崔金華

(江蘇省溧陽市光華高級(jí)中學(xué)，江蘇 常州 213300)

多元最值問題的解決策略探究

崔金華

(江蘇省溧陽市光華高級(jí)中學(xué)，江蘇 常州 213300)

本文就常見的多元最值問題，給出了最有效的三種求解方法.

多元最值；解決方法；策略

多元最值問題通常是以含有若干個(gè)變量的等式或不等式為條件，求含有這幾個(gè)變量的代數(shù)式的最值問題.該題型形式一般為:已知F(x,y,…)=0(或者F(x,y,…)≥0)，求G(x,y,…)的最值.

這類問題的解決方法頗多，涉及的知識(shí)面較廣，是很多數(shù)學(xué)思想方法的理想載體，因而成為高考和競(jìng)賽中倍受青睞的一種題型，并且具有較好的區(qū)分度.以下結(jié)合具體的實(shí)例，探究該類問題的一些常用的求解方法.

一、消元法

例3 (2017揚(yáng)州期末第14題)已知一個(gè)長(zhǎng)方體的表面積為48，所有棱長(zhǎng)之和為36，則這個(gè)長(zhǎng)方體的體積的取值范圍為____.

以上三例表明，通常以等式為條件時(shí)，可以利用消元法，減少變量個(gè)數(shù)，再借助其他工具(基本不等式、導(dǎo)數(shù)等)求出最值.

二、換元法

解析1 考慮到待求分式上下次數(shù)不等，可以考慮借助常數(shù)1將目標(biāo)化為齊次式再來處理.

從例5的解法可以看出，對(duì)于一個(gè)問題的觀察與思考，著眼點(diǎn)不同，解決的方法也不同.三種解法分別從三個(gè)不同的角度思考，進(jìn)行適度換元，在簡(jiǎn)化形式的同時(shí)也讓問題露出其本質(zhì).

三、主元法

以上兩例都是在以幾個(gè)變量之間滿足的不等關(guān)系為條件的前提下求最值，從解決的方法上我們可以體會(huì)到一種“先局部再整體”的思想，也可以理解為“利用不等關(guān)系進(jìn)行消元”.

不等式是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，多元最值問題與不等式聯(lián)系最為密切，而“基本不等式”又是這類最值問題常用的工具.在解決這類問題時(shí)，對(duì)問題所給出的條件進(jìn)行適當(dāng)?shù)穆?lián)想很有必要，同時(shí)結(jié)合所要解決的問題，能從不同的角度進(jìn)行探索與思考，從而找到合理的解決途徑.文中的例5便是一個(gè)很好的典范.雖然本文通過若干例題介紹了幾種常用方法，但在解決具體問題時(shí)仍需仔細(xì)觀察、深入思考、靈活運(yùn)用，方能有效提高解題技能.

[1]陳瑞琪.突破數(shù)學(xué)傳統(tǒng)教學(xué)模式的一次嘗試[J].上海教育, 1998(12):58-59.

[責(zé)任編輯：楊惠民]

G632

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1008-0333(2017)25-0016-02

2017-07-01

崔金華(1985-)男，江蘇溧陽人，本科，中學(xué)二級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)與研究.