姚 潔

漫談勾股數(shù)

姚 潔

勾股定理是人類歷史上光彩奪目的明珠，它是人類最早發(fā)現(xiàn)并用于生產(chǎn)、觀天、測地的第一個(gè)定理；它是聯(lián)系數(shù)學(xué)中最基本、最原始的兩個(gè)對象——數(shù)與形的第一定理；它揭示了無理數(shù)與有理數(shù)的區(qū)別，引發(fā)了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)；它開始把數(shù)學(xué)由計(jì)算與測量的技術(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)檎撟C與推理的科學(xué).滿足勾股定理方程a2+b2=c2的正整數(shù)組（a，b，c）就稱為勾股數(shù)組，簡稱勾股數(shù)，也叫畢達(dá)哥拉斯數(shù).

勾股方程a2+b2=c2中含有3個(gè)未知數(shù)，方程的解不唯一.根據(jù)勾股定理，只要是直角三角形，三邊長都是它的解.本文只討論它的正整數(shù)解的情況，即勾股數(shù)，以下全文均設(shè)勾股數(shù)中第一個(gè)數(shù)為a，第二個(gè)數(shù)為b，第三個(gè)數(shù)為c，且a＜b＜c.

一、勾股數(shù)有公式可以計(jì)算嗎？

1.a為奇數(shù).

觀察下列勾股數(shù)：（1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）7，24，25；（4）9，40，41……可以發(fā)現(xiàn)兩個(gè)特點(diǎn)：①a為奇數(shù)，且從3開始無間斷，b、c是連續(xù)自然數(shù)；②a2=b+c.以上兩個(gè)特點(diǎn)，為解決直角三角形的周長問題提供了方便.

問題1：直角三角形的兩條直角邊為正整數(shù)，其中一條短直角邊的長為13，求這個(gè)三角形的周長.

很多同學(xué)看到只有一個(gè)條件，束手無策，其實(shí)，根據(jù)特點(diǎn)①，我們可以設(shè)出另一條直角邊和斜邊，利用勾股定理列出方程，進(jìn)而求得周長.設(shè)另一條直角邊為x，則斜邊為x+1，列方程得132+x2=（x+1）2，解得x=84，則周長=182.或者根據(jù)特點(diǎn)②，我們可以先求出另一條直角邊與斜邊的和，進(jìn)而求得周長.

在利用勾股定理解決直角三角形問題時(shí)，掌握勾股數(shù)之間的特征，往往能事半功倍.進(jìn)一步研究3條邊的關(guān)系，我們可以發(fā)現(xiàn)：

能不能用代數(shù)式表示這3條邊呢？因?yàn)閍為 奇 數(shù) ，所 以 設(shè) a=2n+1（n＞0），則2n2+2n+1,且 a2+b2=c2，至此，可以得出此類勾股數(shù)的公式：（2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1）.

2.a為偶數(shù).

觀察下列勾股數(shù)：（1）6，8，10；（2）8，15，17；（3）10，24，26；（4）12，35，37……可發(fā)現(xiàn)兩個(gè)特點(diǎn)：①a為偶數(shù)，且從6開始無間斷，b、c是連續(xù)奇數(shù)或連續(xù)偶數(shù)；②a2=2（b+c）.以上兩個(gè)特點(diǎn)，也為求直角三角形的周長提供了方便.

問題2：直角三角形的兩條直角邊為正整數(shù)，其中一條短直角邊的長為16，求這個(gè)三角形的周長.

根據(jù)特點(diǎn)①，我們可以設(shè)出另一條直角邊和斜邊，利用勾股定理列出方程，進(jìn)而求得周長.或者根據(jù)特點(diǎn)②，我們可以先求出另一條直角邊與斜邊的和，進(jìn)而求得周長.

進(jìn)一步研究3條邊的關(guān)系，我們可以發(fā)現(xiàn)：

……

同樣，能否利用代數(shù)式表示這3條邊呢？因?yàn)?a為偶數(shù)，所以設(shè) a=2n（n＞2），則 b=且a2+b2=c2.至此，可以得出此類勾股數(shù)的公式（2n，n2-1，n2+1）.

3.勾股數(shù)的通式.

下面，我們來更為深入地研究一下勾股數(shù).

由勾股定理，一個(gè)數(shù)的平方等于另外兩個(gè)數(shù)的平方和，我們很自然地想到完全平方公式：（x+y）2=x2+y2+2xy①，（x-y）2=x2+y2-2xy②.

但是勾股定理的左右兩邊一共只有三項(xiàng)，且都是平方項(xiàng)，而完全平方公式卻有四項(xiàng)，如何消去一項(xiàng)呢？若將①＋②，可得（x+y）2+（x-y）2=2x2+2y2，仍有四項(xiàng)，不合適；若將①-②，可得（x+y）2-（x-y）2=4xy，即（x+y）2=（x-y）2+4xy，等式的左右兩邊成功變成了三項(xiàng)，但不能保證4xy一定是平方項(xiàng).如何將4xy變成平方項(xiàng)？一個(gè)簡單而有效的方法就是令x=m2，y=n2，這樣，等式就變?yōu)椋╩2+n2）2=（m2-n2）2+（2mn）2，于是，一個(gè)滿足勾股定理的等式就產(chǎn)生了，勾股數(shù)可以用（m2-n2，2mn，m2+n2）表示，我們稱它為勾股數(shù)的通式，其中m、n為正整數(shù)且m＞n.

這時(shí)，聰明的同學(xué)們就要問了，之前兩個(gè)公式是不是這個(gè)通式的特例呢？其實(shí)，只要仔細(xì)觀察一下，不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)通式中的m=n+1時(shí)，勾股數(shù)（m2-n2，2mn，m2+n2）=(（n+1）2-n2，1），這就是第一個(gè)公式；當(dāng)通式中的 n=1時(shí)，勾股數(shù)（m2-n2，2mn，m2+n2）=（m2-1，2m，m2+1），這就是第二個(gè)公式的變形.由特殊到一般，再由一般回歸特殊的研究策略，是同學(xué)們在以后的學(xué)習(xí)中要重點(diǎn)培養(yǎng)的一種數(shù)學(xué)意識.

二、勾股數(shù)可以全是奇數(shù)嗎？

我們已經(jīng)初步認(rèn)識了一些勾股數(shù)，例如：（3，4，5）、（5，12，13）、（6，8，10）、（7，24，25）、（8，15，17）、（9，40，41）、（10，24，26）、（15，20，25）……那么，一組勾股數(shù)中有幾個(gè)奇數(shù)？幾個(gè)偶數(shù)？

當(dāng)m、n均為奇數(shù)時(shí)，則m2、n2也為奇數(shù)，進(jìn)而m2-n2、m2+n2均為偶數(shù)，此時(shí)三個(gè)勾股數(shù)均為偶數(shù)；當(dāng)m、n均為偶數(shù)時(shí)，則m2、n2也為偶數(shù)，進(jìn)而m2-n2、m2+n2亦為偶數(shù)，此時(shí)三個(gè)勾股數(shù)均為偶數(shù)；當(dāng)m、n為一奇一偶時(shí)，則 m2、n2也為一奇一偶，進(jìn)而 m2-n2、m2+n2均為奇數(shù)，此時(shí)三個(gè)勾股數(shù)為一偶兩奇.可見，不可能出現(xiàn)三個(gè)勾股數(shù)均為奇數(shù)的情況.

三、勾股數(shù)的分類

我們發(fā)現(xiàn)有些勾股數(shù)的最大公約數(shù)為1，例如（3，4，5）、（5，12，13）、（8，15，17），此類勾股數(shù)被稱為本原勾股數(shù).有些勾股數(shù)的最大公約數(shù)大于 1，例如（6，8，10）、（10，24，26）、（15，20，25），此類勾股數(shù)被稱為派生勾股數(shù).派生勾股數(shù)是本原勾股數(shù)擴(kuò)大若干倍得來的，即若（a，b，c）是勾股數(shù)，則（ka，kb，kc）也是勾股數(shù)，其中k為正整數(shù).利用公式得到的勾股數(shù)是本原勾股數(shù)，利用公式得到的勾股數(shù)既有本原勾股數(shù)，也有派生勾股數(shù).

此時(shí)，我們再來回顧一下問題2.如果3條邊是本原勾股數(shù)，則解法不變，周長為144；如果3條邊是派生勾股數(shù)，可以先分解16，16=2×8=4×4，其中，a不可以等于2或4，當(dāng) a=8時(shí)，本原勾股數(shù)為（8，15，17），則擴(kuò)大2倍后的派生勾股數(shù)為（16，30，34），此時(shí)周長為80.

所以，在用勾股定理解決此類問題時(shí)，要從本原勾股數(shù)與派生勾股數(shù)兩個(gè)角度去考慮.

四、勾股數(shù)通式的局限性

目前，勾股數(shù)的通式還是有局限性的，它可以推導(dǎo)出所有的本原勾股數(shù)，但是不能推導(dǎo)出所有的派生勾股數(shù)，例如（9，12，15）、（15，36，39）……

同學(xué)們，加油吧，勾股數(shù)的奧秘正等待著你去發(fā)掘，神秘的數(shù)學(xué)世界正等待著你去征服！

（作者單位：江蘇省常州市金壇區(qū)白塔中學(xué)）