張藝文

(河南省鶴壁市高中，河南 鶴壁 458030)

淺談高中三角函數(shù)中的數(shù)學思想

張藝文

(河南省鶴壁市高中，河南 鶴壁 458030)

三角函數(shù)是高中數(shù)學的重要內(nèi)容之一，本文淺談了幾種基本數(shù)學思想在高中三角函數(shù)部分的體現(xiàn).

三角函數(shù)；數(shù)學思想

函數(shù)是中學數(shù)學的主線，是中學數(shù)學的核心內(nèi)容，也是整個高中數(shù)學的基礎(chǔ).三角函數(shù)是函數(shù)的一個重要分支，也是考試的重點之一.本文從作者目前高中兩年的學習經(jīng)歷出發(fā)，淺談幾種思想方法，對三角函數(shù)部分的體現(xiàn)做出了自己的理解，希望能夠更好地學習三角函數(shù).

一、方程與函數(shù)結(jié)合的思想

在解決實際問題的過程中，利用函數(shù)關(guān)系或者方程或方程組把已知量和未知量之間的關(guān)系抽象化，求出變量的值，使三角函數(shù)問題最終解決的一種思想方法，常用于求值證明等方面.

二、函數(shù)中整體思想

在三角函數(shù)解題過程中，把一部分或全部轉(zhuǎn)化成一個整體，找出它們之間的聯(lián)系，往往可以使復(fù)雜的題目變得簡單起來.多用于化簡求值，研究函數(shù)性質(zhì)等方面.

三、數(shù)形結(jié)合思想

“數(shù)”與“形”中學數(shù)學的兩塊基石，初中的課本總是前幾章是“代數(shù)”后幾章是“幾何”.期末考試，老師就會強調(diào)“數(shù)形結(jié)合”，一直延續(xù)到現(xiàn)在.二者在相互滲透，在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)換.遇到選擇題的時候，可以先了解題意，作出相應(yīng)的草圖，通過作圖使問題與圖形結(jié)合，從而更直觀地表現(xiàn)問題并得出結(jié)論.“數(shù)形結(jié)合”的重點是研究“以形助數(shù)”“以數(shù)定形”，“數(shù)形結(jié)合”是一種非常重要的數(shù)學思想.利用三角函數(shù)圖象，可以直觀地研究解題思路，總結(jié)歸納解題方法和技巧，提高實際運用能力.

解由題意知x應(yīng)滿足

作輔助圖如下：

評析求函數(shù)的定義域，就是根據(jù)函數(shù)式的特點，使各部分有意義，列出不等式(組)，解之即可.在對幾個角求交集時，一般可以借助圖象，這里的圖象分為兩類：數(shù)軸和單位圓，然后畫出符合條件的區(qū)域.另外，利用數(shù)軸和單位圓研究三角函數(shù)，是一種十分有效的解題方法.

四、分類討論思想

分類討論的思想方法在數(shù)學學習中普遍的存在，它主要是通過數(shù)學對象的不同屬性，將其分類并對其進行研究的一種思想方法.分類討論方法可以使相似問題歸類，從而使復(fù)雜的問題簡單化.此類思想主要體現(xiàn)在給值求角，以及含參問題的解決上.

例4 已知tanα=2，求4sinα2-3sinαcosα-5cosα2的值.

解tanα=2，易知α為第一或第三象限角.

∴原式=1.

∴原式=1.

綜上所述：原式=1.

評析本題是根據(jù)角所在的象限進行分類.

五、化歸思想

研究三角函數(shù)問題時，在一定條件下，變換研究對象，將問題轉(zhuǎn)化并歸結(jié)為另一種新對象，這種思維方法稱為化歸轉(zhuǎn)換思想.我感覺化歸轉(zhuǎn)換思想在三角函數(shù)中應(yīng)用非常普遍，主要體現(xiàn)在：化多種函數(shù)名稱為一種函數(shù)；化未知角為已知角；化多角的形式為單角；化高次為低次；化特殊為一般.

例5 已知tanα=2，求sinα2+sinαcosα-2cosα2

評析本題運用了轉(zhuǎn)化思想——“弦化切”.

總之，三角函數(shù)是函數(shù)的一個最重要的分支.同時，1.方程思想;2.整體思想;3.數(shù)形結(jié)合思想;4.分類討論思想;5.化歸思想在本章內(nèi)容也有著獨特的優(yōu)勢.如果我們自己能夠做到勤思考、多運用，那么對我們高中數(shù)學學科的學習甚至以后的發(fā)展都會發(fā)揮很重要的作用.

[1]課程教材研究所中學數(shù)學課程教材研究開發(fā)中心.普通高中課程標準試驗教科書數(shù)學必修4[M].北京：人民教育出版社,2011.

[責任編輯：楊惠民]

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1008-0333(2017)25-0038-02

2017-07-01

張藝文(2000.10-)女，河南省鶴壁人，高中在校生.