楊 健，賴曉霞

(陜西師范大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 西安 710119)

輔助函數(shù)法求解非線性偏微分方程精確解

楊 健，賴曉霞

(陜西師范大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 西安 710119)

在數(shù)學(xué)和物理學(xué)領(lǐng)域，將含有非線性項(xiàng)的偏微分方程稱為非線性偏微分方程。非線性偏微分方程用于描述物理學(xué)中許多不同的物理模型，范圍涉及從引力到流體動(dòng)力學(xué)的眾多領(lǐng)域，還在數(shù)學(xué)中用于驗(yàn)證龐加萊猜想和卡拉比猜想。在求解非線性偏微分方程的過程中，幾乎沒有通用的求解方法能夠應(yīng)用于所有的方程。通常，可依據(jù)模型方程的數(shù)學(xué)物理背景來先驗(yàn)地假設(shè)非線性偏微分方程解的形式，并根據(jù)解的特點(diǎn)給出輔助方程。非線性偏微分方程可通過行波變換轉(zhuǎn)化為常微分方程，再借助輔助方程來求解常微分方程。為此，借助行波變換及輔助方程的求解思路對(duì)BBM方程和Burgers方程進(jìn)行了研究，并獲得了其雙曲正切函數(shù)及三角函數(shù)形式的精確解。研究結(jié)果表明，所采用的方法可廣泛應(yīng)用于若干在數(shù)學(xué)物理中有典型應(yīng)用背景的非線性偏微分方程的精確解求解中。

非線性偏微分方程；輔助函數(shù)法；BBM方程；Burgers方程；精確解

0 引 言

非線性方程廣泛應(yīng)用于物理學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的許多分支，尤其在流體力學(xué)、固態(tài)物理學(xué)、等離子物理和非線性光學(xué)等。非線性方程的解能夠揭示物理模型的許多性質(zhì)。

為了求解非線性方程，提出了很多方法，如反散射變換法[1]、Hirota方法[2]、B?cklund變換法[3]、Darboux變換法[4]、對(duì)稱約化方法[5]、混合指數(shù)法[6]、齊次平衡法[7]、推廣的tanh法[8]、Exp-函數(shù)法[9-10]、橢圓函數(shù)法[11]、輔助函數(shù)法[12]等。

利用現(xiàn)代計(jì)算機(jī)符號(hào)計(jì)算系統(tǒng)來尋找非線性偏微分方程的孤立波解，這是當(dāng)前一個(gè)十分活躍的研究領(lǐng)域。為此，將使用輔助函數(shù)法并且借助符號(hào)計(jì)算系統(tǒng)Maple，在研究兩個(gè)非線性演化方程BBM[13-14]和Burgers[15-17]的基礎(chǔ)上，獲得了精確解，并且給出了具體實(shí)現(xiàn)步驟。

1 輔助函數(shù)法

步驟1：將偏微分方程轉(zhuǎn)化為常微分方程。給定的偏微分方程為：

P(u,ut,ux,uxt,uxx,utt…)=0

(1)

函數(shù)u=u(x,t)包含兩個(gè)自變量x,t，引入波變換：

u(x,t)=φ(ξ),ξ=kx-ct

(2)

可將方程(1)轉(zhuǎn)化為常微分方程：

P(φ,φ',φ'',φ''',…)=0

(3)

步驟2：假設(shè)方程(3)的精確解具有如下形式：

(4)

其中，ai為待定系數(shù)；而冪級(jí)數(shù)的最高次冪m可通過平衡常微分方程的最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)和非線性項(xiàng)來確定；f(ξ)滿足如下輔助方程：

f(ξ)'=f(ξ)2+λf(ξ)+μ

(5)

則對(duì)應(yīng)輔助方程的解有：

解1：

當(dāng)λ=0,μ=0時(shí)，有：

(6)

解2：

當(dāng)λ=0,μ>0時(shí)，有：

(7)

(8)

解3：

當(dāng)λ=0,μ<0時(shí)，有：

(9)

(10)

解4：

當(dāng)λ≠0,μ=0時(shí)，有：

(11)

解5：

當(dāng)λ≠0,μ≠0,λ2-4μ>0時(shí)，有：

(12)

(13)

解6：

當(dāng)λ≠0,μ≠0,λ2-4μ=0時(shí)，有：

(14)

解7：

當(dāng)λ≠0,μ≠0,λ2-4μ<0時(shí)，有：

(15)

(16)

其中，C0為積分常數(shù)。

步驟3：通過常微分方程獲得非線性代數(shù)方程組。把假設(shè)的具有式(4)形式的解和輔助函數(shù)(5)帶入方程(3)中，合并f(ξ)的同次冪項(xiàng)，并令其各項(xiàng)系數(shù)和等于零，由此得到關(guān)于形式解(4)中各項(xiàng)的系數(shù)ai和c,k的一個(gè)非線性代數(shù)方程組。

步驟4：利用吳消元法求解代數(shù)方程組，確定待定量ai,c,k。

步驟5：將上面求得的ai帶入解(4)中，即可得到方程的形式解。

步驟6：將c,k分別帶入式(6)～(16)，得出的精確形式再帶入式(4)的形式解中，可最終獲得方程解的精確解。

從上可以看出，非線性代數(shù)方程組，不僅計(jì)算量大，而且可能無法直接求解，而吳消元法為其求解建立了完備的理論。利用吳消元法，并借助符號(hào)計(jì)算系統(tǒng)Maple使求解成為可能。

2 方法應(yīng)用

2.1Benjamin-Bona-Mahonye方程

考慮如下形式BBM方程：

ut+αux+βuux-γuxxt=0

(17)

將式(2)帶入式(17)，將其轉(zhuǎn)化為常微分方程：

(α-ck)φ'+βφφ'+cγk2φ'''=0

(18)

其中，φ'=dφ/dξ。

平衡式(18)中的φφ'和φ'''兩項(xiàng),得到等式m+3=2m+1，解得m=2。

于是，可設(shè)方程解的形式如下：

φ(ξ)=a0+a1f(ξ)+a2f(ξ)2

(19)

將式(19)和式(5)帶入式(18)，然后合并f(ξ)的同次冪項(xiàng)系數(shù)，得到非線性代數(shù)方程組：

(20)

求解式(20)可得：

(21)

其中，k,a2為任意常數(shù)。

將所求得的式(21)帶入式(19)中得到BBM方程的形式解：

(22)

再將式(6)～(16)的結(jié)果分別帶入式(22)，可獲得如下七組解：

解1：

當(dāng)λ=0,μ=0時(shí)

(23)

解2：

當(dāng)λ=0,μ>0時(shí)

(24)

a2μcot[(ξ+C0)]2

(25)

解3：

當(dāng)λ=0,μ<0時(shí)

a2μtanh[(ξ+C0)]2

(26)

a2μcoth[(ξ+C0)]2

(27)

BBM方程是刻畫波隨時(shí)間演化的模型方程，該精確解析解不但給出了波的形狀，也精確刻畫了解隨時(shí)間的演化圖。

當(dāng)α=1,β=1,γ=5,μ=-1,a2=0.002,k=0.8,C0=0時(shí)，式(26)精確解析解如圖1所示。

圖1 式(26)精確解析解

α=1,β=2,γ=1,μ=-1,a2=2,k=1,C0=0時(shí)，式(27)精確解解析如圖2所示。

圖2 式(27)精確解析解

解4：

當(dāng)λ≠0,μ=0時(shí)

a2λf(ξ)+a2f(ξ)2

(28)

解5：

當(dāng)λ≠0,μ≠0,λ2-4μ>0時(shí)

(29)

(30)

解6：

當(dāng)λ≠0,μ≠0,λ2-4μ=0時(shí)

a2λf(ξ)+a2f(ξ)2

(31)

解7：

當(dāng)λ≠0,μ≠0,λ2-4μ<0時(shí)

(32)

2.2Burgers方程

考慮如下形式的Burgers方程：

ut+uux+puxx=0

(33)

將式(2)帶入式(32)，將其轉(zhuǎn)化為常微分方程：

-cφ'+kφφ'+k2pφ''=0

(34)

其中φ'=dφ/dξ。

平衡(33)式中的φφ'和φ''兩項(xiàng)，得到等式m+2=2m+1，解得m=1。于是設(shè)方程解的形式為：

φ(ξ)=a0+a1f(ξ)

(35)

將式(34)和式(5)帶入式(33)，然后合并f(ξ)的同次冪項(xiàng)系數(shù)，同樣可得如下非線性代數(shù)方程組：

(36)

求解非線性代數(shù)方程組(35)可得：

(37)

其中，a0,k為任意常數(shù)。

將所求得的式(36)帶入式(34)中可得Burgers方程的形式解：

u(x,t)=a0-2pkf(ξ)

(38)

再將式(6)～(16)的結(jié)果分別帶入式(37)，可獲得Burgers方程如下七組解：

解1：

當(dāng)λ=0,μ=0時(shí)

(39)

其中，ξ=kx-ka0t，k,a0為任意常數(shù)。

解2：

當(dāng)λ=0,μ>0時(shí)

(40)

(41)

其中，ξ=kx-ka0t，k,a0為任意常數(shù)。

解3：

當(dāng)λ=0,μ<0時(shí)

(42)

(43)

其中，ξ=kx-ka0t，k,a0為任意常數(shù)。

這兩個(gè)解也給出了波的形狀，精確刻畫了解隨時(shí)間的演化圖。

a0=0.05,p=1,k=2,μ=-1,C0=0時(shí)，式(42)精確解析解如圖3所示。

圖3 式(42)精確解析解

a0=2,p=1,k=2,μ=-1,C0=0時(shí)，式(43)精確解析解如圖4所示。

圖4 式(44)精確解析解

解4：

當(dāng)λ≠0,μ=0時(shí)

u(x,t)=a0-2pkf(ξ)

(44)

其中，ξ=kx-(pk2λ+ka0)t，k,a0為任意常數(shù)，f(ξ)為式(11)。

解5：

當(dāng)λ≠0,μ≠0,λ2-4μ>0時(shí)

u(x,t)=a0-2pkf(ξ)

(45)

其中，ξ=kx-(pk2λ+ka0)t，k,a0為任意常數(shù)，f(ξ)為分別為式(12)、(13)。

解6：

當(dāng)λ≠0,μ≠0,λ2-4μ=0時(shí)

u(x,t)=a0-2pkf(ξ)

(46)

其中，ξ=kx-(pk2λ+ka0)t，k,a0為任意常數(shù)，f(ξ)為式(14)。

解7：

當(dāng)λ≠0,μ≠0,λ2-4μ<0時(shí)

u(x,t)=a0-2pkf(ξ)

(47)

其中，ξ=kx-(pk2λ+ka0)t，k,a0為任意常數(shù)，f(ξ)分別為式(15)、(16)。

3 結(jié)束語

為了求解非線性偏微分方程的精確解，基于方程形式解假設(shè)，通過行波變換并引入輔助方程得到了一個(gè)代數(shù)方程組，可獲得相關(guān)的精確解。所提出的輔助方程在系數(shù)λ,μ取值不同時(shí)，所獲得的解的形式也不相同，其中包括了可較好刻畫波的演化性質(zhì)的孤立波解。研究結(jié)果表明，所提出的輔助函數(shù)方法已可適用于一部分非線性偏微分方程和方程組的構(gòu)造和分析中。

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AuxiliaryFunctionMethodforExactSolutionofNonlinearPartialDifferentialEquation

YANG Jian，LAI Xiao-xia

(School of Computer Science，Shaanxi Normal University，Xi’an 710119,China)

In mathematics and physics,a nonlinear partial differential equation is a partial differential equation with nonlinear terms，which can describe many different physical models ranging from gravitation to fluid dynamics,and have been adopted in mathematics to solve problems such as the Poincaré conjecture and the Calabi conjecture.There are almost no general solutions that can be applied for all equations.Nonlinear partial differential equation usually originates from mathematical and physical fields,such that the ansatz of the solutions has been given and an auxiliary function has been provided according to its mathematical and physical features.They can be transmitted to an ordinary differential equations via a traveling wave transformation.Through introduction of the auxiliary function into the ordinary differential equation a set of nonlinear algebra equations is acquired,which can supply solutions original partial differential equation in solving process.Therefore,BBM equation and Burgers equation can be solved with the auxiliary function.The exact solutions include tangent function and trigonometric functions.The research shows that the proposed auxiliary function method can be applied to solve some other nonlinear partial differential equations with mathematical and physical background.

nonlinear partial differential equation;auxiliary function method;BBM equation;Burgers equation;exact solution

2016-10-18

2017-02-13 < class="emphasis_bold">網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間

時(shí)間：2017-07-19

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11471004)

楊 健(1991-)，男，碩士研究生，研究方向?yàn)榉蔷€性計(jì)算和符號(hào)推導(dǎo)。

http://kns.cnki.net/kcms/detail/61.1450.TP.20170719.1108.022.html

TP39

A

1673-629X(2017)11-0196-05

10.3969/j.issn.1673-629X.2017.11.042