顧曉東

幾何直觀作為《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（下稱《標(biāo)準(zhǔn)》）中的十大核心概念之一，具有豐富的內(nèi)涵?！稑?biāo)準(zhǔn)》指出，幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題，借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。在教學(xué)實踐中，筆者認為，幾何直觀是指利用實物、形體模型、幾何圖形及直觀符號等展開直觀化的信息加工過程，形象描述數(shù)學(xué)對象，形成直觀表象，展開數(shù)學(xué)聯(lián)想，從而有效探索和解決數(shù)學(xué)問題的一種認知方式和能力。幾何直觀溝通了兒童形象思維與數(shù)學(xué)抽象邏輯之間的聯(lián)系，幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，使復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題直觀化，抽象的數(shù)量關(guān)系形象化，實現(xiàn)了問題與圖形之間的轉(zhuǎn)化，有助于探索解決問題的有效策略。 那么，如何提高學(xué)生的幾何直觀能力呢？筆者認為，要重點把握幾何直觀運用的三個基本階段，突出幾何直觀能力培養(yǎng)的三個重要層次。

一、把握幾何直觀運用的三個基本階段

當(dāng)學(xué)生面臨的實際問題具有一定的復(fù)雜性和抽象性時，就須要借助幾何直觀來加以解決。在運用幾何直觀手段時，一般要經(jīng)歷以下三個基本階段。

1.準(zhǔn)確建構(gòu)幾何直觀形象，讓描述與圖形相隨

幾何直觀就是要讓原本復(fù)雜的問題描述內(nèi)容變得簡明化、直觀化。因而當(dāng)學(xué)生遇到一個較為復(fù)雜的問題時，首先要根據(jù)描述的文字內(nèi)容準(zhǔn)確建構(gòu)出與之相符的幾何形象來，為后續(xù)的幾何探索和分析奠定基礎(chǔ)。如四年級學(xué)生在解決面積變化的實際問題時，有一道典型題目：梅山小學(xué)有一塊長方形花圃，長8米，在修建校園時，花圃的長增加3米，面積增加了18平方米，現(xiàn)在花圃的面積是多少平方米？由于題中的文字信息比較復(fù)雜，學(xué)生一開始會顯得一頭霧水，無法準(zhǔn)確理解題意。此時，就需要學(xué)生邁出幾何直觀的第一步，即根據(jù)文字信息準(zhǔn)確地建構(gòu)起幾何形象，使文字描述與圖形結(jié)合起來，從而清晰、直觀地看到題中各條件之間的關(guān)系，進而順利進入到下一步的分析中去。

2.靈活展開幾何直觀分析，讓思維與圖形共行 通過建構(gòu)幾何圖形，一方面能使繁瑣、復(fù)雜的問題變得直觀形象，另一方面由于幾何圖形中存在的各種關(guān)系比較清晰，有利于學(xué)生靈活運用幾何思維，展開幾何分析與探索。如上題中，當(dāng)學(xué)生完成幾何形象建構(gòu)之后，可以從不同角度靈活地進行幾何分析：可以先求出現(xiàn)在長方形的長，再乘寬，得出面積；也可以先求出原先長方形的面積，再加上增加的面積，從而得出現(xiàn)在花圃的面積。兩種方法的相同之處是都要先根據(jù)增加部分（即一個小長方形）的面積和長增加的長度，求出原來長方形花圃的寬。在這樣一種基于幾何圖形的直觀分析中，學(xué)生的思維過程始終是與直觀呈現(xiàn)的圖形要素相聯(lián)系的。

3.有機實現(xiàn)幾何直觀轉(zhuǎn)換，讓表達與圖形互進

幾何直觀促發(fā)了幾何思維，但這一思維過程還要與題中數(shù)量關(guān)系分析結(jié)合在一起，實現(xiàn)基于幾何推理的數(shù)量關(guān)系分析，從而使幾何思維過程順利轉(zhuǎn)換為數(shù)量關(guān)系和解題思路的準(zhǔn)確表達，即再次由圖形語言轉(zhuǎn)換為文字表述。如六年級學(xué)生在學(xué)習(xí)用替換策略解決實際問題時，有這樣一道題目：王老師買了3本科技書和5本文藝書，共花了50元錢，一本科技書比一本文藝書貴6元?？萍紩c文藝書的單價各是多少元？借助直觀的線段圖，學(xué)生能比較敏銳地發(fā)現(xiàn)：如果把線段圖中科技書單價貴的部分去掉，就和文藝書單價相同了。這樣，一種借助于幾何直觀的假設(shè)推理過程就在學(xué)生頭腦中形成了：假設(shè)科技書單價便宜6元，與文藝書相同，那么就變成50-3×6=32元，而這32元則相當(dāng)于3+5=8本文藝書的總價。在借助幾何直觀解決問題時，直觀只是一種手段和方法，最終還需要學(xué)生將直觀思考和幾何推理表述為一種清晰的數(shù)量關(guān)系，從而順利解決問題。

以上三個方面只是剖析了幾何直觀作為一種方法運用時的基本階段或步驟，其實這幾個方面在具體實施幾何直觀描述和分析問題時，往往是糅合在一起的。此時就需要教師引導(dǎo)學(xué)生借助幾何圖形，作出更為準(zhǔn)確的幾何分析與推理，順利找到解題思路。

二、突出幾何直觀能力培養(yǎng)的三個重要層次

小學(xué)階段是幾何直觀能力培養(yǎng)的起始階段，也是至關(guān)重要的階段?！稑?biāo)準(zhǔn)》在學(xué)段目標(biāo)的數(shù)學(xué)思考中提出，在小學(xué)階段要讓學(xué)生感受幾何直觀的作用。這意味著小學(xué)階段要結(jié)合具體的問題情境，讓學(xué)生經(jīng)歷運用幾何直觀的過程，感受其價值，并能初步運用幾何直觀解決問題。因此，教師在日常教學(xué)中，要注重學(xué)生幾何直觀意識的培養(yǎng)，幫助學(xué)生建構(gòu)各種有效的幾何直觀模型，積累和豐富幾何直觀經(jīng)驗，進而內(nèi)化幾何直觀的數(shù)學(xué)思想。

1.重視畫圖，培養(yǎng)幾何直觀意識

有經(jīng)驗的數(shù)學(xué)教師常常會反映，在解決一些實際問題時，學(xué)生往往是被教師要求才畫圖的，甚至許多學(xué)生是在解決問題之后才畫圖的。此時，畫圖不僅不是解決問題的有效手段，反而成了學(xué)習(xí)上的一種的附庸和累贅，無法真正發(fā)揮幾何直觀的作用。為此，我們在教學(xué)中要結(jié)合實例重點指導(dǎo)畫圖方法，適時引導(dǎo)反思，凸顯幾何直觀的價值，培養(yǎng)學(xué)生運用幾何直觀的意識。

（1）結(jié)合實例加強指導(dǎo)。低段學(xué)生以模仿為主，缺乏模型建構(gòu)的能力。因此，教師應(yīng)從低年級開始，注意結(jié)合一些典型例題，重視畫圖分析策略，加強畫圖方法指導(dǎo)，潛移默化地讓學(xué)生對畫圖策略產(chǎn)生好感。如在一年級教學(xué)“求少掉多少的實際問題”時，教師在引導(dǎo)學(xué)生理解題意，分析數(shù)量關(guān)系時可以借助問題本身的實際情境，先讓學(xué)生借助手勢來描述實物圖的基本內(nèi)容，然后啟發(fā)學(xué)生將手勢演示的內(nèi)容用線條畫下來，慢慢指點學(xué)生形成直觀的幾何圖（圖1），最后再引導(dǎo)學(xué)生借助直觀圖來分析和理解“求少掉多少”的數(shù)量關(guān)系。教師有意識地、經(jīng)常性地運用畫圖策略解決問題，并在“如何畫”上給予學(xué)生一定的幫助，長此以往，能夠潛移默化地給學(xué)生以啟示：遇到問題可以先畫圖，再看圖思考。

（2）適時對比引導(dǎo)反思。學(xué)生運用幾何直觀的良好意識是在不斷獲得成功體驗、自覺進行反思的過程中逐步形成的。如果只是偶爾呈現(xiàn)相關(guān)材料，只有短時效應(yīng)。因而教師要選擇一些典型的幾何直觀運用問題，讓學(xué)生反復(fù)練習(xí)，并著重引導(dǎo)學(xué)生對利用畫圖解決問題的過程進行反思，讓他們在反思中深刻體會和感受到運用幾何直觀的優(yōu)勢。如上文所述“梅山小學(xué)操場擴建”的問題，教師在呈現(xiàn)例題時，可以設(shè)計兩種形式的例題（文字題和圖畫題），讓兩部分學(xué)生（不知情的）分別做其中一種，在解題過程中學(xué)生會感到了不公平，拿到圖畫題的學(xué)生輕而易舉地解決了問題，而拿到純文字題的學(xué)生則無法快速解答。在這樣一種對比中，學(xué)生能深切地體會到畫圖思考問題的優(yōu)越性。endprint

2.豐富模型，提升幾何直觀水平

幾何直觀有助于將抽象的數(shù)學(xué)對象直觀化、顯性化，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直觀領(lǐng)悟能力。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)幫助學(xué)生掌握一些典型的幾何直觀模型，提升其幾何直觀水平。

（1）善用數(shù)軸模型，化抽象為形象。數(shù)軸是運用幾何直觀的最佳模型之一，靈活應(yīng)用數(shù)軸，能夠化抽象為形象，幫助學(xué)生更加直觀、深入地認識數(shù)，更準(zhǔn)確地理解數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系，對發(fā)展學(xué)生的數(shù)感起到積極作用。如在教學(xué)近似數(shù)時，讓學(xué)生解決“2.24更接近哪個一位小數(shù)”，目的是讓學(xué)生理解取一個數(shù)的近似值的原理，體會這個近似數(shù)的精確度。有些學(xué)生會存在困難，此時借助數(shù)軸模型就可以直觀、形象地理解近似數(shù)的取值原理，如圖2：

從圖2中，學(xué)生可以直觀地看到2.24與2.2之間的距離是4格，而與2.3之間的距離是6格，因而2.24更接近2.2。在直觀模型的幫助下，化抽象為形象，幫助學(xué)生理解“四舍五入”取近似數(shù)的原理。

再如在比較近似數(shù)的精確度時，如“1.5和1.50都是1.496的近似數(shù)，哪一個更精確？”這樣的問題抽象程度比較高，學(xué)生不易理解。借助數(shù)軸模型，學(xué)生就能輕而易舉地解決問題了。（圖3）

從數(shù)軸上，學(xué)生可以清楚看到約等于1.5的是兩位小數(shù)，其范圍是1.45～1.55，而約等于1.50的是三位小數(shù)，其范圍是1.495～1.504，范圍比前者小，顯然精確度更高。

（2）多用線段圖模型，化模糊為清晰。線段圖是用來表示實際問題中數(shù)量關(guān)系，幫助學(xué)生分析問題、解決問題的重要手段。尤其是面對一些條件復(fù)雜、易混淆的實際問題，它能充分體現(xiàn)從抽象文字到清晰呈現(xiàn)、直覺感悟的價值。如“一條20米長的路上，每隔5米種一棵樹，一共可以種多少棵樹？”對三年級小學(xué)生來說，具有一定的迷惑性，他們一開始都會把它看成以前所學(xué)的平均分的實際問題。此時，教師就可以引導(dǎo)學(xué)生主動畫線段圖，用圖表示出“每隔5米種一棵”究竟是怎樣的，經(jīng)過討論明確，以點代表樹，以線段代表間隔5米，畫出兩端都種的基本型，在直觀圖中清晰看到點數(shù)總比段數(shù)多1（即棵樹比間隔數(shù)多1），進而繼續(xù)研究另外兩個變式。借助線段圖模型，學(xué)生的認知難點得到了自然突破。

（3）活用面積圖模型，化晦澀為直白。畫面積圖是解決問題的一種策略。學(xué)生利用面積變化圖能將一些表述晦澀的問題信息變得直白形象，從而有效地分析題意，探索解題路徑。因而，用好面積圖模型，能提高學(xué)生幾何直觀的水平。例如在高年級學(xué)習(xí)雞兔同籠的假設(shè)問題時，我們通常是利用假設(shè)的策略，來引導(dǎo)學(xué)生抽象地理解解題思路。其實，我們也能引入面積圖模型，幫助學(xué)生直觀分析。

圖中用長方形ABCD的面積表示雞的腳數(shù)，長方形HDEG的面積表示兔的腳數(shù)，當(dāng)我們把每只兔也看做2只腳時，雞兔總腳數(shù)就可以用長方形ABEF的面積來表示了，算出是16×2=32只，比原來總只數(shù)少了44-32=12只，這個12只在圖中就是長方形HCFG的面積。從圖中還可以看到長方形HCFG中寬FG是4-2=2，因此可以求出長CF是12÷2=6，也就是兔的只數(shù)。這樣通過一幅直觀的面積圖，將原本晦澀的題意表示得很直白，讓學(xué)生借助幾何思維解決了實際問題。當(dāng)然，這樣的思考過程需要學(xué)生具備一定的幾何直觀能力。但我們可以將這種幾何直觀方法與原先的假設(shè)思路加以比較，讓學(xué)生能夠深刻體會幾何直觀的妙處，從而慢慢體會到幾何直觀的便利性。

（4）巧用連線圖模型，化內(nèi)隱為外顯。連線是低年級學(xué)生解決一些生活中的數(shù)學(xué)問題的常用方法。其實在中高年級的一些實際問題解決中，我們?nèi)钥梢砸龑?dǎo)學(xué)生活用連線模型，巧妙而直觀地解決問題。比如在學(xué)習(xí)“搭配的規(guī)律”時，就可以讓學(xué)生進行連線搭配，把頭腦中內(nèi)隱的思維過程外顯出來，通過有序的連線，把各種搭配情況一一列舉出來。

3.內(nèi)化積淀，發(fā)展幾何直觀思想

幾何直觀能力的培養(yǎng)不是一蹴而就的，須要經(jīng)過長期的、有意識的訓(xùn)練。而發(fā)展幾何直觀的數(shù)學(xué)思想，更是需要學(xué)生在運用的過程中逐漸積累起豐富的經(jīng)驗，體會到其真正的價值，進而形成一種穩(wěn)定的數(shù)學(xué)思想。

（1）引導(dǎo)學(xué)生借形觀數(shù)，直觀表征，積累幾何直觀經(jīng)驗。教學(xué)蘇教版《數(shù)學(xué)》六年級上冊“分數(shù)除以整數(shù)”一課時，出示教材問題情境之后，先讓學(xué)生觀察量杯的實物圖，接著引導(dǎo)學(xué)生將其抽象成長方形圖，繼續(xù)觀察幾何直觀圖，進而在長方形圖中畫一畫、想一想，學(xué)生能夠輕松地發(fā)現(xiàn)計算方法。在這一解題過程中，學(xué)生憑借著自身積累的畫圖經(jīng)驗，借助常見幾何圖形來直觀表征數(shù)學(xué)問題，在解決問題過程中進一步強化畫圖意識、提高畫圖能力、積累直觀經(jīng)驗，為發(fā)展和形成幾何直觀思想奠定堅實的基礎(chǔ)。

（2）啟發(fā)學(xué)生借形思法，直觀頓悟，發(fā)展幾何直觀思想。學(xué)生借助幾何直觀圖，通過幾何思維的推理和演繹，能夠獲得一些一般性的解題思路。而有時借助幾何直觀圖，學(xué)生還能獨辟蹊徑，頓悟出一些特殊方法，形成一些創(chuàng)造性解題思路，從而迅捷地解決問題。如教學(xué)蘇教版《數(shù)學(xué)》四年級下冊“用畫圖的策略解決面積問題”中“練一練”的題目時，學(xué)生根據(jù)題意畫出直觀圖，標(biāo)好有關(guān)的條件數(shù)據(jù)：

一般情況下學(xué)生能找到常規(guī)思路和方法，用150÷5×（20-5）=450（平方米）。但也有學(xué)生從圖中直接頓悟出用150×3=450（平方米），這表明學(xué)生在長期的幾何直觀能力訓(xùn)練中，已經(jīng)能從直觀圖中實現(xiàn)頓悟。

總之，幾何直觀能力的培養(yǎng)應(yīng)滲透在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的各個方面。教師要善于結(jié)合教材資源，幫助學(xué)生形成畫圖的意識，逐步培養(yǎng)學(xué)生運用幾何直觀描述和分析問題的能力，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

[責(zé)任編輯：陳國慶]endprint