曹 洪 陳德前

(江蘇省興化市楚水初級中學(xué)，江蘇 泰州 225700)

用紙片折出豐富多彩的圖形

曹 洪 陳德前

(江蘇省興化市楚水初級中學(xué)，江蘇 泰州 225700)

折紙是同學(xué)們經(jīng)常玩的游戲，利用紙片可以折出許多豐富多彩的圖形. 以折疊矩形紙片為例說明折等腰三角形、折等邊三角形、折疊平行四邊形、折疊菱形、折疊正方形，并通過推理說明折疊的正確性．

折疊紙片；常見圖形；推理論證

折紙是同學(xué)們經(jīng)常玩的游戲，利用紙片可以折出許多豐富多彩的圖形，下面以折疊矩形紙片為例來說明．

一、折等腰三角形

解決這個問題是一件比較容易的事，如圖1.

第一步：如圖1①，將長方形紙片沿著虛線對折，得到圖1②；

第二步：如圖1③，沿對角線剪下并展開即可得到如圖1④的等腰三角形.

為什么△ABC就是等腰三角形呢？道理很簡單：第一，AB、AC是剪出的直線段；第二，∠ADC=ADB=90°，即B、D、C在一條直線上；第三，AB與AC是關(guān)于直線AD的對稱線段，所以AB=AC，即△ABC是等腰三角形.

二、折等邊三角形

解決這個問題就不那么容易了，其操作步驟如下，如圖2.

第一步：對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展開(如圖2①)；

第二步：再一次折疊紙片，使點A落在EF上，并使折痕經(jīng)過點B，得到折痕BM，同時得到線段BN(如圖2②).

第三步：如圖2③，延長MN交線段BC于P，得△BMP，則△BMP是等邊三角形.

分析要證明△BMP是等邊三角形，先看圖形中有沒有等邊三角形，連結(jié)AN，易知△ABN為等邊三角形，進而有60°的角；再看∠BNM=∠BAD=90°，所以可以通過計算得到這個三角形的三個內(nèi)角都為60°，即△BMP是等邊三角形.

證明連結(jié)AN，∵EF垂直平分AB，∴AN=BN.

由折疊知AB=BN，∴AN=AB=BN，∴△ABN為等邊三角形，∴∠ABN=60°，∴∠PBN=30°.又∵∠ABM=∠NBM=30°，∠BNM=∠BAD=90°，∴∠BPN=60°，∠MBP=∠MBN+∠PBN=60°，∴∠BMP=60°，∴∠MBP=∠BMP=∠BPM=60°，∴△BMP為等邊三角形 .

三、折疊平行四邊形

準備一張矩形紙片，按如圖3操作：

將△ABE沿BE翻折，使點A落在對角線BD上的M點，將△CDF沿DF翻折，使點C落在對角線BD上的N點．(1)求證：四邊形BFDE是平行四邊形；(2)若四邊形BFDE是菱形，AB=2，求菱形BFDE的面積．

分析(1)根據(jù)四邊形ABCD是矩形和折疊的性質(zhì)可得EB∥DF，DE∥BF，根據(jù)平行四邊形判定推出即可；(2)求出∠ABE=30°，根據(jù)直角三角形性質(zhì)求出AE、BE.再根據(jù)菱形的面積計算即可求出答案．

說明本題給出了利用矩形紙片折疊平行四邊形的方法，在解題的過程中應(yīng)用了平行四邊形的判定，菱形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，含30°角的直角三角形性質(zhì)，主要考查運用定理進行推理和計算的能力．

四、折疊菱形

對一張矩形紙片ABCD進行折疊，具體操作如下：

第一步：先對折，使AD與BC重合，得到折痕MN，展開；

第二步：再一次折疊，使點A落在MN上的點A′處，并使折痕經(jīng)過點B，得到折痕BE，同時，得到線段BA′，EA′，展開，如圖4；

第三步：再沿EA′所在的直線折疊，點B落在AD上的點B′處，得到折痕EF，同時得到線段B′F，展開，如圖5.

(1)證明：∠ABE=30°；

(2)證明：四邊形BFB′E為菱形.

分析(1)根據(jù)點M是AB的中點判斷出點A′是EF的中點，然后判斷出BA′垂直平分EF，根據(jù)線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等可得BE=BF，再根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)可得∠A′BE=∠A′BF，根據(jù)翻折的性質(zhì)可得∠ABE=∠A′BE，然后根據(jù)矩形的四個角都是直角計算即可得證.(2)根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可得BE=B′E，BF=B′F，然后求出BE=B′E=B′F=BF，再根據(jù)四條邊都相等的四邊形是菱形證明．

(2)∵沿EA′所在的直線折疊，點B落在AD上的點B′處，∴BE=B′E，BF=B′F．∵BE=BF，∴BE=B′E=B′F=BF，∴四邊形BFB′E為菱形．

說明本題給出了用矩形紙片折疊菱形的方法，考查了翻折變換的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，菱形的判定，解題的關(guān)鍵是熟記這些性質(zhì)與判定，并通過準確識圖判斷出BA′垂直平分EF．

[1]朱文娟，孫其斌.折疊與翻折問題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(中旬)，2017(1-2)：48-52.

[2]韓麗華.折紙與探究[J].初中生學(xué)習(xí)指導(dǎo)(七年級)，2016(7-8)：89-92.

[責(zé)任編輯：李克柏]

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2017-07-01

曹洪(1972.11-)，女，江蘇泰州人，中學(xué)高級，大學(xué)本科 ，主要從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.陳德前(1957.2-)，男，江蘇泰州人，正高級，特級教師，研究生，主要從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究、命題研究、數(shù)學(xué)競賽研究.