陳龍川 雷曉燕

基于車(chē)軌耦合的彈性地基梁板模型及算法*

陳龍川 雷曉燕**

（華東交通大學(xué)鐵路環(huán)境振動(dòng)與噪聲教育部工程研究中心，330013，南昌//第一作者，碩士研究生）

板式無(wú)砟軌道具有變形小、穩(wěn)定性好的優(yōu)點(diǎn)，在我國(guó)鐵路客運(yùn)專(zhuān)線(xiàn)上應(yīng)用廣泛。國(guó)內(nèi)外學(xué)者在建立車(chē)輛、軌道以及車(chē)輛-軌道耦合系統(tǒng)模型及算法方面已做了許多工作。然而，已有的模型與實(shí)際情況尚有差異，有待進(jìn)一步完善。根據(jù)板式無(wú)砟軌道的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，采用板單元模擬軌下結(jié)構(gòu)，建立了車(chē)輛-板式軌道耦合系統(tǒng)動(dòng)力分析模型及算法，推導(dǎo)了板式軌道模型單元的剛度、質(zhì)量以及阻尼矩陣；考慮輪軌非線(xiàn)性接觸行為，引入交叉迭代法求解車(chē)輛-軌道耦合系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程；仿真分析了線(xiàn)路隨機(jī)不平順工況下，CRH3型動(dòng)車(chē)通過(guò)CRTSⅡ型板式無(wú)砟軌道時(shí)，車(chē)輛和軌道結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)。該模型與算法比已有模型更接近實(shí)際，計(jì)算結(jié)果更準(zhǔn)確可靠。

板式軌道；車(chē)輛-軌道耦合系統(tǒng)；交叉迭代法；動(dòng)力響應(yīng)

板式無(wú)砟軌道具有變形小、穩(wěn)定性好的優(yōu)點(diǎn)，在我國(guó)鐵路客運(yùn)專(zhuān)線(xiàn)上應(yīng)用廣泛。國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者通過(guò)建立車(chē)輛模型、軌道模型和車(chē)輛-軌道系統(tǒng)模型［1-2］來(lái)分析車(chē)輛軌道動(dòng)力特性。文獻(xiàn)［3］建立了軌道-路基有限元模型，分析了高速列車(chē)運(yùn)行過(guò)程中，軌道和路基豎向位移在時(shí)間和空間上的分布規(guī)律；文獻(xiàn)［4］采用ABAQUS軟件建立軌道下部結(jié)構(gòu)的有限元模型，分析了在不同運(yùn)行速度下軌道結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性；文獻(xiàn)［5］采用3層梁?jiǎn)卧M軌道，建立了車(chē)輛-軌道系統(tǒng)模型，并對(duì)軌道過(guò)渡段動(dòng)力特性進(jìn)行分析；文獻(xiàn)［6］將彈性支承塊式無(wú)砟軌道離散為24個(gè)自由度的軌段單元，建立了高速列車(chē)-軌道耦合模型并進(jìn)行動(dòng)力性能分析；文獻(xiàn)［3-4］采用有限元軟件建模，將輪軌相互作用簡(jiǎn)化為作用在軌道上的荷載；文獻(xiàn)［5］將軌下軌道板和混凝土底座模擬為梁?jiǎn)卧?，但該?jì)算模型存在計(jì)算效率不高，不能反映車(chē)輛軌道相互作用特點(diǎn)的問(wèn)題。

本文根據(jù)板式無(wú)砟軌道的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，采用板單元模擬軌下結(jié)構(gòu)，建立了分析車(chē)輛-板式軌道耦合系統(tǒng)的動(dòng)力分析模型及算法，推導(dǎo)得出板式軌道單元的剛度、質(zhì)量以及阻尼矩陣；考慮了輪軌非線(xiàn)性接觸行為；不同于文獻(xiàn)［6］的Wilson-θ，引入交叉迭代法求解車(chē)輛-軌道耦合系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程，提高了計(jì)算效率；分析了線(xiàn)路隨機(jī)不平順工況下，CRH3型動(dòng)車(chē)通過(guò)CRTSⅡ型板式無(wú)砟軌道時(shí)，車(chē)輛和軌道結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)。該模型與算法更接近實(shí)際，計(jì)算結(jié)果更準(zhǔn)確、可靠。

1 模型理論

1.1 基本假設(shè)

本模型作了以下基本假設(shè)：

（1）考慮車(chē)輛和軌道的豎向動(dòng)力作用；

（2）上部車(chē)輛單元與下部軌道單元沿軌道方向?qū)ΨQ(chēng)，結(jié)構(gòu)模型可取半計(jì)算；

（3）采用附有二系懸掛體系的多剛體系統(tǒng)模擬車(chē)輛單元，車(chē)體與轉(zhuǎn)向架具有豎向與點(diǎn)頭振動(dòng)；

（4）考慮輪軌之間的非線(xiàn)性接觸耦合行為；

（5）采用離散、彈性支承的二維梁?jiǎn)卧M鋼軌，軌下墊板與扣件系統(tǒng)的支承彈性系數(shù)及阻尼系數(shù)分別用ky1和cy1表示；

（6）采用連續(xù)、彈性支承的三維板單元模擬軌道板，軌道板下CA（水泥瀝青）砂漿層的支承彈性系數(shù)與阻尼系數(shù)分別用ky2和cy2表示；

（7）采用連續(xù)、彈性支承的三維板單元模擬混凝土底座，混凝土底座下路基的支承彈性系數(shù)與阻尼系數(shù)分別用ky3和cy3表示。

1.2 車(chē)輛單元

將車(chē)輛視為具有二系懸掛彈簧阻尼10個(gè)自由度的多剛體結(jié)構(gòu)單元。其中，車(chē)體和轉(zhuǎn)向架具有豎向和點(diǎn)頭運(yùn)動(dòng)、每個(gè)輪對(duì)具有豎向運(yùn)動(dòng)。車(chē)輛單元模型如圖1所示。圖1中：Mc、Jc分別為結(jié)構(gòu)模型取半后的車(chē)體質(zhì)量與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Mt、Jt分別為結(jié)構(gòu)模型取半后的轉(zhuǎn)向架質(zhì)量與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；ks1、ks2分別為車(chē)輛一、二系懸掛剛度；cs1、cs2分別為車(chē)輛一、二系懸掛阻尼；Mwi（i=1、2、3、4）為第i個(gè)車(chē)輪的質(zhì)量；Vc、φc分別為車(chē)體豎向運(yùn)動(dòng)的豎向位移、點(diǎn)頭運(yùn)動(dòng)的角位移；Vti、φti（i=1、2）分別為第i個(gè)轉(zhuǎn)向架豎向運(yùn)動(dòng)的豎向位移、點(diǎn)頭運(yùn)動(dòng)的角位移；vwi（i=1、2、3、4）為第i個(gè)車(chē)輪的豎向位移；Fuli（i=1、2、3、4）為第i個(gè)車(chē)輪的輪軌接觸力；Rw為輪軌接觸系數(shù)。考慮軌道的隨機(jī)不平順，η1、η2、η3、η4分別表示軌道與 4 個(gè)車(chē)輪接觸處的不平順?lè)怠?/p>

定義車(chē)輛單元的位移為：

車(chē)輛單元模型的剛度、質(zhì)量以及阻尼矩陣的推導(dǎo)和動(dòng)力解析方程的建立見(jiàn)文獻(xiàn)［7-8］。

圖1 車(chē)輛單元模型

1.3 軌道單元

板式無(wú)砟軌道的主要結(jié)構(gòu)為鋼軌、墊板扣件系統(tǒng)、軌道板、CA砂漿層以及混凝土底座。文獻(xiàn)［5］采用梁?jiǎn)卧M軌道板和底座，但其與實(shí)際結(jié)構(gòu)特性和受力性狀不符。本文建立模型時(shí)，考慮軌道板與底座的橫向轉(zhuǎn)角，采用板單元模擬軌道板和底座，彈簧阻尼模擬扣件、CA砂漿和路基。每1個(gè)軌道單元由1個(gè)梁?jiǎn)卧?塊板單元組裝而成，將軌道離散成40個(gè)自由度的軌道單元。軌道單元模型如圖2所示。圖2 中：w1、w8分別表示鋼軌的豎向位移；θ1y、θ8y分別表示縱向鋼軌的轉(zhuǎn)角；wi（i=2、3、4、9、10、11）表示軌道板的豎向位移；θix、θiy（i=2、3、4、9、10、11）分別表示軌道板橫向、縱向轉(zhuǎn)角；wi（i=5、6、7、12、13、14）表示混凝土底座的豎向位移；θix、θiy（i=5、6、7、12、13、14）分別表示混凝土底座橫向、縱向轉(zhuǎn)角。

圖2 軌道單元模型

定義軌道單元的位移為：

根據(jù)拉格朗日方程，建立軌道單元的有限元方程為：

式中：

L——拉格朗日函數(shù)；

T，Πp，R——?jiǎng)幽?、彈性?shì)能以及耗散能。

運(yùn)用有限元方法推導(dǎo)鋼軌、軌道板以及混凝土底座的動(dòng)能、彎曲勢(shì)能以及耗散能，計(jì)算鋼軌、軌道板以及混凝土底座的剛度、質(zhì)量和阻尼矩陣。采用對(duì)號(hào)入座的方法嵌入形成軌道單元的剛度矩陣kl，e、質(zhì)量矩陣 ml，e和阻尼矩陣 cl，e。

式中：

kr，e，ks，e，kf，e——鋼軌、軌道板以及混凝土底座的彎曲勢(shì)能產(chǎn)生的單元?jiǎng)偠染仃嚕?/p>

kic，e——第i層支承的單元?jiǎng)偠染仃嚕╥=1、2、3）；

mr，e，ms，e，mf，e——鋼軌、軌道板以及混凝土底座的彎曲動(dòng)能產(chǎn)生的單元質(zhì)量矩陣；

cic，e——第i層支承的單元阻尼矩陣（i=1、2、3）；

cb，e——與單元質(zhì)量矩陣、單元?jiǎng)偠染仃囉嘘P(guān)的單元比例阻尼。

以式（5）～式（7）的各組成項(xiàng)可通過(guò)以下式（8）～式（11）進(jìn)行計(jì)算。

式中：

Er，Ir，Ar——鋼軌彈性模量、慣性矩和截面積；

a，b，hs，hf——板單元的長(zhǎng)度、寬度，軌道板和混凝土底座的厚度；

ρs，ρr， ρf——鋼軌、 軌道板和混凝土底座的密度；

B——彎曲矩形板單元的應(yīng)變矩陣；

D——彎曲矩形板單元的彈性矩陣；kyi（i=1，2，3）、cyi（i=1，2，3）——第i層支承的剛度系數(shù)、阻尼系數(shù)；

N1，N2，N3，Nr，Ns，Nf——插值函數(shù)矩陣。

1.4 車(chē)輛-軌道耦合

通過(guò)組裝軌道單元的剛度矩陣kl，e、質(zhì)量矩陣ml，e、阻尼矩陣 cl，e得到整個(gè)軌道的剛度矩陣 Kl、質(zhì)量矩陣Ml以及阻尼矩陣Cl。車(chē)輛以及軌道子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為：

其中：

式中：

Ku，Mu，Cu——車(chē)輛的剛度、質(zhì)量以及阻尼矩陣；

Qlg，Qug——軌道、車(chē)輛系統(tǒng)的重力向量；

Ful——輪軌之間作用力。

兩個(gè)子系統(tǒng)通過(guò)非線(xiàn)性輪軌力耦合，利用交叉迭代算法進(jìn)行求解，計(jì)算步驟詳見(jiàn)文獻(xiàn)［8］。

2 模型驗(yàn)證與仿真分析

根據(jù)上述模型和算法，用Matlab編制計(jì)算程序，運(yùn)用所開(kāi)發(fā)的程序進(jìn)行算例驗(yàn)證和仿真分析。

2.1 模型驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文模型的正確性，與文獻(xiàn)［9］中的模型算例進(jìn)行對(duì)比。本文選用1節(jié)CRH2型動(dòng)車(chē)，車(chē)速為300 km/h，同時(shí)考慮德國(guó)低干擾不平順譜來(lái)建立模型。且將本文模型的計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)［9］模型計(jì)算結(jié)果和實(shí)測(cè)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，如表1所示。圖3為本文模型與文獻(xiàn)［9］的鋼軌撓度曲線(xiàn)對(duì)比圖。由圖3可知，兩者峰值接近、波形吻合，證明了本文模型的正確性。

表1 模型計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)［9］計(jì)算結(jié)果、實(shí)測(cè)結(jié)果對(duì)比

2.2 仿真分析

利用所建立的車(chē)輛-軌道耦合系統(tǒng)動(dòng)力分析模型，進(jìn)行線(xiàn)路不平順工況下車(chē)輛和軌道豎向動(dòng)力響應(yīng)分析。軌道參考CRTSⅡ型板式無(wú)砟軌道，車(chē)輛參考CRH3型動(dòng)車(chē)，計(jì)算參數(shù)見(jiàn)文獻(xiàn)［5］。線(xiàn)路總計(jì)算長(zhǎng)度為300 m，共劃分為462個(gè)軌道單元，3 234個(gè)節(jié)點(diǎn)，9 240個(gè)自由度，時(shí)間步長(zhǎng)取0.001 s。車(chē)速200 km/h，線(xiàn)路不平順采用美國(guó)6級(jí)譜。整車(chē)高速通過(guò)210 m位置時(shí)，部分具有代表性的軌道、車(chē)輛振動(dòng)響應(yīng)時(shí)程曲線(xiàn)如圖4～11所示。

圖3 鋼軌撓度曲線(xiàn)對(duì)比圖

圖4 鋼軌豎向位移

圖5 鋼軌豎向加速度

圖6 軌道板豎向位移

圖7 軌道板豎向加速度

圖8 車(chē)體豎向加速度

圖9 轉(zhuǎn)向架豎向加速度

圖10 車(chē)輪豎向加速度

圖11 輪軌作用力

表2與表3分別為在線(xiàn)路平順和不平順工兩種況下，軌道結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)和車(chē)輛加速度的幅值。從表2中可見(jiàn)：由線(xiàn)路不平順引起的軌道結(jié)構(gòu)豎向位移增幅為鋼軌在 20%左右，軌道板、混凝土底座在 10%左右；由線(xiàn)路不平順引起的軌道結(jié)構(gòu)加速度的增幅為鋼軌、軌道板在 80倍左右，混凝土底座在 40倍左右。由此可見(jiàn)：線(xiàn)路不平順對(duì)路基上 CRTSⅡ型板式軌道結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)有顯著影響；同時(shí)，由鋼軌傳至軌道板的豎向加速度明顯減小，證明扣件系統(tǒng)對(duì)軌道豎向振動(dòng)具有衰減作用。由圖8～圖10可知，比較轉(zhuǎn)向架、車(chē)體和車(chē)輪得知，車(chē)輪的豎向加速度受線(xiàn)路不平順影響更大。此外，輪軌豎向力波動(dòng)區(qū)間由67.52～69.77 kN變化為 3.96～114.13 kN，波動(dòng)明顯。

表2 兩種工況下軌道結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)幅值

表3 兩種工況下車(chē)輛加速度幅值 m/s2

3 結(jié)論

（1）考慮車(chē)輛與軌道的相互作用，采用更能反映結(jié)構(gòu)特性與受力性狀的板單元模擬軌下結(jié)構(gòu)，建立了分析車(chē)輛-板式軌道耦合系統(tǒng)的動(dòng)力分析模型及算法。該模型與算法考慮了輪軌非線(xiàn)性接觸行為和線(xiàn)路隨機(jī)不平順，更接近實(shí)際，計(jì)算結(jié)果更準(zhǔn)確、可靠。

（2）通過(guò)引入交叉迭代法求解車(chē)輛-軌道耦合系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程，提高了計(jì)算效率和精度。

（3）為了驗(yàn)證本文模型的正確性，計(jì)算了高速動(dòng)車(chē)作用下鋼軌豎向撓度曲線(xiàn)與輪軌力，并與文獻(xiàn)［9］模型計(jì)算結(jié)果及其實(shí)測(cè)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，兩者波型吻合良好。

（4）仿真分析了線(xiàn)路平順和不平順工兩種況下，CRH3型動(dòng)車(chē)通過(guò) CRTSⅡ板式無(wú)砟軌道時(shí)，軌道和車(chē)輛結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)。計(jì)算表明，線(xiàn)路不平順對(duì)軌道結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)有較大影響，尤其是對(duì)鋼軌的位移和加速度、車(chē)輪的加速度以及輪軌作用力有顯著影響。

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Beam-Plate Model and Algorithm Based on the Elastic Foundation of Vehicle and Track Coupling

CHEN Longchuan，LEIXiaoyan

With the advantages of good stability and little deformation，the ballastless slab track is widely used in passenger dedicated lines.A lot of work have been done in the establishment of vehicle，track and vehicle-track coupling system model and algorithm by scholars worldwide，however，the existing model can not fully simulate the actual condition，further improvement is needed.In this paper，the model and algorithm for dynamic analysis of the vehicle and track coupling system is established by adopting the element plate simulating structures under the rail.stiffness according to the characters of ballastless slab track.Then，the mass and damping matrix of two kind element plates are deduced by means of finite element method.In considering the nonlinear wheel-rail contact behavior，cross iteration method is used to solve the vehicle-track coupling system dynamics equation.In random irregular conditions，the dynamic response of vehicle and track is simulated when CRH2 train passes through the CRTS II ballastless slab track.The model is proved closer to the real condition，and the calculation result is more accurate and reliable.

slab track；vehicle-track coupling system；cross iteration method；dynamic response

U213.2+4

10.16037/j.1007-869x.2017.10.004

Author′s address Railway Noise and Vibration Environment Engineering Research Center of the Ministry of Education，East China Jiaotong University，330013，Nanchang，China

*國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（51478184）；江西省優(yōu)秀科技創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)計(jì)劃項(xiàng)目（20133BCB24007）

**雷曉燕為本文通信作者

2015-12-18）