李正芳
巧思妙想
——例談勾股定理的應(yīng)用
李正芳
在勾股定理中,主要應(yīng)用分類思想對(duì)三角形形狀進(jìn)行討論或?qū)σ阎倪吇螯c(diǎn)所在位置進(jìn)行討論.
例1已知一直角三角形兩邊長(zhǎng)為3和4,則第三邊的長(zhǎng)度是_______.
【分析】此題可以根據(jù)斜邊分類.若第三邊是斜邊,則兩直角邊分別為3和4,根據(jù)勾股定理易得第三條邊長(zhǎng)為5;若第三邊是直角邊,則另一條直角邊為3,斜邊為4,根據(jù)勾股定理易得第三條邊長(zhǎng)為,故答案是或5.
例2在等腰三角形ABC中,AB=5cm,BC=6cm,則三角形ABC的面積為______.
【分析】要求三角形的面積,知道了三角形的邊長(zhǎng),再求出已知邊上的高即可.但由于△ABC是等腰三角形,部分同學(xué)只考慮了一種情形,即認(rèn)為短一點(diǎn)的AB為腰,BC為底邊.忽視了邊長(zhǎng)BC也可能為腰的情形.如圖1,當(dāng)AB為腰,BC為底邊時(shí),過點(diǎn)A作BC邊上的高AD,在Rt△ACD中,根據(jù)勾股定理可得AD的長(zhǎng),此時(shí)△ABC面積為12;如圖2,當(dāng)BC為腰,AB為底邊時(shí),過點(diǎn)A作BC邊上的高AD,同理,可求得此時(shí)△ABC面積為
圖1
圖2
【點(diǎn)評(píng)】以上兩題考查了分類討論思想的應(yīng)用,如果題目沒有圖形,則需要考慮分類討論的必要性.這就是“無圖題前細(xì)思考,分類討論保周到”.
方程是研究數(shù)學(xué)的重要工具,運(yùn)用方程的思想去分析問題,能有效發(fā)現(xiàn)各種數(shù)量關(guān)系.勾股定理描述了直角三角形三邊長(zhǎng)的關(guān)系,可以解決很多計(jì)算問題,除了已知兩邊求第三邊外,很多題目無法直接用勾股定理來計(jì)算,需要設(shè)立未知數(shù),用方程思想來解決.
例3如圖3,有一個(gè)水池,水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正方形.在水池正中央有一根蘆葦,它高出水面1尺.如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn),它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面.水的深度與這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度分別是多少?
圖3
圖4
【分析】解決與勾股定理有關(guān)的實(shí)際問題時(shí)先要抽象出幾何圖形,所以本題首先是找到直角三角形.如圖4,在Rt△ACB中,只有AC邊的長(zhǎng)度,因此可以設(shè)水深為x尺,找出各邊的數(shù)量關(guān)系,最后根據(jù)勾股定理列方程x2+52=(x+1)2,解得x=12,即水深12尺,蘆葦長(zhǎng)13尺.
【點(diǎn)評(píng)】利用勾股定理解決實(shí)際問題,其基本思想是從實(shí)際問題中建立直角三角形,找到直角三角形邊與邊的數(shù)量關(guān)系,通過設(shè)立未知數(shù),借助勾股定理列方程求解.
整體思想是把問題的某個(gè)部分或幾個(gè)部分看成一個(gè)整體進(jìn)行思考,應(yīng)用整體思想解題,往往能化難為易、化繁為簡(jiǎn).在運(yùn)用勾股定理解題時(shí),有時(shí)從整體上去思考問題或許能幫你迅速走出思維的誤區(qū).
例4已知直角三角形的周長(zhǎng)為18,斜邊長(zhǎng)為8,求直角三角形的面積.
【分析】若設(shè)兩直角邊長(zhǎng)分別為a、b,因?yàn)閍+b=10,則b=10-a,由勾股定理得a2+b2=64,即a2+(10-a)2=64,從而求出a、b的值.但解這個(gè)方程較麻煩,而由聯(lián)想到可以應(yīng)用整體思想,將ab看作一個(gè)整體,因?yàn)椋╝+b)2=a2+2ab+b2,又 2ab=(a+b)2-(a2+b2)=100-64=36,所以ab=18,故
等積思想是解幾何題的一種基本方法,就是利用面積相等來建立等式,從而求解題目的一種方法.
例5在甲村到乙村的公路旁有一塊山地正在開發(fā),現(xiàn)有爆破點(diǎn)C與公路上的??空続的距離為300米,與公路上的另一個(gè)??空綛的距離為400米,且CA⊥CB.如圖6所示,為了安全起見,爆破點(diǎn)C的周圍半徑250米范圍內(nèi)不得進(jìn)人,問:在進(jìn)行爆破時(shí),公路AB段是否有危險(xiǎn),是否需要暫時(shí)封鎖?
圖6
圖7
【分析】本題關(guān)鍵是要求出點(diǎn)C到直線AB的距離CD,如圖7.
【點(diǎn)評(píng)】例5是利用等積法解決幾何線段計(jì)算問題的典型代表.當(dāng)已知條件有多個(gè)垂直關(guān)系時(shí),我們要關(guān)注某一個(gè)圖形面積的不同表示方法.
“勾股定理”這章蘊(yùn)含了多種重要的數(shù)學(xué)思想方法,在解決問題時(shí),它們不僅可以相互獨(dú)立使用,而且在許多問題解決中都是互相聯(lián)系的.
(作者單位:江蘇省常州市金壇區(qū)指前實(shí)驗(yàn)學(xué)校)