韓旭++韋俊++唐彩娟++劉龍躍

摘 要：實際生活中復(fù)雜多變的經(jīng)濟現(xiàn)象向數(shù)學(xué)提出了新的問題和挑戰(zhàn)，也敦促著我們更深入地研究數(shù)學(xué)方法在經(jīng)濟學(xué)的應(yīng)用。本課題主要針對經(jīng)濟學(xué)中的常見問題并為之建立合適的數(shù)學(xué)模型，將二者有機結(jié)合。

關(guān)鍵詞：經(jīng)濟 數(shù)學(xué)模型 設(shè)計

中圖分類號：G64 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1672-3791（2017）10（a）-0255-02

隨著現(xiàn)代科技和經(jīng)濟社會的不斷發(fā)展，經(jīng)濟和數(shù)學(xué)的融合隨之不斷加強，二者相輔相成，密切相連。為了描述現(xiàn)實的問題，我們通過學(xué)習(xí)與研究，建立有關(guān)投入產(chǎn)出表的經(jīng)濟類模型。

1 投入產(chǎn)出表的結(jié)構(gòu)

投入產(chǎn)出表或投入產(chǎn)出模型是投入產(chǎn)出理論的表現(xiàn)形式與具體運用的基礎(chǔ)。投入產(chǎn)出表或投入產(chǎn)出模型種類很多，但是，靜態(tài)全國產(chǎn)品投入產(chǎn)出表或投入產(chǎn)出模型是一種基本的模式，通過它可以了解投入產(chǎn)出法的基本原理及應(yīng)用。

價值型投入產(chǎn)出表是以國民經(jīng)濟中的“純”部門，即以同類產(chǎn)品的綜合體為部門來進行編制的，它將各部門的投入與生產(chǎn)成果用價值形式表現(xiàn)出來。

在價值型投入產(chǎn)出表中，中間投入與增加值之間的橫線和中間使用與最終使用之間的豎線將表分成了四個象限，基本表式見表1。

第Ⅰ象限是中間流量象限，反映國民經(jīng)濟各部門間的生產(chǎn)技術(shù)聯(lián)系。主欄和賓欄都是產(chǎn)品部門，橫行和縱列的部門名稱、部門個數(shù)以及部門的排列順序都完全相同。第Ⅰ象限中的元素Xij從橫行看，表示i產(chǎn)品分配給j部門作生產(chǎn)使用的數(shù)量；從縱列看，表示j部門生產(chǎn)中消耗的i產(chǎn)品數(shù)量。

第Ⅳ象限是最終使用象限。它是第Ⅰ象限在水平方向的延伸，主欄與第Ⅰ象限相同，是產(chǎn)品部門，賓欄是最終使用X，包括最終消費、資本形成總額和凈出口三項。這象限是把支出法國內(nèi)生產(chǎn)總值的各個項目，按產(chǎn)品部門進行了分解，反映社會最終使用產(chǎn)品的部門構(gòu)成和項目構(gòu)成。

第Ⅲ象限是增加值象限。它是第Ⅰ象限在垂直方向的延伸，賓欄與第Ⅰ象限相同，是產(chǎn)品部門，主欄是增加值N的各個項目。這一象限是把收入法或分配法增加值的各個項目，按產(chǎn)品部門進行了分解，反映增加值的項目構(gòu)成和部門構(gòu)成。各個部門的增加值之和是國內(nèi)生產(chǎn)總值，從生產(chǎn)的角度，增加值等于總產(chǎn)出減中間收入；從收入或分配的角度，增加值等于固定資產(chǎn)折舊、勞動者報酬、生產(chǎn)稅凈額、營業(yè)盈余之和。

第Ⅳ象限是由第Ⅱ和第Ⅲ象限共同延伸組成的，為理論象限。這一象限理論上反映增加值經(jīng)過分配和再分配，形成各個部門的最終收入，這些最終收入用于多種最終使用。

2 價值型投入產(chǎn)出表的平衡關(guān)系

價值型投入產(chǎn)出表中的平衡關(guān)系只要包括行平衡關(guān)系、列平衡關(guān)系。在行或列平衡關(guān)系中又分同一個部門的平衡關(guān)系和全社會的平衡關(guān)系兩種表述。

行平衡關(guān)系，是把第Ⅰ和第Ⅱ象限聯(lián)系起來，反映產(chǎn)品的分配使用去向而表現(xiàn)出的恒等關(guān)系：中間使用+最終使用=總產(chǎn)出。

對同一個部門，用式子表示是：

（i=1，2，…，n） （1）

對全社會平衡有：

（2）

其中，i表示橫行部門，j表示縱列部門；Yi表示i部門的最終使用合計，Xi表示i部門的總產(chǎn)出。

行平衡等式也稱為分配方程組。

列平衡關(guān)系，是把第Ⅰ和第Ⅱ象限聯(lián)系起來，反映產(chǎn)品部門各種投入而表現(xiàn)出的恒等關(guān)系：中間使用+最初投入（增加值）=總投入。

同一個部門的平衡關(guān)系用式子表示為：

（j=1，2，…，n） （3）

其中，表示j部門消耗的各種產(chǎn)品的轉(zhuǎn)移價值，Dj+Vj+Tj+Mj=Nj是j部門創(chuàng)造的增加值部分。

全社會平衡用式子表示為：

（4）

其中，表示全社會總產(chǎn)品的轉(zhuǎn)移價值，表示全社會的增加值之和即國內(nèi)生產(chǎn)總值。

列平衡等式也稱為生產(chǎn)方程組。

除了上述分配方程組和生產(chǎn)方程組外，價值型投入產(chǎn)出表還反映了其他一些平衡關(guān)系。

同一部分的總產(chǎn)出與總投入相等，也就是同一部門的生產(chǎn)方程與分配方程相等：

（i=j=k；k=1，2，…，n） （5）

全社會的總產(chǎn)出與總投入相等：

（6）

其中，為Ⅰ、Ⅱ象限之和，為Ⅰ、Ⅲ象限之和；和都是對第Ⅰ象限求和，當(dāng)然是相等的，把它們消去后有第Ⅱ象限合計等于第Ⅲ象限合計：

（7）

（7）式表示全社會最終使用的價值與全社會各個部門增加值之和即國內(nèi)生產(chǎn)總值相等，這與國內(nèi)生產(chǎn)總值的概念是一致的。

3 基本的投入產(chǎn)出模型

投入產(chǎn)出模型是建立在一些相對穩(wěn)定的系數(shù)基礎(chǔ)上的。最基本的投入產(chǎn)出系數(shù)是直接消耗系數(shù)。所謂直接消耗系數(shù)是生產(chǎn)單位j總產(chǎn)出要直接小號的i產(chǎn)品數(shù)量，即（i，j=1，2，…，n）。

把直接消耗系數(shù)（i，j=1，2，…，n）引入（1）式，就得到投入產(chǎn)出行模型。

另A表示直接消耗系數(shù)矩陣，I表示n階單位矩陣，X和Y表示各部門總產(chǎn)出列向量和最終使用列向量，即：

則（1）式可以寫成：

AX+Y=X （8）

整理有：

（9）

（10）

（9）式和（10）式是最基礎(chǔ)的模型，它們建立了總產(chǎn)出與最終使用之間的聯(lián)系，在已知總產(chǎn)出列向量X或最終使用列向量Y的條件下，利用投入產(chǎn)出表計算出直接消耗系數(shù)矩陣，就可以求得最終產(chǎn)出列向量Y或總產(chǎn)品列向量X。

引入（3）式得到如下的投入產(chǎn)出列模型。

以表示如下的對角矩陣：

再分別以N表達增加值列向量，即：

則（3）式可以寫成：

（11）

整理有：

（12）

（13）

（12）和（13）反映了總投入與增加值之間的聯(lián)系。

4 結(jié)語

數(shù)學(xué)這門基礎(chǔ)學(xué)科不僅在工程技術(shù)等傳統(tǒng)應(yīng)用領(lǐng)域發(fā)揮越來越重要的作用，而且迅速的向一些新的領(lǐng)域滲透，本文我們對投入產(chǎn)出表的結(jié)構(gòu)與模型、首次購買的新產(chǎn)品擴散模型：Bass模型進行了探索和研究，得出了一些結(jié)論。

參考文獻

[1] 李季，張麗君.快速消費品新產(chǎn)品擴散模型[M].北京：化學(xué)工業(yè)出版社，2010.

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