用了獨立原則，由1.1節(jié)知，公差分析時計入尺寸公差和幾何公差兩部分.其中，尺寸及公差為0；幾何公差的尺寸為0，用記號a1表示，同軸度的公差帶形狀為圓柱，由表1可知其SDT

圖3 機床尾座的裝配簡圖及組成零件圖Fig.3 Assembly drawing of machine tailstock and its parts drawing

圖4 功能要素間的裝配關系圖Fig.4 The assembly graph of effective features

(5)用公式(4)和公式(6)計算得到封閉環(huán)的尺寸及其變動.

表3 各矢量環(huán)的SDT模型及其約束

將表3中的內(nèi)容分別代入公式(4)和公式(6)，用模態(tài)區(qū)間運算法則進行計算[13]，得到FR在Z方向的尺寸為45 mm.當同軸度采用方式(a)標注時，變動為[-0.047,0.034]；當同軸度采用方式(b)標注時，變動為[-0.047 5,0.036].對比計算結果可以看出，采用的公差原則不同，公差分析結果亦不相同，因此在實際工作中不能忽視公差原則的影響.

根據(jù)表3中SDT模型各矢量變動的特點，也可假設各環(huán)的分布狀態(tài)(如假設A2、A3中的矢量呈均勻分布，其他各環(huán)中的矢量呈正態(tài)分布)采用蒙特卡洛方法或其他方法進行分析，筆者不再贅述.

4 結論

筆者研究了考慮公差原則的三維公差分析問題，得到了在公差分析時應用不同公差原則的尺寸公差和幾何公差的計入方法，并基于SDT理論和模態(tài)區(qū)間方法分別建立了要素應用不同公差原則時的公差模型；基于空間矢量環(huán)疊加原理推導出了三維公差分析時的封閉環(huán)尺寸及其變動計算模型；結合工程實例給出了公差分析的具體步驟，并進行了公差分析的實例應用.研究表明，公差原則對裝配精度的影響較大，在實際工作中是不能忽視的，考慮公差原則的三維公差分析結果更為精確.筆者的研究為準確且符合工程實際進行三維公差分析提供了技術支撐.

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ResearchontheMethodfor3DToleranceAnalysisConsideringTolerancePrinciple

ZHAO Fengxia, JIN Shaobo, LI Jifeng

(School of Mechanical Engineering, Zhengzhou University, Zhengzhou 450001, China)

A method of considering tolerance principle for three dimensional tolerance analysis was put forward. Based on small displacement torsor (SDT) theory and modal interval arithmetic, the tolerance models of size tolerance and geometrical tolerance of the feature of size apply independent principle, envelope requirement, maximum material requirement, least material requirement or reciprocity requirement, were established respectively. By using the space vector to represent 3D dimension chain, a mathematical model was built to calculate the closed loop tolerance based on space vector loop stack principle. The application of the proposed method was illustrated through presenting an example, the tolerance analysis steps were given, and the availability of the proposed method was proved successfully.

tolerance principle;tolerance analysis;tolerance modeling;small displacement torsor theory;modal interval arithmetic

2017-02-02；

2017-08-04

國家自然科學基金資助項目(51775515)

趙鳳霞(1971— )，女，河南扶溝人，鄭州大學教授，博士，主要從事精密測量技術方面的研究，E-mail:zfxmail @163.com.

1671-6833(2017)06-0039-06

TH124

A

10.13705/j.issn.1671-6833.2017.06.007