洪樹(shù)立， 黃國(guó)平

1.南京航空航天大學(xué) 能源與動(dòng)力學(xué)院， 南京 210016 2.南京航空航天大學(xué) 江蘇省航空動(dòng)力系統(tǒng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 南京 210016

引入DMD方法研究有/無(wú)控氣流分離的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)

洪樹(shù)立1，2，*， 黃國(guó)平1，2

1.南京航空航天大學(xué) 能源與動(dòng)力學(xué)院， 南京 210016 2.南京航空航天大學(xué) 江蘇省航空動(dòng)力系統(tǒng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 南京 210016

為分析非定常流動(dòng)控制技術(shù)抑制分離流的機(jī)理，對(duì)彎曲擴(kuò)壓通道的試驗(yàn)?zāi)Ｐ瓦M(jìn)行了數(shù)值模擬，針對(duì)擴(kuò)壓通道在無(wú)控和采用最佳射流頻率狀態(tài)下的計(jì)算結(jié)果引入了動(dòng)力模態(tài)分解(DMD)技術(shù)進(jìn)行分析。通過(guò)DMD技術(shù)能夠?qū)瑫r(shí)空信息的擴(kuò)壓通道復(fù)雜流場(chǎng)進(jìn)行分解，捕獲流場(chǎng)包含的動(dòng)力信息和對(duì)應(yīng)的擬序流動(dòng)結(jié)構(gòu)。將無(wú)控和有控流場(chǎng)分解的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析后表明：采用有效激勵(lì)措施時(shí)，和脫落渦頻率一致的渦系對(duì)流場(chǎng)的影響更加突顯，流場(chǎng)整體上表現(xiàn)得更加有序；非定常控制抑制了一部分渦的增長(zhǎng)，使得各模態(tài)整體上更加穩(wěn)定；而有控流場(chǎng)占主導(dǎo)地位的渦系結(jié)構(gòu)相比無(wú)控流場(chǎng)較為有序，且對(duì)主流區(qū)未形成明顯的直接影響。

流動(dòng)分離； 非定常； 流動(dòng)控制； 擬序結(jié)構(gòu)； 動(dòng)力模態(tài)分解(DMD)

航空動(dòng)力系統(tǒng)壓縮部件通道內(nèi)存在著較大的逆壓梯度，容易產(chǎn)生流動(dòng)分離并形成大尺度的湍動(dòng)渦，尤其在航空動(dòng)力系統(tǒng)高負(fù)荷的發(fā)展下，使得流動(dòng)更加惡化，影響了其效率和穩(wěn)定工作范圍。為了改善該現(xiàn)象，越來(lái)越多的研究者開(kāi)始關(guān)注于采用流動(dòng)控制的方法[1]。相比于定常流動(dòng)控制，非定常流動(dòng)控制往往用較小的能量注入起到相同的效果。盡管非定常流動(dòng)控制取得了許多有效的成果并獲得了一些控制規(guī)律[2-4]，然而對(duì)于其內(nèi)在機(jī)理的認(rèn)識(shí)還有欠缺。尤其是像航空動(dòng)力系統(tǒng)的壓縮部件，分離流、湍動(dòng)渦等?？缭搅舜蟪叨群皖l率范圍[5-6]，這種內(nèi)部的復(fù)雜流動(dòng)增加了對(duì)其抑制的難度，因此有必要進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)非定常流動(dòng)控制機(jī)理的研究。而對(duì)于各種渦系互相耦合的復(fù)雜流動(dòng)，為研究分析帶來(lái)了困難。研究者發(fā)現(xiàn)，這種看似復(fù)雜無(wú)序的流動(dòng)在時(shí)空的演化過(guò)程中具有某種有序的規(guī)律，存在著一些能夠反映流場(chǎng)內(nèi)在規(guī)律的本質(zhì)特征[7-8]。

為了得到這種流動(dòng)的擬序結(jié)構(gòu)，可以將時(shí)空流場(chǎng)包含的信息進(jìn)行解耦。近年來(lái)研究較多的是本征正交分解(Proper Orthogonal Decomposition, POD)，其基本思想是尋找一組基元的抓拍“Snapshot”流場(chǎng)，可被重構(gòu)為這組正交基與各自的時(shí)間權(quán)重系數(shù)(隨時(shí)間分布的權(quán)重系數(shù))的乘積之和。通過(guò)POD分解，能夠?qū)⒃瓡r(shí)空流場(chǎng)分解為具有一定能量等級(jí)的擬序結(jié)構(gòu)。此方法常被用于各類的流場(chǎng)分析，近年來(lái)對(duì)于非定常流動(dòng)控制機(jī)理的研究也有較好的應(yīng)用[9-10]。而POD在提取流場(chǎng)時(shí)往往通過(guò)某種統(tǒng)計(jì)平均得到，丟失了系統(tǒng)的相位信息，具體反映在POD分解的某個(gè)模態(tài)依舊參雜了不同頻率的渦系結(jié)構(gòu)，因而難以在動(dòng)力學(xué)層面解析原流場(chǎng)。這使之在應(yīng)用中也遇到了一些問(wèn)題，例如不能很好地捕獲能量不高的小擾動(dòng)[11]；高階模態(tài)下?lián)诫s的低頻信息被忽略[12]。

與POD不同的是，動(dòng)力模態(tài)分解(Dynamic Mode Decomposition, DMD)是從動(dòng)力層面對(duì)流場(chǎng)進(jìn)行分解和提取，分解后得到的各階模態(tài)在時(shí)間上是互不相關(guān)的。DMD方法是由美國(guó)普林斯頓大學(xué)的Rowley等[13]和巴黎綜合理工大學(xué)的Schmid[14]首次提出的，其思路來(lái)源于非線性系統(tǒng)的Koopman分析。Koopman分析的思路是將對(duì)原系統(tǒng)的研究轉(zhuǎn)移到對(duì)Koopman算子的研究上，而該算子則包含了原動(dòng)力系統(tǒng)的所有信息[13]。DMD方法就是Koopman分析的一種近似處理，這種技術(shù)提供了一種新的方法和視角去描述流動(dòng)的擬序結(jié)構(gòu)。

近年來(lái)DMD方法已經(jīng)成功運(yùn)用于一些特征較為明顯的流動(dòng)結(jié)構(gòu)。Schmid[15]運(yùn)用DMD方法提取了射流中與頻率相關(guān)的占主導(dǎo)地位的動(dòng)力學(xué)模態(tài)；Zhang等[16]將POD和DMD方法運(yùn)用于圓柱繞流，指出對(duì)于流動(dòng)特征單一的單圓柱繞流，盡管POD方法也捕獲了卡門(mén)渦街，但是其高階模態(tài)的物理意義難以解釋，而DMD分解得到的高階模態(tài)就可以認(rèn)為是卡門(mén)渦街的“諧波”；而對(duì)于雙圓柱繞流，其具有2個(gè)重要渦街，POD捕獲的渦結(jié)構(gòu)摻雜了其他渦系，而DMD清晰地捕獲了2個(gè)渦系；Seena和Sung[17]研究了空腔流，通過(guò)DMD分析發(fā)現(xiàn)當(dāng)來(lái)流附面層達(dá)到一定條件時(shí)，會(huì)引起共振現(xiàn)象(Hydrodynamic Resonances)，使得空腔內(nèi)附面層的結(jié)構(gòu)和來(lái)流附面層的結(jié)構(gòu)在頻率和波數(shù)上都一致；Nastase等[18]研究了三維的葉狀射流，通過(guò)DMD分析發(fā)現(xiàn)Kelvin-Helmholtz結(jié)構(gòu)是其主要形態(tài)。目前來(lái)說(shuō)，DMD方法主要應(yīng)用于分析典型的周期性非定常流動(dòng)，而對(duì)較為復(fù)雜的非定常擬序結(jié)構(gòu)流動(dòng)的應(yīng)用還很少見(jiàn)到報(bào)道。

本文采用DMD方法，對(duì)擴(kuò)壓通道內(nèi)流場(chǎng)在無(wú)控和采用非定常流動(dòng)控制下的狀態(tài)進(jìn)行分析研究，提取擴(kuò)壓通道內(nèi)受控前后流場(chǎng)的擬序結(jié)構(gòu)，并有效使用DMD分析結(jié)果探討了非定常激勵(lì)對(duì)擬序分離流的控制機(jī)理。

1 DMD基本原理與實(shí)現(xiàn)方法

采用DMD方法可以對(duì)海量的試驗(yàn)數(shù)據(jù)或數(shù)值模擬結(jié)果進(jìn)行處理分析，其算法推導(dǎo)過(guò)程參見(jiàn)文獻(xiàn)[13-14]，本文主要介紹其基本原理和實(shí)現(xiàn)方法。

1.1 時(shí)空速度場(chǎng)的正切近似

vj+1=Avj

(1)

式中：A為系統(tǒng)矩陣，反映了前后2個(gè)時(shí)刻流場(chǎng)之間的關(guān)系。對(duì)于非線性系統(tǒng)，上述假設(shè)是正切近似的，而對(duì)于線性系統(tǒng)則嚴(yán)格成立，因此時(shí)空流場(chǎng)可以表述為

(2)

1.2 系統(tǒng)矩陣的物理意義

實(shí)際上式(2)的形式和狀態(tài)空間向量矩陣的表達(dá)式形式一樣，只是將對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)換成了對(duì)時(shí)間的推進(jìn)，這相當(dāng)于將多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)分析應(yīng)用在流場(chǎng)的動(dòng)力分析上[19]。

圖1 二自由度無(wú)阻尼系統(tǒng)[19]Fig.1 No-damping system of two-degree-of-freedom[19]

對(duì)于流場(chǎng)，式(2)中A就包含了原時(shí)空流場(chǎng)的動(dòng)力信息，其特征值反映了各流場(chǎng)空間點(diǎn)的速度增益(或阻尼)和比率變化的頻率信息；A的特征向量反映了相應(yīng)向量下的流場(chǎng)信息，相當(dāng)于多自由度系統(tǒng)的固有振型。

1.3 系統(tǒng)矩陣降維處理與分解

一般來(lái)說(shuō)A的維度較高(依賴于流場(chǎng)數(shù)據(jù)點(diǎn))，因而很難直接進(jìn)行求解，而應(yīng)用Arnoldi方法[20]，可以將A進(jìn)行降維處理，把求解A的特征值和特征向量轉(zhuǎn)換到求解A的伴隨矩陣S上，S的表達(dá)式為

(3)

伴隨矩陣S只有最后一列是未知的，該列與前N-1個(gè)流場(chǎng)乘積的線性組合就反映了后一時(shí)刻的流場(chǎng)，可以得到

(4)

S=T-1ΛT

(5)

定義矩陣Φ為

(6)

則式(4)可以變?yōu)?/p>

(7)

(8)

圖2 DMD具體過(guò)程[21]Fig.2 Detailed process of DMD[21]

DMD技術(shù)將時(shí)空流場(chǎng)結(jié)構(gòu)做線化近似，并進(jìn)行降維處理，通過(guò)提取流場(chǎng)的主要?jiǎng)恿π畔?，為研究?fù)雜流場(chǎng)和不穩(wěn)定性觸發(fā)的擬序流動(dòng)結(jié)構(gòu)提供了認(rèn)識(shí)相關(guān)機(jī)理的工具。

2 典型通道內(nèi)氣流分離及其控制

2.1 數(shù)值模擬方法

本文引入DMD方法，嘗試分析典型通道內(nèi)氣流分離的動(dòng)態(tài)擬序結(jié)構(gòu)，及非定常激勵(lì)對(duì)其流場(chǎng)結(jié)構(gòu)的作用。為此，這里以一個(gè)前期有較多研究基礎(chǔ)的拐彎擴(kuò)壓通道作為流場(chǎng)研究對(duì)象。在擴(kuò)壓通道彎角處設(shè)置了葉片，并針對(duì)葉背處出現(xiàn)的二次流采用無(wú)源脈沖射流控制技術(shù)進(jìn)行抑制。利用葉盆(對(duì)應(yīng)于大氣高壓一側(cè))和葉背處(對(duì)應(yīng)于通道內(nèi)低壓一側(cè))的壓差驅(qū)動(dòng)流體經(jīng)過(guò)葉片縫隙，并通過(guò)縫隙中轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng)形成非定常有質(zhì)量脈沖射流，最大射流速度為35 m/s，具體結(jié)構(gòu)如圖3所示。

采用大渦模擬進(jìn)行數(shù)值仿真，邊界條件根據(jù)試驗(yàn)給定，進(jìn)口為大氣條件，出口設(shè)定背壓，保證進(jìn)口馬赫數(shù)Ma=1，采用雙時(shí)間步長(zhǎng)進(jìn)行加速求解，時(shí)間步長(zhǎng)為1×10-5s，計(jì)算域及坐標(biāo)設(shè)置如圖4所示。通過(guò)對(duì)比不同狀態(tài)下脫落渦頻率、相對(duì)總壓損失系數(shù)、平均壓力等參數(shù)表明試驗(yàn)和數(shù)值模擬結(jié)果具有較好的吻合度，因此本文采用的數(shù)值模擬具有一定的可信度，更多相關(guān)的試驗(yàn)和數(shù)值模擬介紹可以參考文獻(xiàn)[22-23]。

圖3 擴(kuò)壓通道結(jié)構(gòu)圖Fig.3 Structure diagram of divergent channel

圖4 擴(kuò)壓通道計(jì)算域Fig.4 Computational domain of divergent channel

2.2 整體控制效果

圖5 控制效果對(duì)比Fig.5 Contrast of control effect

3 基于DMD的彎曲通道流場(chǎng)分離及其控制分析

基于DMD原理，對(duì)z方向(垂直于xOy平面)上的渦量Ωz進(jìn)行DMD分解，Ωz的表達(dá)式為

(9)

式中：uy和ux分別為y和x方向上的速度分量。有控流場(chǎng)和無(wú)控流場(chǎng)均選取相同的時(shí)間步長(zhǎng)Δt和時(shí)間步數(shù)N，時(shí)間步長(zhǎng)Δt取為1×10-4s，時(shí)間步數(shù)N取為300，共記0.03 s，約為7個(gè)分離渦準(zhǔn)周期。

3.1 全局能量和特征值標(biāo)準(zhǔn)偏差分析方法

特征值標(biāo)準(zhǔn)偏差的定義為

(10)

3.2 非定?？刂茖?duì)全局能量分布的影響

圖6給出了有控和無(wú)控流場(chǎng)全局能量和頻率的對(duì)應(yīng)關(guān)系(頻率為0的模態(tài)可以看作對(duì)時(shí)間平均的流場(chǎng)，其全局能量相比其他各階高出一個(gè)量級(jí)，圖中并未給出)。從圖中可以看出，隨著頻率的增加，全局能量大致呈遞減趨勢(shì)。

無(wú)控流場(chǎng)的全局能量峰值所在頻率為373 Hz，有控流場(chǎng)全局能量峰值位置為331 Hz，相比無(wú)控流場(chǎng)其峰值點(diǎn)的頻率更加接近脫落渦頻率，說(shuō)明盡管無(wú)控流場(chǎng)中脫落渦占了主導(dǎo)地位，但是摻雜了其他一些對(duì)流場(chǎng)有重要影響的渦系結(jié)構(gòu)。此外有控流場(chǎng)全局能量最大值相比其他頻率以及無(wú)控流場(chǎng)各頻率對(duì)應(yīng)的全局能量要高出一個(gè)數(shù)量級(jí)，表明施加非定常控制后，通過(guò)不同模態(tài)間的能量轉(zhuǎn)移最終使得流場(chǎng)中占主導(dǎo)地位的渦系結(jié)構(gòu)更加突出，表明流場(chǎng)更加有序。

圖6 有/無(wú)控流場(chǎng)的全局能量分布 Fig.6 Distributions of global energy norm of flowfield with and without control

3.3 非定常控制對(duì)整體穩(wěn)定性的影響

圖7給出了流場(chǎng)施加非定?？刂魄昂筇卣髦档姆植?圖中λRe和λIm分別表示特征值的實(shí)部和虛部)，無(wú)控流場(chǎng)DMD分解得到的特征值有46個(gè)模態(tài)落在單位圓外，103個(gè)落在單位圓內(nèi)，受控后有39個(gè)模態(tài)落在單位圓外，126個(gè)落在單位圓內(nèi)，表明非定?？刂埔种屏艘徊糠譁u的增長(zhǎng)，呈衰減趨勢(shì)的渦系增多。

無(wú)控流場(chǎng)特征值標(biāo)準(zhǔn)偏差σ=0.059，有控流場(chǎng)特征值標(biāo)準(zhǔn)偏差σ=0.023，說(shuō)明在施加非定?？刂浦螅髂B(tài)在整體上更加接近穩(wěn)定的固定周期運(yùn)動(dòng)。

圖7 有/無(wú)控流場(chǎng)的特征值分布 Fig.7 Distributions of flow field eigenvalues with and without control

總的來(lái)說(shuō)，通過(guò)DMD技術(shù)，可以讓更多動(dòng)力模態(tài)處于單位圓內(nèi)，并使得特征值標(biāo)準(zhǔn)偏差減少，這都說(shuō)明經(jīng)恰當(dāng)周期激勵(lì)控制(F=1.0)，流場(chǎng)能變得更為有序。

3.4 非定?？刂茖?duì)擬序結(jié)構(gòu)的影響

采用DMD方法，可以把流場(chǎng)各渦系的動(dòng)力學(xué)行為和相應(yīng)的空間擬序結(jié)構(gòu)相結(jié)合，以便更好地分析和描述原流場(chǎng)的特征。圖8為彎曲擴(kuò)壓通道的分離流場(chǎng)和施加恰當(dāng)周期激勵(lì)控制(F=1.0)后流場(chǎng)的不同模態(tài)的渦量云圖。對(duì)于無(wú)控流場(chǎng)，將頻率為373、651、2 522 Hz對(duì)應(yīng)的模態(tài)分別記為MODE A、MODE B和MODE C。對(duì)于有控流場(chǎng)，將采用DMD方法后各相近頻率為331、643、2 517 Hz 對(duì)應(yīng)的模態(tài)分別記為MODE A′、MODE B′和MODE C′。

從DMD的結(jié)果可以看出，渦的空間尺度隨著頻率的增加有所減小。并且采用DMD方法，能夠捕獲有控和無(wú)控流場(chǎng)的主導(dǎo)渦系結(jié)構(gòu)，即MODE A′和MODE A。對(duì)比圖8(a)和8(b)中有控和無(wú)控的分解結(jié)果可以看出，MODE A′反映的空間渦系結(jié)構(gòu)較MODE A更加均勻有序，并且MODE A中的渦結(jié)構(gòu)較為混亂，在向通道下游演變的過(guò)程中影響到了主流區(qū)，這一點(diǎn)也反映在MODE B′和MODE B中。

采用DMD方法，能夠較為明顯地反映出施加恰當(dāng)周期激勵(lì)控制(F=1.0)后流場(chǎng)的變化，并且可顯示出各主要?jiǎng)恿δB(tài)的流動(dòng)結(jié)構(gòu)及控制前后差異。因此，DMD方法可以為分析復(fù)雜擬序流動(dòng)提供有效的技術(shù)途徑。

圖8 動(dòng)力模態(tài)渦量分布Fig.8 Vorticity distributions of dynamic modes

4 結(jié) 論

本文以彎曲擴(kuò)壓通道內(nèi)分離流為研究對(duì)象，采用大渦模擬方法對(duì)脈沖射流抑制擴(kuò)壓通道內(nèi)流動(dòng)分離及施加周期性激勵(lì)控制后的流場(chǎng)進(jìn)行了數(shù)值仿真，并引入DMD動(dòng)力模態(tài)分解法對(duì)計(jì)算的結(jié)果進(jìn)行分析，得出如下結(jié)論：

1) 采用DMD分析方法可以有效捕獲流場(chǎng)的動(dòng)力信息并且顯示其對(duì)應(yīng)模態(tài)的空間渦系結(jié)構(gòu)，分解所得的各階模態(tài)隨著頻率的增加對(duì)應(yīng)的空間尺度有所減小。

2) 通過(guò)DMD分解的頻譜表明，相比于無(wú)控流場(chǎng)，有控流場(chǎng)分解所得與脫落渦頻率一致的渦系結(jié)構(gòu)所占的主導(dǎo)地位更加突顯，反映出流場(chǎng)更加有序。

3) 非定?？刂埔种屏艘徊糠譁u的增長(zhǎng)，呈衰減趨勢(shì)的渦系增多，各模態(tài)在整體上更加穩(wěn)定。

4) 無(wú)控流場(chǎng)占主導(dǎo)地位的渦系結(jié)構(gòu)較為混亂，該渦在向下游演變的過(guò)程中會(huì)更多地影響到主流區(qū)，而有控流場(chǎng)占主導(dǎo)地位的渦系結(jié)構(gòu)比較有序，且沿通道向下游發(fā)展影響到的主流相對(duì)減少。

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(責(zé)任編輯： 王嬌)

*Correspondingauthor.E-mail:hong_0815@163.com

IntroducingDMDmethodtostudydynamicstructuresofflowseparationwithandwithoutcontrol

HONGShuli1，2，*,HUANGGuoping1，2

1.CollegeofEnergyandPowerEngineering,NanjingUniversityofAeronauticsandAstronautics,Nanjing210016,China2.JiangsuProvinceKeyLaboratoryofAerospacePowerSystem,NanjingUniversityofAeronauticsandAstronautics,Naning210016,China

Toanalyzethemechanismofdepressingflowseparationwithunsteadyflowcontroltechnology,anumericalsimulationfortheexperimentalmodelofthedivergentchanneliscarriedout.Dynamicmodedecomposition(DMD)technologyisadoptedtostudytheflowfieldofthecurveddivergentchannelwithandwithoutpulsedjetcontrol.WithDMDtechnology,thecomplexflowfieldofthedivergentchannelcontainingspatialandtemporalinformationcanbedecomposedhierarchically,anddynamicalinformationaswellasspatialcoherentstructurecorrespondingtothevortexcanbecapturedandrendered.Acomparisonofthedecomposedflowfieldswithandwithoutcontrolshowsthatwitheffectiveexcitation,thecoherentstructurewiththefrequencyapproximatingthefrequencyofthesheddingvortexbecomesmoredominantintheinitialflowfield,andtheoverallflowfieldturnsoutbetomoreordered.Somecoherentstructures,decomposedfromflowfieldwithoutcontrol,aresuppressedtomakeallmodesmoresteady.Thedominantstructureofthecontrolledflowfieldhasnoobviousinfluenceonthemainflow.

flowseparation;unsteady;flowcontrol;coherentstructure;dynamicmodedecomposition(DMD)

2016-10-21；Revised2016-11-18；Accepted2016-12-15；Publishedonline2017-01-121117

URL：www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20170112.1117.003.html

NationalNaturalScienceFoundationofChina(51176072)

2016-10-21；退修日期2016-11-18；錄用日期2016-12-15； < class="emphasis_bold">網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間

時(shí)間：2017-01-121117

www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20170112.1117.003.html

國(guó)家自然科學(xué)基金 (51176072)

.E-mailhong_0815@163.com

洪樹(shù)立， 黃國(guó)平． 引入DMD方法研究有/無(wú)控氣流分離的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)J． 航空學(xué)報(bào),2017,38(8):120876.HONGSL,HUANGGP.IntroducingDMDmethodtostudydynamicstructuresofflowseparationwithandwithoutcontrolJ.ActaAeronauticaetAstronauticaSinica,2017,38(8):120876.

http://hkxb.buaa.edu.cnhkxb@buaa.edu.cn

10.7527/S1000-6893.2016.120876

V231.3

A

1000-6893(2017)08-120876-08