劉祥， 孫秦

西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院， 西安 710072

多回路氣動(dòng)伺服彈性系統(tǒng)穩(wěn)定裕度的變結(jié)構(gòu)μ分析方法

劉祥， 孫秦*

西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院， 西安 710072

作為一個(gè)多輸入多輸出(MIMO)系統(tǒng)，氣動(dòng)伺服彈性系統(tǒng)的各控制回路是相互耦合的，但對(duì)于各控制回路的穩(wěn)定裕度目前尚無(wú)統(tǒng)一的計(jì)算方法。針對(duì)MIMO控制系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度計(jì)算問(wèn)題，首先分析了現(xiàn)有的回差陣奇異值方法和μ分析方法，并指出了2種方法各自保守性的來(lái)源。在此基礎(chǔ)上，提出了一種變結(jié)構(gòu)μ分析方法，通過(guò)迭代調(diào)整擾動(dòng)模型結(jié)構(gòu)來(lái)求解穩(wěn)定裕度，并從理論上證明了算法的單調(diào)收斂特性。以某彈性飛機(jī)的陣風(fēng)減緩控制系統(tǒng)為例進(jìn)行了穩(wěn)定裕度分析。3種方法結(jié)果的對(duì)比表明，本文方法能夠有效降低分析結(jié)果的保守性。

氣動(dòng)伺服彈性； 多輸入多輸出系統(tǒng)； 耦合； 穩(wěn)定裕度； 變結(jié)構(gòu)μ分析

作為涉及柔性飛行器結(jié)構(gòu)、非定常氣動(dòng)力和飛行控制系統(tǒng)三者相互作用的多學(xué)科技術(shù)，氣動(dòng)伺服彈性技術(shù)已成為現(xiàn)代飛行器設(shè)計(jì)的關(guān)鍵內(nèi)容。由于關(guān)系到飛行安全，氣動(dòng)伺服彈性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析問(wèn)題一直備受研究者關(guān)注[1-2]。在實(shí)際工程中，要實(shí)現(xiàn)機(jī)動(dòng)控制、載荷減緩、乘坐品質(zhì)改善及顫振抑制等目的需要多個(gè)控制面的參與，這使控制系統(tǒng)具有多個(gè)輸入輸出通道，如何有效分析并衡量控制回路的擾動(dòng)穩(wěn)定性依然是具有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題。

經(jīng)典單輸入單輸出(SISO)線性系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度一般通過(guò)幅值裕度和相位裕度來(lái)度量，且有多種精確計(jì)算方法。然而對(duì)于各回路之間存在耦合的多輸入多輸出(MIMO)線性系統(tǒng)，若直接采用SISO線性系統(tǒng)的分析方法來(lái)求解穩(wěn)定裕度，得到的結(jié)果往往不盡人意[3]。文獻(xiàn)[4-5]通過(guò)在控制回路中引入對(duì)角擾動(dòng)矩陣并計(jì)算回差陣最小奇異值的方法，得到了MIMO線性系統(tǒng)各控制回路的幅值和相位同時(shí)變化時(shí)的穩(wěn)定裕度，并獲得了廣泛的工程應(yīng)用[6-7]。Doyle[8]通過(guò)定義結(jié)構(gòu)奇異值μ(ω)來(lái)分析具有結(jié)構(gòu)不確定性的MIMO線性系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性。此后，Lind和Brenner[9]提出了基于μ分析的多回路系統(tǒng)穩(wěn)定性評(píng)估方法，可用來(lái)確定不同類(lèi)型的模型不確定性同時(shí)存在時(shí)氣動(dòng)伺服彈性系統(tǒng)的穩(wěn)定飛行范圍。Tsao等[10]在μ方法的基礎(chǔ)上通過(guò)構(gòu)造雙線性變換模型給出了判斷多回路系統(tǒng)是否滿足給定幅值和相位裕度的充分條件。Vartio等[11]采用μ方法檢驗(yàn)了多回路系統(tǒng)的幅值裕度和相位裕度。針對(duì)具有多個(gè)實(shí)參數(shù)擾動(dòng)的系統(tǒng)，文獻(xiàn)[12-13]根據(jù)映射理論提出了一種穩(wěn)定裕度的精確計(jì)算方法，但這種算法的復(fù)雜度太高且迭代計(jì)算量過(guò)大。Al-Shamali等[14]基于頻域下的Nyquist理論定義了臨界擾動(dòng)半徑與臨界方向等概念，并以此為基礎(chǔ)計(jì)算SISO線性系統(tǒng)的Nyquist魯棒穩(wěn)定裕度，Son等[15]將這一理論推廣到了MIMO線性系統(tǒng)。李信棟和茍興宇[16]利用系統(tǒng)回差陣提出了2種穩(wěn)定裕度改進(jìn)方法，并將兩者的結(jié)果與回差陣奇異值法的結(jié)果綜合得到了保守性相對(duì)較低的結(jié)果。

針對(duì)多回路氣動(dòng)伺服彈性系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度問(wèn)題，本文首先分析了現(xiàn)有的回差矩陣奇異值方法和μ分析方法，發(fā)現(xiàn)回差陣奇異值方法的保守性來(lái)自于方法本身，而μ分析方法的保守性主要是因建模時(shí)擾動(dòng)模型的構(gòu)造方式所致。為此，本文提出了一種變結(jié)構(gòu)μ分析方法，通過(guò)迭代調(diào)整擾動(dòng)模型的結(jié)構(gòu)求解多回路控制系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度，可較好地提高穩(wěn)定裕度估計(jì)精度，并對(duì)迭代參數(shù)施加約束以保證算法的快速收斂特性。最后，以一彈性飛機(jī)為例，采用不同方法計(jì)算比較了其陣風(fēng)減緩控制系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度，驗(yàn)證了本文方法的優(yōu)勢(shì)。

1 回差陣奇異值法

本節(jié)對(duì)回差陣奇異值法進(jìn)行理論推導(dǎo)。系統(tǒng)模型如圖1所示，其中P(s)和K(s)分別為被控對(duì)象和控制系統(tǒng)，定義系統(tǒng)回差陣為I+K(s)P(s)。在輸入端引入擾動(dòng)量測(cè)陣

E(s)=diag{klexp(iφl(shuí))}l=1,2,…,n

(1)

若閉環(huán)系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的，則回差陣必滿足det(I+KPE)≠0，根據(jù)奇異值的性質(zhì)，則有

(2)

穩(wěn)定裕度即研究系統(tǒng)在穩(wěn)定范圍內(nèi)，量測(cè)陣

圖1 系統(tǒng)模型
Fig.1 System model

E(s)中kl和φl(shuí)同時(shí)變化的最大容許值。由E(s)的定義可知kl不為零，故E(s)非奇異。而由原閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定可知I+KP非奇異，利用矩陣分離特性可得

I+KPE=

(3)

進(jìn)一步，若閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定則

(4)

(5)

結(jié)合式(4)和式(5)可得系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件為

(6)

應(yīng)用式(1)，式(6)等價(jià)于

(7)

記回差陣最小奇異值為m,根據(jù)式(7)，分別令所有φl(shuí)=0°或所有kl=1，可得到多回路線性系統(tǒng)的幅值裕度GM和相位裕度PM表達(dá)式為

(8)

通過(guò)上面的分析可看出，保證系統(tǒng)穩(wěn)定的條件式(6)是一個(gè)保守條件。對(duì)于某些具體問(wèn)題，這種近似可能帶來(lái)過(guò)大的保守性，以致影響到對(duì)控制系統(tǒng)的選擇和評(píng)估。

2 μ分析方法

本節(jié)介紹多回路系統(tǒng)穩(wěn)定裕度的μ分析方法。μ方法的基本處理途徑是將模型分解為名義模型部分(即確定性部分)和幅值有限的不確定性部分。為此，將式(1)中的擾動(dòng)量測(cè)陣表示為

E(s)=I+Δ=diag{klexp(iφl(shuí))}

l=1,2,…,n

(9)

式中：Δ為對(duì)角復(fù)數(shù)不確定性矩陣，即

Δ=diag{δ1,δ2,…,δn}δl∈C;l=1,2,…,n

結(jié)合式(9)，圖1可轉(zhuǎn)換為圖2中的魯棒穩(wěn)定性分析結(jié)構(gòu)，其中系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣為

圖2 魯棒穩(wěn)定性分析結(jié)構(gòu)
Fig.2 Robust stability analysis structure

(10)

對(duì)于M∈Cn×n，定義其結(jié)構(gòu)奇異值為

μΔ(M)=

(11)

若無(wú)Δ1∈Δ使det(I-MΔ1)=0，則μΔ(M)=0。

從式(11)中的定義可以看出，μΔ(M)的倒數(shù)是導(dǎo)致反饋系統(tǒng)失穩(wěn)的攝動(dòng)量最小值。因此可得到閉環(huán)系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定的充要條件為

(12)

結(jié)合式(9)，式(12)等價(jià)于

l=1,2,…,n

(13)

分別令所有φl(shuí)=0° 或所有kl=1，可得到幅值裕度GM和相位裕度PM表達(dá)式為

(14)

通過(guò)以上分析可以看出，式(12)是圖2中模型魯棒穩(wěn)定的充要條件。但因式(9)中Δ各對(duì)角元素的幅值|δl|與E(s)各對(duì)角元素的幅值|kl|之間并非單調(diào)關(guān)系，從M的魯棒穩(wěn)定性出發(fā)估計(jì)圖1中系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度勢(shì)必會(huì)為結(jié)果引入保守性。另外，式(14)中幅值裕度與相位裕度間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系并不符合客觀情況，這也從另一方面證實(shí)了此方法的保守性。

3 變結(jié)構(gòu)μ分析方法

為克服式(9)中由擾動(dòng)量測(cè)陣的構(gòu)造方法產(chǎn)生的保守性。在其基礎(chǔ)上引入?yún)?shù)γ并重新定義E(s)為

E(s)=γI+Δ=diag{klexp(iφl(shuí))}

l=1,2,…,n

(15)

此時(shí)圖1的等價(jià)模型如圖3所示。

圖3 有攝動(dòng)的多回路系統(tǒng)
Fig.3 Multiloop system with perturbation

以式(15)為基礎(chǔ)構(gòu)造圖2中所示的魯棒穩(wěn)定性分析模型，可得

(16)

對(duì)應(yīng)不同的γ取值，可求得不同的幅值裕度和相位裕度。下面對(duì)γ的取值方法進(jìn)行討論。

當(dāng)固定γ的取值時(shí)，由式(12)和式(15)可知閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為

l=1,2,…,n

(17)

式中:μΔ,γ(M)為給定γ時(shí)的結(jié)構(gòu)奇異值。令式(17)中所有φl(shuí)=0° 可得

l=1,2,…,n

(18)

(19)

令式(17)中所有kl=1可得

(20)

易推得式(20)有解的充分必要條件為

(21)

這等價(jià)于

(22a)

(22b)

即γ在取值時(shí)必須滿足式(22a)和式(22b)的約束。

(23)

將式(22a)和式(23)兩側(cè)分別相加可得

(24)

參考式(24)，以γ為參變量迭代求解圖3中多回路系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度。令初始值為1，取迭代公式為

(25)

定理1根據(jù)式(25)迭代求解穩(wěn)定裕度時(shí)，增益裕度單調(diào)遞增且收斂。

證明證明過(guò)程分以下2步：首先證明增益上界隨γ的增大而增大，再證明迭代過(guò)程中增益裕度的單調(diào)收斂性。

1) 對(duì)于第j次和第j+1次迭代，由式(17)可知其幅值和相位邊界分別滿足

(26a)

(26b)

這2條邊界必有交點(diǎn)。當(dāng)γj+1>γj時(shí)，易知在交點(diǎn)處式(26)各變量滿足圖4中的三角形關(guān)系。

此時(shí)，2次迭代過(guò)程中的增益上界滿足

|AD|+|CD|-|AB|-|CB|=

|BD|+|CD|-|CB|>0

(27)

即增益上界隨γ的增大而增大。

2) 當(dāng)γ=γ1時(shí)顯然滿足式(22a)和式(22b)?，F(xiàn)假設(shè)γ=γj時(shí)同樣滿足式(22a)和式(22b)，則當(dāng)γ=γj+1時(shí)滿足

圖4 變量關(guān)系圖
Fig.4 Variable relation graph

j=1,2,…

(28)

由數(shù)學(xué)歸納法知γ是單調(diào)遞增的，故迭代過(guò)程中增益上界也是單調(diào)遞增的。參考圖4可得，增益下界滿足

|AD|-|CD|-|AB|+|CB|=

|BD|+|CB|-|CD|>0

(29)

(30)

即增益下界收斂于1。式(30)即可作為迭代過(guò)程的收斂判據(jù)。

綜上可知，增益裕度單調(diào)遞增且收斂。定理1得證。

實(shí)際上每次迭代過(guò)程得到的穩(wěn)定區(qū)域邊界與系統(tǒng)的真實(shí)穩(wěn)定區(qū)域邊界至少有1個(gè)交點(diǎn)，而各次迭代得到的穩(wěn)定區(qū)域的并集可以一定程度上逼近實(shí)際的穩(wěn)定區(qū)域，因此在迭代過(guò)程中減小γ的增量可以得到保守性更低的穩(wěn)定區(qū)域。但為了加速幅值裕度的收斂過(guò)程仍依據(jù)式(25)更新γ參數(shù)。雖然在迭代過(guò)程中相位裕度并無(wú)單調(diào)收斂特性，但可以通過(guò)將其取為各次迭代中的最大值以最大程度地降低保守性。

根據(jù)以上討論可將迭代過(guò)程描述如下：

1) 令迭代序號(hào)j=1，γj=1，PM=0°。

2) 根據(jù)式(16)求解M，并根據(jù)μ分析理論計(jì)算結(jié)構(gòu)奇異值μj。

(31)

若PM<φj，則令φj→PM，其中“→”表示賦值運(yùn)算。

4) 判斷迭代是否收斂。若是，轉(zhuǎn)至步驟5)；否則根據(jù)式(25)更新γ，并令j+1→j，再轉(zhuǎn)至步驟2)。

5) 按式(32)計(jì)算GM，結(jié)束循環(huán)。

(32)

需要注意的是，本文針對(duì)的是多輸入多輸出系統(tǒng)控制回路的穩(wěn)定裕度計(jì)算問(wèn)題，因此并未具體考慮模型的參數(shù)不確定性和未建模不確定性，這似乎限制了本文方法的用途。但實(shí)際上并非如此，這可以從以下2個(gè)方面解釋?zhuān)?/p>

首先，本文的穩(wěn)定裕度計(jì)算問(wèn)題是一個(gè)相對(duì)獨(dú)立的問(wèn)題，對(duì)于系統(tǒng)參數(shù)變化或建模誤差較小情況下的系統(tǒng)穩(wěn)定裕度可得到相對(duì)其他方法保守性更低的結(jié)果。

其次，對(duì)于模型的參數(shù)不確定性或未建模不確定性不可忽略的情況，可將其此類(lèi)不確定性加入文中的算法結(jié)構(gòu)，并與式(9)中代表回路增益和幅值變化的復(fù)數(shù)不確定塊Δ合并為階數(shù)更高的不確定塊。然后通過(guò)調(diào)整算法結(jié)構(gòu)可以進(jìn)一步分析此類(lèi)模型的控制回路穩(wěn)定裕度。但這樣處理的價(jià)值和意義有待商榷，因?yàn)閷?duì)于模型不確定性不可忽略的情況，系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性分析結(jié)果往往是以不確定參數(shù)或未建模不確定性的魯棒穩(wěn)定范圍的形式給出[9]，且已有成熟的分析方法。當(dāng)然，也可以將本文方法直接應(yīng)用于名義模型，得到的穩(wěn)定裕度結(jié)果可以作為前述結(jié)果的補(bǔ)充，從控制回路的角度反映閉環(huán)系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性。

4 算 例

4.1 算例模型1

為驗(yàn)證本文方法的有效性，首先對(duì)文獻(xiàn)[16]中的雙輸入雙輸出控制系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定裕度分析。被控對(duì)象和控制器的傳遞函數(shù)矩陣分別為

表2給出了分別由本文方法、回差陣奇異值法和μ分析方法計(jì)算出的控制回路穩(wěn)定裕度。易知本文的變結(jié)構(gòu)μ分析方法具有最低的保守性。

表1 增益上界、增益下界和相位裕度的收斂過(guò)程Table 1 Convergence process of ， and PM

表2 不同方法對(duì)算例1的穩(wěn)定裕度計(jì)算結(jié)果

4.2 算例模型2

以文獻(xiàn)[17]中的彈性飛機(jī)模型為基礎(chǔ)，對(duì)設(shè)計(jì)出的H∞陣風(fēng)減緩控制系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定裕度分析。飛機(jī)的氣動(dòng)力模型如圖5所示，飛行馬赫數(shù)和高度分別為0.3和5 000 m。具體模型數(shù)據(jù)見(jiàn)文獻(xiàn)[18]。

圖5 飛機(jī)氣動(dòng)力模型
Fig.5 Airplane aerodynamic model

在構(gòu)造全機(jī)狀態(tài)空間模型時(shí)，結(jié)構(gòu)模態(tài)取為全機(jī)對(duì)稱(chēng)的前7階彈性模態(tài)及剛體俯仰和沉浮模態(tài)。在構(gòu)造時(shí)域非定常氣動(dòng)力模型時(shí)，采用最小狀態(tài)法[17]對(duì)由ZAERO軟件計(jì)算得到的頻域廣義氣動(dòng)力進(jìn)行拉氏域有理擬合，選取4個(gè)氣動(dòng)力滯后根并對(duì)其進(jìn)行非線性?xún)?yōu)化以減小擬合誤差。滯后根最終取值為[-0.110 -0.297 -0.307 -0.530]。傳感器輸出為重心處俯仰速率及翼尖過(guò)載，控制面采用升降舵和副翼，對(duì)應(yīng)的舵機(jī)傳遞函數(shù)均為

采用離散“1-cos”型陣風(fēng)模型，垂直陣風(fēng)速度在飛行軌跡方向的分布如圖6所示。

根據(jù)MATLAB的魯棒控制工具箱設(shè)計(jì)H∞控制器，設(shè)計(jì)目標(biāo)為減緩陣風(fēng)引起的翼根彎矩和俯仰速率響應(yīng)。因控制器的設(shè)計(jì)過(guò)程與本文主題無(wú)關(guān)，故在此不予贅述，而僅在附錄A中給出其降階后的狀態(tài)空間模型。易知控制系統(tǒng)為雙輸入雙輸出的多回路耦合系統(tǒng)，系統(tǒng)框圖如圖7所示。圖8給出了翼根彎矩和俯仰速率的開(kāi)環(huán)和閉環(huán)離散陣風(fēng)響應(yīng)。從圖中可看出閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，且翼根彎矩和俯仰速率得到了有效抑制。

采用本文方法分析上述控制回路穩(wěn)定裕度時(shí)，迭代過(guò)程在第4次循環(huán)達(dá)到收斂。表3給出了由本文方法、回差陣奇異值法和μ分析方法計(jì)算出的控制回路穩(wěn)定裕度結(jié)果，可以看出本文方法的保守性最低。為保持閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，兩條控制回路的相位不變時(shí)可容許的最大增益為8.68 dB；兩條回路的增益不變時(shí)可容許的最大相位滯后為63.0°。

圖6 離散陣風(fēng)
Fig.6 Discrete gust

圖7 彈性飛機(jī)陣風(fēng)減緩控制方案
Fig.7 Gust alleviation control scheme of elastic aircraft

下面進(jìn)一步通過(guò)時(shí)域仿真對(duì)上述結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。根據(jù)計(jì)算結(jié)果可知各回路相位不變時(shí)幅值可同時(shí)增大2.71倍。圖9(a)分別給出了幅值同時(shí)增大2.71倍時(shí)翼尖過(guò)載及飛機(jī)俯仰速率的陣風(fēng)響應(yīng)，圖9(b)分別給出了幅值同時(shí)增大2.74倍時(shí)翼尖過(guò)載及飛機(jī)俯仰速率的陣風(fēng)響應(yīng)。

從圖9可以看出，控制回路增益同時(shí)增大2.71 倍時(shí)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，而增益繼續(xù)增大到2.74倍時(shí)系統(tǒng)臨界不穩(wěn)定。由上述結(jié)果可知，利用本文提出的變結(jié)構(gòu)μ分析方法得到的穩(wěn)定裕度已足夠逼近系統(tǒng)真實(shí)穩(wěn)定裕度。

圖8 翼根彎矩和俯仰速率的離散陣風(fēng)響應(yīng)
Fig.8 Wing root bending moment and pitch rate response to discrete gust

表3 不同方法對(duì)算例2的穩(wěn)定裕度計(jì)算結(jié)果

圖9 k=2.71和k=2.74時(shí)翼尖過(guò)載及俯仰速率的陣風(fēng)響應(yīng)
Fig.9 Wing tip overload and pitch rate response to gust with k=2.71 and k=2.74

5 結(jié) 論

1) 建立的變結(jié)構(gòu)μ分析方法能夠方便求解氣動(dòng)伺服彈性系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度，并具有比已有方法更小的保守性。

2) 建立的變結(jié)構(gòu)μ分析方法在迭代過(guò)程具有單調(diào)收斂特性，能夠快速求解系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度，且迭代次數(shù)并不隨問(wèn)題規(guī)模的增大而增大。

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Variable-structureμsynthesismethodforstabilitymarginofmultiloopaeroservoelasticsystem

LIUXiang,SUNQin*

SchoolofAeronautics,NorthwesternPolytechnicalUniversity,Xi’an710072,China

Aeroservoelasticsystemisamulti-input-multi-output(MIMO)systemwithitscontrolloopscoupledwitheachother,whilecurrentlythereisnounifiedtheoryinregardtothestabilitymarginofthecontrolloops.Thispaperaddressesthisproblembyfirstanalyzingtheexistingreturndifferencematrixmethodandtheμsynthesismethod,andthenproposinganewmethodtoreducetheconservativenessduringanalysis.Thisnewmethod,calledthevariable-structureμsynthesismethod,solvesthestabilitymarginthroughadjustingtheperturbationmodelinseveraliterationsandisprovedtohavefastconvergenceproperty.Finally,differentmethodsareusedtocalculatethestabilitymarginsofthegustalleviationsystemofaflexibleaircraft,andtheresultsshowthattheproposedapproachislessconservativecomparedwiththeexistingmethods.

aeroservoelasticity;multi-input-multi-outputsystem;coupling;stabilitymargin;variable-structureμsynthesis

2016-04-21；Revised2016-05-19；Accepted2016-06-21；Publishedonline2016-06-270836

URL：www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20160627.0836.004.html

.E-mailsunqin@nwpu.edu.cn

2016-04-21；退修日期2016-05-19；錄用日期2016-06-21； < class="emphasis_bold">網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間

時(shí)間：2016-06-270836

www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20160627.0836.004.html

＊

.E-mailsunqin@nwpu.edu.cn

劉祥， 孫秦． 多回路氣動(dòng)伺服彈性系統(tǒng)穩(wěn)定裕度的變結(jié)構(gòu)μ分析方法J． 航空學(xué)報(bào),2017,38(4):120350.LIUX,SUNQ.Variable-structureμsynthesismethodforstabilitymarginofmultiloopaeroservoelasticsystemJ.ActaAeronauticaetAstronauticaSinica,2017,38(4):120350.

http://hkxb.buaa.edu.cnhkxb@buaa.edu.cn

10.7527/S1000-6893.2016.0201

V249.1

A

1000-6893(2017)04-120350-09

(責(zé)任編輯： 鮑亞平， 張晗)

附錄A:

控制器狀態(tài)空間方程為

yc=Ccxc+Dcuc

式中：xc、uc和yc分別為控制器的狀態(tài)變量、輸入和輸出；Ac、Bc、Cc和Dc分別為系數(shù)矩陣，取值如下：

Ac=

a11=-61.714 4,a12=328.244 5,a21=-328.244 5,a22=-61.714 4,a33=-224.140 3,a34=161.166 2,a43=-161.166 2，a44=-224.140 3,a55=-40.325 9,a56=244.077 8,a65=-244.077 8,a66=-40.325 9,a77=-18.982 0,a78=234.244 1,a87=-234.244 1,a88=-18.982 0,a99=-13.043 2,a9 10=211.119 6,a10 9=-211.119 6,a10 10=-13.043 2,a11 11=-53.624 0,a11 12=65.750 4,a12 11=-65.750 4,a12 12=-53.624 0,a13 13=-62.856 0,a14 14=-17.728 9,a14 15=63.133 9,a15 14=-63.133 9,a15 15=-17.728 9,a16 16=-24.524 5,a16 17=54.873 4,a17 16=-54.873 4,a17 17=-24.524 5,a18 18=-9.759 7,a19 19=-0.005 1,a20 20=-0.936 1