蔣先培

(云南省曲靖市會(huì)澤縣第一中學(xué)，云南 曲靖 654200)

函數(shù)最值問(wèn)題的解法

蔣先培

(云南省曲靖市會(huì)澤縣第一中學(xué)，云南 曲靖 654200)

函數(shù)最值問(wèn)題綜合性強(qiáng)，解題方法相對(duì)靈活，對(duì)數(shù)學(xué)各方面知識(shí)點(diǎn)的掌握要求較高.教師在日常教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生多角度分析、思考問(wèn)題，提升解決實(shí)際問(wèn)題的能力.本文主要探討三種方法解決函數(shù)最值問(wèn)題.

高中數(shù)學(xué)；最值問(wèn)題；配方法

高中數(shù)學(xué)中，函數(shù)的最值問(wèn)題一直是高考中考查的重點(diǎn)，通過(guò)最值問(wèn)題可以衍生出許多其它的問(wèn)題，其中的題型千變?nèi)f化，而這也給函數(shù)最值問(wèn)題的學(xué)習(xí)增加了很大難度.即便如此，只要學(xué)生對(duì)那些解決函數(shù)最值問(wèn)題的方法了然于心，對(duì)于不同類型的最值問(wèn)題采用合適的方法，函數(shù)的最值問(wèn)題將會(huì)迎刃而解.

一、配方法

通過(guò)配方法解決函數(shù)問(wèn)題是高考中的重要考點(diǎn)，通過(guò)對(duì)所求的函數(shù)進(jìn)行恒等變形，將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為完全平方式，進(jìn)而求出函數(shù)最值.配方法是求函數(shù)最值的重要方法，這種方法思路清晰，簡(jiǎn)潔明了.下面的例子就是通過(guò)配方法求函數(shù)最值的典型例題.

例1 求三角函數(shù)y=5sinx+cos2x的最值.

點(diǎn)撥本題如果用常規(guī)的求導(dǎo)法求解，求解過(guò)程會(huì)非常繁瑣，此時(shí)明智的做法是通過(guò)恒等變形，將原三角函數(shù)式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，通過(guò)熟悉的函數(shù)來(lái)求最值，可以使得解題過(guò)程大大簡(jiǎn)化，達(dá)到事半功倍的效果.

二、單調(diào)性法

單調(diào)性法是解決最值問(wèn)題的實(shí)用方法，通過(guò)判斷函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)最值.通過(guò)下面的例子可以深入了解單調(diào)性法求函數(shù)最值問(wèn)題.

例2 求函數(shù)f(x)=log2(-x2-4x+12)的最大值.

解析本題首先應(yīng)該通過(guò)換元將二次函數(shù)轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)，然后再利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解.可令u=-x2-4x+12=-(x+2)2+16，易得0lt;u≤16，因?yàn)閥=log2u在(0,+∞)上為增函數(shù)，所以log2u≤log216=4.所以f(x)的最大值為4.

點(diǎn)撥本例中通過(guò)換元將對(duì)數(shù)式中的二次函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使得函數(shù)變成一般對(duì)數(shù)函數(shù)，通過(guò)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，只要求出換元之后函數(shù)u的最值，那么f(x)的最值問(wèn)題也就迎刃而解了.

三、求導(dǎo)法

求導(dǎo)法是解決最值問(wèn)題最基本的方法，通過(guò)求導(dǎo)法來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性.求導(dǎo)法經(jīng)常用于解決綜合題，這類問(wèn)題難度較大，往往需要進(jìn)行分類討論，根據(jù)對(duì)參數(shù)的分類討論，從而得出函數(shù)的最值.下面的例子就是關(guān)于此類問(wèn)題的一道綜合題，比較具有代表性.

(1)若f(x)在x∈(0,1]上是增函數(shù)，求a的取值范圍；(2)求f(x)在區(qū)間(0,1]上的最大值.

點(diǎn)撥本例的解題過(guò)程比較復(fù)雜，但是只要抓住參數(shù)的取值這條主線，按部就班地進(jìn)行分類討論，相對(duì)復(fù)雜的問(wèn)題也是可以得到解決的.需要注意的一點(diǎn)是，對(duì)于比較有難度的綜合題，第一問(wèn)一般是第二問(wèn)的鋪墊，通過(guò)仔細(xì)研究第一個(gè)問(wèn)題，會(huì)對(duì)比較有難度的第二問(wèn)的解決產(chǎn)生較大幫助.

綜上所述，對(duì)于不同的最值問(wèn)題，需要采用不同的方法，對(duì)癥下藥是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.但是這一切的基礎(chǔ)是對(duì)各種方法的熟練掌握，學(xué)生在平時(shí)的學(xué)習(xí)中應(yīng)當(dāng)認(rèn)真總結(jié)和歸納，只有很好地掌握解決最值問(wèn)題的各種方法，才能夠吃透最值問(wèn)題，提高解題能力.

[1]孫西洋.運(yùn)用換元法巧解對(duì)數(shù)函數(shù)問(wèn)題[J].新高考,2014(01).

[2]冉獻(xiàn)華.談?wù)勅绾吻蠛瘮?shù)的值域[J].試題與研究,2014(12).

[責(zé)任編輯：楊惠民]

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1008-0333(2017)25-0046-02

2017-07-01

蔣先培(1978.11-)，男，云南省曲靖人，中學(xué)一級(jí)，大學(xué)本科，從事數(shù)學(xué)的一些解法的研究.