王志雄

(福建省平潭第一中學,福建 福州 350400)

高中數(shù)學教學中運用化歸思想的案例分析

王志雄

(福建省平潭第一中學,福建 福州 350400)

化歸思想是數(shù)學教學和學習中最重要的數(shù)學思想之一.化歸思想可以將復雜問題簡單化，充分合理地利用化歸思想能夠有效地對題目進行解析.教師應(yīng)在教學過程中將重點轉(zhuǎn)移到引導學生思維的方向上.本文對化歸思想進行分析，闡述其在數(shù)學教學中的重要性.

高中數(shù)學；化歸思想；案例分析

很多數(shù)學問題非常復雜，每當遇到這種復雜問題時都會打斷我們的思路，需要花費大量的時間去分析問題，進而解決問題.如果僅僅從解題技巧的角度對數(shù)學問題進行分析，那么將無法有效的應(yīng)對各類問題，所以化歸思想的重要性就體現(xiàn)了出來.

一、什么是化歸思想

化歸思想的核心可以分為兩點，一是轉(zhuǎn)化，二是歸納.化歸思想的解題模式通常為：分析問題之后提出新的問題，通過解決新的問題轉(zhuǎn)而解決原有問題.這種思想重在轉(zhuǎn)化，通過問題與問題之間的聯(lián)系進行轉(zhuǎn)化，用變通的方法解決問題.

化歸思想有很明顯的特征，具體包括三個方面，分別是：1.層次性.2.重復性.3.多向性.化歸思想的多向性體現(xiàn)在：在解題過程中通過變換問題的已知條件，并且轉(zhuǎn)變問題的結(jié)論，從而改變問題的形式和結(jié)構(gòu).重復性體現(xiàn)在：化歸思想可以有效的利用各種方法和解題技巧，從細微處解決問題，與此同時在大的問題上進行知識點之間的有效轉(zhuǎn)化[1].

二、化歸思想的原則及其應(yīng)用

1.直觀化原則

化歸思想的直觀化就是將抽象的問題具體化、具體化.這樣就可以明確的表示出問題之中所隱藏的概念，從而解決一系列的相關(guān)問題.譬如說：換元法.

例1 已知tanβ和tanα是方程x2-3x-3=0的兩根，試求sin2(α+β)-3sin(α+β)cos(α+β)-3cos2(α+β)的值.

這個問題的解答過程就是將問題從抽象化問題向直觀化問題轉(zhuǎn)變，通過換元法使整個問題變得更加直觀化，從而解決問題.解題如下所示.

2.熟悉化的原則

解答由韋達定理得：tanα+tanβ=3,tanαtanβ=-3

由和角公式知：tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα*tanβ)=3/4.

式子sin2(α+β)-3sin(α+β)cos(α+β)-3cos2(α+β)是sin(α+β)與cos(α+β)的二次齊次式,又因為sin2(α+β)+cos2(α+β)=1,

則原式可化簡為

[sin2(α+β)-3sin(α+β)cos(α+β)-3cos2(α+β)]/[sin2(α+β)+cos2(α+β)]

=[tan2(α+β)-3tan(α+β)-3]/[tan2(α+β)+1]

=-3.

熟悉化原則就是在解題的過程中，將所遇到的，相對陌生的問題進行轉(zhuǎn)化，將其變成自己相對較熟悉的問題，從而完成問題的解答.當轉(zhuǎn)變成熟悉的問題之后，很多已經(jīng)掌握了的解題思路和技巧，便可以得到充分的應(yīng)用[2].這樣便能更加有效地完成題目的解析任務(wù)，譬如：

1.將復數(shù)類型的問題進行轉(zhuǎn)化，將其變成實數(shù)類的問題.

2.將非等比數(shù)列或者是非等差的數(shù)列轉(zhuǎn)化成為等比數(shù)列和等差數(shù)列的形式，這些都是熟悉化原則的典型例子.

3.配方法

配方法是高中數(shù)學在解題的過程中應(yīng)用最多的方法.配方法可以有效的將復雜的問題簡單化，能夠讓學生在解題的過程中更好地找到切入點和解題所需要的.

熟練配方法的使用規(guī)則，可以讓學生面對難題時能夠更好的分析和解決.

這道題的已知條件中所給出的兩個方程之間并沒有太大的聯(lián)系.遇到這種情況時就需要轉(zhuǎn)變以下思維，改變現(xiàn)在已知條件的形式.我們可以通過將x與y進行配方，將x與y的形式進行標準化，通過這樣的解題思路來解決問題.這樣就能對未知數(shù)n的值進行更加容易的解答.

4.分解法

分解法要求對已知條件進行分解，使其成為幾個相對簡單的部分以便于解答.簡而言之就是將復雜的問題進行分解，成為幾個容易解答的小問題，再對這些簡單的小問題進行分析和計算，最終得出整個大問題的答案.

例3 分解因式：m15+m12+m9+m6+m3+1.

解原式=(m15+m12)+(m9+m6)+(m3+1)

=m12(m3+1)+m6(m3+1)+(m3+1)

=(m3+1)(m12+m6+1)

=(m3+1)[(m6+1)2-m6]

=(m+1)(m2-m+1)(m6+1+m3)(m6+1-m3).

當解題時遇到多項式，并且此多項式中包含的項數(shù)非常多的時候，我們可以通過分組的方式將多項式分解.通過這樣的解題方法將多項式簡單化和規(guī)范化，從而便于分步解題，使解題難度降低，達到順利解題的目的.分組的方法要根據(jù)具體題型的形式來進行實際判斷.

結(jié)語數(shù)學問題的計算過程和分析方式有自己固定的模式，一般都是通過分析已知條件，明確其中的具體可用之處，之后再進行分析和轉(zhuǎn)化，將已知條件和問題都進行簡化，最終達到解題目的.所以能夠熟練地掌握化歸思想及其解題方法，可以快速找到解題思路.

[1] 蘇芳，覃學文.在“數(shù)學分析”中滲透數(shù)學思想的教學意義——化歸與轉(zhuǎn)化思想 [J]. 梧州學院學報，2013(06)：14-15.

[2]洪善嘯.化歸思想在日常數(shù)學課堂教學中的滲透 [J].科教文匯(上旬刊),2013(07):12-13.

[3]張權(quán).關(guān)于中學數(shù)學教學中化歸思想方法的應(yīng)用分析 [J].讀與寫(教育教學刊)，2012(01):12-13.

[責任編輯：楊惠民]

2017-07-01

王志雄 (1973.3-)，男,福建省福州人,中學數(shù)學一級教師,從事數(shù)學教學研究.

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