田旭， 李杰

西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院， 西安 710072

一種改進(jìn)的果蠅優(yōu)化算法及其在氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)中的應(yīng)用

田旭， 李杰*

西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院， 西安 710072

果蠅優(yōu)化算法(FOA)是一種新的群體智能優(yōu)化算法，具有良好的全局收斂特性。為進(jìn)一步提高FOA的尋優(yōu)性能，將其引入到氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)中，發(fā)展形成了改進(jìn)的果蠅優(yōu)化算法(IFOA)。IFOA通過(guò)引入慣性權(quán)重函數(shù)動(dòng)態(tài)調(diào)整搜索步長(zhǎng)，有效實(shí)現(xiàn)了算法全局搜索和局部搜索之間的動(dòng)態(tài)平衡，提高了算法整體搜索效率和尋優(yōu)精度；對(duì)于多維優(yōu)化問(wèn)題，IFOA每次搜索僅隨機(jī)擾動(dòng)其中一個(gè)決策變量，并在每個(gè)迭代步內(nèi)將所有優(yōu)秀果蠅個(gè)體(可行解)結(jié)合產(chǎn)生一個(gè)全新的果蠅個(gè)體進(jìn)行一次搜索，大大加快了算法的收斂速度。函數(shù)測(cè)試結(jié)果表明，IFOA顯著提高了FOA的尋優(yōu)性能。將IFOA 應(yīng)用到氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)中，翼型反設(shè)計(jì)和單/多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)的算例表明，IFOA是一種簡(jiǎn)單高效的優(yōu)化方法，可廣泛應(yīng)用于氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)。

果蠅優(yōu)化算法； 味道濃度； 搜索步長(zhǎng)； 翼型； 氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)

飛行器氣動(dòng)外形優(yōu)化設(shè)計(jì)是現(xiàn)代航空工程實(shí)踐中的關(guān)鍵問(wèn)題之一。傳統(tǒng)的氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法不但嚴(yán)重依賴于設(shè)計(jì)人員的設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)，而且需要消耗大量的人力、物力和財(cái)力。近年來(lái)，隨著最優(yōu)化理論和CFD技術(shù)的快速發(fā)展，采用最優(yōu)化方法進(jìn)行飛行器氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)成為主要手段之一。最優(yōu)化方法分為局部最優(yōu)化方法和全局最優(yōu)化方法，局部最優(yōu)化方法諸如最速下降法、共軛梯度法等優(yōu)化效率較高，但由于算法的局部搜索特性，優(yōu)化過(guò)程容易陷入局部最優(yōu)而得不到全局最優(yōu)解；全局最優(yōu)理論與算法遠(yuǎn)沒(méi)有局部最優(yōu)算法成熟，但其良好的全局尋優(yōu)特性彌補(bǔ)了局部最優(yōu)算法在解決多峰問(wèn)題中的不足，受到人們的廣泛關(guān)注。以遺傳算法為代表的啟發(fā)式智能優(yōu)化算法采用適當(dāng)?shù)臓顟B(tài)轉(zhuǎn)移規(guī)則和概率性狀態(tài)接受規(guī)則，能夠避免過(guò)早地陷入局部最優(yōu)解，具有良好的全局收斂特性。典型的啟發(fā)式智能優(yōu)化算法主要有：遺傳算法、蟻群算法、粒子群算法、模擬退火算法、禁忌搜索算法和差分進(jìn)化算法等，已經(jīng)逐漸應(yīng)用于氣動(dòng)外形的優(yōu)化設(shè)計(jì)中，取得了顯著的效果[1-4]。

果蠅優(yōu)化算法(Fruit fly Optimization Algorithm，F(xiàn)OA)[5-6]是一種基于果蠅覓食行為的啟發(fā)式智能優(yōu)化算法，由潘文超2011年提出，用于金融預(yù)警模型的研究[7]。FOA具有很好的群體智能性，和其他智能優(yōu)化算法相比，F(xiàn)OA具有算法簡(jiǎn)單、程序代碼易于實(shí)現(xiàn)、調(diào)節(jié)參數(shù)較少、計(jì)算量小、全局尋優(yōu)能力強(qiáng)且尋優(yōu)精度高等優(yōu)點(diǎn)[8]，現(xiàn)已成功應(yīng)用于求解數(shù)學(xué)函數(shù)極值、求解投資組合模型、廣義回歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)優(yōu)化與支持向量機(jī)參數(shù)優(yōu)化等諸多科學(xué)和工程領(lǐng)域[9-14]。因此，發(fā)展改進(jìn)FOA并將其引入氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)領(lǐng)域非常有必要。

本文在搜索步長(zhǎng)、尋優(yōu)策略2方面對(duì)原始的FOA進(jìn)行改進(jìn)，并結(jié)合參考文獻(xiàn)，提出了改進(jìn)的果蠅優(yōu)化算法(Improved Fruit fly Optimization Algorithm，IFOA)，使得改進(jìn)后的算法尋優(yōu)性能大大提高。將IFOA成功應(yīng)用于翼型反設(shè)計(jì)和單/多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)中，取得了良好的結(jié)果。

1 果蠅優(yōu)化算法

FOA是將果蠅尋找食物的過(guò)程進(jìn)行仿真模擬，從而形成具有全局搜索能力的優(yōu)化算法。果蠅具有敏銳的嗅覺(jué)和視覺(jué)系統(tǒng)，對(duì)食物的味道具有超強(qiáng)的感知能力，食物的味道越濃，果蠅的感知能力越強(qiáng)。果蠅個(gè)體利用其良好的嗅覺(jué)器官能迅速在空氣中捕捉到食物的味道，然后飛近食物，其他同伴利用敏銳的視覺(jué)系統(tǒng)迅速聚集到食物味道最濃的果蠅位置，果蠅搜索食物的過(guò)程就是不斷從味道濃度小的地方轉(zhuǎn)移到味道濃度大的地方，直到找到食物源，整個(gè)搜尋食物的過(guò)程如圖1所示。圖中，F(xiàn)ly group代表果蠅群體聚集位置，F(xiàn)ly則表示果蠅個(gè)體的搜尋方向，Dist為果蠅個(gè)體與原點(diǎn)之間的距離，S為距離的倒數(shù)，表示果蠅個(gè)體的味道濃度判定值，Smell為其對(duì)應(yīng)的味道濃度值，是味道濃度判定值的函數(shù)。

FOA引入了味道濃度判定值和味道濃度判定函數(shù)，其功能類(lèi)似于其他演化算法中的適應(yīng)度函數(shù)。在尋優(yōu)過(guò)程中，果蠅群體根據(jù)個(gè)體的位置和味道濃度(由味道濃度判定值和味道濃度判定函數(shù)決定)來(lái)改變自己的位置，不斷接近味道濃度最大的位置，也就是最優(yōu)解所在的位置。FOA的流程圖如圖2所示。算法具體步驟詳見(jiàn)文獻(xiàn)[5]。

圖1 果蠅群體搜索食物過(guò)程
Fig.1 Food finding process of fruit fly swarm

FOA利用果蠅群體的協(xié)作機(jī)制和信息共享機(jī)制搜尋種群最優(yōu)解，全局尋優(yōu)能力強(qiáng)，收斂精度高；FOA的優(yōu)化方程是一階微分方程，且算法采用實(shí)數(shù)編碼，因而算法較為簡(jiǎn)單，程序代碼易于實(shí)現(xiàn)，計(jì)算量較??；FOA的調(diào)節(jié)參數(shù)只有4個(gè)，顯然比其他智能優(yōu)化算法要少得多，大大減小了因參數(shù)取值不當(dāng)而對(duì)算法性能產(chǎn)生影響的機(jī)會(huì)。盡管FOA已經(jīng)在工程應(yīng)用領(lǐng)域表現(xiàn)出很大的研究?jī)r(jià)值，但也存在一些缺陷需要改進(jìn)。

原始的FOA采用固定搜索步長(zhǎng)，在尋優(yōu)過(guò)程中很難同時(shí)兼顧全局搜索能力和局部搜索能力，影響了算法的收斂速度和收斂精度。因此，如何改進(jìn)FOA使之具有良好的全局/局部搜索平衡能力是一個(gè)值得探討的問(wèn)題。

圖2 果蠅優(yōu)化算法流程圖
Fig.2 Flow chart of fruit fly optimization algorithm

FOA的另一個(gè)局限性關(guān)于味道濃度判定值。在潘文超的著作[5]中，味道濃度判定值Si定義為果蠅個(gè)體與原點(diǎn)之間距離的倒數(shù)，如此定義的Si存在3個(gè)缺陷：① 由于Si>0，故FOA不能求解定義域包含負(fù)數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題，當(dāng)然也不能直接應(yīng)用于氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)中;②Si容易導(dǎo)致算法早熟，陷入局部最優(yōu)解;③Si不服從均勻分布，減弱了算法的全局搜索能力。對(duì)此，已有部分文獻(xiàn)給出了一些解決方案[15-16]。

2 改進(jìn)的果蠅優(yōu)化算法

現(xiàn)有文獻(xiàn)中對(duì)于FOA的改進(jìn)主要從兩方面進(jìn)行研究：一是算法自身的完善和改進(jìn)[17-18]，二是將FOA與其他智能算法相結(jié)合[19-20]。本文主要針對(duì)算法自身進(jìn)行完善和改進(jìn)，使其能夠更好地應(yīng)用于氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)。

2.1 算法描述

在FOA以及各類(lèi)改進(jìn)算法中，搜索步長(zhǎng)一般分為固定搜索步長(zhǎng)和自適應(yīng)搜索步長(zhǎng)。自適應(yīng)搜索步長(zhǎng)通過(guò)引入果蠅因子(權(quán)重系數(shù))修改步長(zhǎng)公式，根據(jù)果蠅個(gè)體與最優(yōu)解之間的距離動(dòng)態(tài)地調(diào)整搜索步長(zhǎng)，從而有效地實(shí)現(xiàn)了算法全局搜索能力和局部搜索能力之間的動(dòng)態(tài)平衡。本文發(fā)展的IFOA通過(guò)引入慣性權(quán)重函數(shù)w[21]動(dòng)態(tài)調(diào)整算法的搜索步長(zhǎng)，將其分為3段：首先保持較大的搜索步長(zhǎng)，使算法在較大區(qū)域內(nèi)進(jìn)行搜索，保證算法的全局搜索能力；接著由較大搜索步長(zhǎng)逐漸過(guò)渡到較小搜索步長(zhǎng)；最后保持較小的搜索步長(zhǎng)直到算法運(yùn)行結(jié)束，使算法在較小的區(qū)域內(nèi)進(jìn)行精細(xì)化搜索，保證算法的局部搜索能力。慣性權(quán)重函數(shù)w和果蠅個(gè)體隨機(jī)搜索的表達(dá)式為

(1)

圖3 函數(shù)w的曲線
Fig.3 Curves of function w

從函數(shù)w的曲線圖可以看出，k2固定，k1越大則算法在較小搜索步長(zhǎng)下搜索時(shí)間越長(zhǎng)，局部搜索能力變強(qiáng)；反之，當(dāng)k1固定，k2越大則算法在較大搜索步長(zhǎng)下搜索時(shí)間越長(zhǎng)，全局搜索能力變強(qiáng)。圖3中的函數(shù)曲線為k1和k2的取值提供了基本的參考，可在此基礎(chǔ)上根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的需求和特點(diǎn)做相應(yīng)的調(diào)整。

對(duì)于多維優(yōu)化問(wèn)題(比如n維)，每個(gè)迭代步內(nèi)果蠅群體聚集的位置(當(dāng)前最優(yōu)變量)是一個(gè)n維向量，賦予果蠅個(gè)體隨機(jī)方向和距離也就是對(duì)該向量進(jìn)行隨機(jī)擾動(dòng)，形成新的搜索方向。為進(jìn)一步提高算法的搜索效率，IFOA在每次搜索時(shí)只針對(duì)該向量的其中一個(gè)分量進(jìn)行擾動(dòng)(每次僅隨機(jī)改動(dòng)一個(gè)決策變量)，隨后果蠅個(gè)體沿該方向搜尋食物[22]；若該果蠅個(gè)體的搜索方向更接近食物源，則記錄該方向，反之則舍棄；在每一個(gè)迭代步內(nèi)，用這些記錄的分量更新原果蠅群體聚集位置對(duì)應(yīng)的分量，組成一個(gè)新的搜索方向，也就是產(chǎn)生一個(gè)新的果蠅個(gè)體，并沿該方向進(jìn)行一次搜索；最后比較該新果蠅個(gè)體與其余果蠅個(gè)體所在位置的味道濃度與上一代最佳味道濃度的大小，記錄并轉(zhuǎn)入下一步驟。

另外，若想將FOA引入到氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)中，則必須解決算法不能處理負(fù)數(shù)定義域優(yōu)化問(wèn)題的缺陷，為此，IFOA采用文獻(xiàn)[16]中提到的方法，將果蠅個(gè)體直接作為味道濃度判定值代入味道濃度判定函數(shù)進(jìn)行計(jì)算。

基于以上分析， IFOA相比于FOA存在3點(diǎn)不同：① 采用自適應(yīng)搜索步長(zhǎng)，使得算法具有良好的全局/局部搜索平衡能力，提高了算法的搜索效率和尋優(yōu)精度；② 對(duì)于多維優(yōu)化問(wèn)題，每次搜索只隨機(jī)改動(dòng)其中一個(gè)決策變量，并且在每一個(gè)迭代步內(nèi)將所有優(yōu)秀果蠅個(gè)體結(jié)合產(chǎn)生一個(gè)新果蠅個(gè)體進(jìn)行一次搜索，加快了算法的收斂速度；③ 將果蠅個(gè)體直接作為味道濃度判定值代入味道濃度判定函數(shù)進(jìn)行計(jì)算，既保證算法在整個(gè)定義域內(nèi)均勻搜索，又解決了FOA不能處理負(fù)數(shù)定義域優(yōu)化問(wèn)題的缺陷。

2.2 算法步驟

多維(n維)優(yōu)化問(wèn)題的表達(dá)式為

minf(x1,x2,…，xn)

s.t.xj∈[LBj,UBj]j=1,2,…，n

(2)

式中:LBj和UBj分別為自變量xj的左右邊界。

求解該問(wèn)題的IFOA具體步驟如下：

步驟1參數(shù)初始化。給定果蠅種群規(guī)模sizepop，最大迭代次數(shù)maxgen，慣性權(quán)重函數(shù)的參數(shù)k1和k2。

(3)

步驟3隨機(jī)搜索。賦予果蠅個(gè)體利用嗅覺(jué)搜尋食物的隨機(jī)方向和距離。設(shè)ci=d為[1,n]之間的一個(gè)隨機(jī)整數(shù)，Xi=(xi,1,xi,2,…，xi,n)是第i個(gè)果蠅個(gè)體對(duì)應(yīng)的決策變量，則

(4)

式中：j=1,2,…,n;w和step的表達(dá)式為

(5)

若xi,j>UBj或xi,j

步驟4將味道濃度判定值Xi代入味道濃度判定函數(shù)，計(jì)算果蠅個(gè)體位置所對(duì)應(yīng)的味道濃度值Smelli，并記錄所有味道濃度優(yōu)于上代最佳味道濃度的果蠅個(gè)體所對(duì)應(yīng)的擾動(dòng)變量。

Smelli=Function(Xi)

(6)

步驟5根據(jù)味道濃度值，找出當(dāng)前果蠅群體中味道濃度最優(yōu)的果蠅個(gè)體(最優(yōu)個(gè)體)。

[bestSmell*bestIndex*]=min(Smelli)

(7)

式(7)是MATLAB求最小值的代碼形式，右邊表示求最小值，左邊表示記錄最大值bestSmell*以及所對(duì)應(yīng)的序號(hào)bestIndex*。

(8)

smellNew=Function(Xnew)

(9)

smellBest*=bestSmell*

(10)

smellBest*=smellNew

(11)

步驟9果蠅群體利用敏銳的視覺(jué)向最佳味道濃度所在位置聚集，進(jìn)入迭代尋優(yōu)直到滿足終止條件，結(jié)束算法。

在IFOA以及FOA中，參數(shù)的選取對(duì)算法的尋優(yōu)性能有重要的影響。一般而言，迭代次數(shù)越大，尋優(yōu)結(jié)果越精確，但耗時(shí)更長(zhǎng)；增加果蠅種群規(guī)模可以在一定程度上提高算法的收斂速度，但同時(shí)計(jì)算量會(huì)相應(yīng)增加，且收斂速度的提高也有限，文獻(xiàn)[14]中提到，對(duì)于大部分問(wèn)題而言，20～50個(gè)果蠅個(gè)體就可以取得不錯(cuò)的效果，但對(duì)于一些大規(guī)模復(fù)雜問(wèn)題，果蠅個(gè)體的數(shù)量有時(shí)需要取到100甚至更多。

2.3 函數(shù)測(cè)試

為了測(cè)試并分析算法的尋優(yōu)性能，選用如下3個(gè)典型的測(cè)試函數(shù)對(duì)IFOA進(jìn)行函數(shù)測(cè)試。

1) Sphere函數(shù)

(12)

式中：-10≤xi≤10,i=1，2,…，n。

Sphere函數(shù)是一個(gè)較為簡(jiǎn)單的非線性對(duì)稱(chēng)單峰函數(shù)，在xi=0(i=1,2，…,n)處取得全局最小值0，這里取n=30。

2) Rastrigin函數(shù)

(13)

式中：-5.12≤xi≤5.12,i=1,2，…，n。

Rastrigin函數(shù)是一個(gè)多峰函數(shù)，具有大量按正弦拐點(diǎn)排列的局部最優(yōu)點(diǎn)，優(yōu)化算法在求解過(guò)程中很容易陷入某一個(gè)局部最優(yōu)點(diǎn)。該函數(shù)在xi=0(i=1,2，…,n)處達(dá)到全局最小值，最小值為0，這里取n=30。

3) Shubert函數(shù)

(14)

式中：-10≤x1,x2≤10。

Shubert函數(shù)是一個(gè)多峰函數(shù)，具有大量的局部最小值點(diǎn)，全局最優(yōu)值為-186.730 9。

所有測(cè)試函數(shù)中，果蠅種群規(guī)模取為50，最大迭代次數(shù)為500，F(xiàn)OA中果蠅群體的位置區(qū)間和隨機(jī)搜索區(qū)間均取為[-10,10]，IFOA中慣性權(quán)重函數(shù)的參數(shù)取為：k1=10，k2=3。對(duì)每個(gè)測(cè)試函數(shù)均獨(dú)立進(jìn)行100次優(yōu)化觀察其結(jié)果。如果最終的尋優(yōu)結(jié)果在最優(yōu)值的2.2×10-5范圍內(nèi)，則稱(chēng)本次尋優(yōu)成功且將迭代的次數(shù)保留下來(lái)。定義兩個(gè)衡量指標(biāo)分別為成功率(PS)和平均有效迭代次數(shù)( AVIN )[16]：

(15)

(16)

式中：m為100次實(shí)驗(yàn)中成功的次數(shù)；ni為第i次成功實(shí)驗(yàn)的迭代次數(shù)。

表1列出了3個(gè)測(cè)試函數(shù)分別采用FOA和IFOA進(jìn)行100次優(yōu)化所得結(jié)果的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，表2是100次優(yōu)化的成功率和平均有效迭代次數(shù)。

表1 函數(shù)測(cè)試的均值和標(biāo)準(zhǔn)差Table 1 Mean value and standard deviation of function test

表2 函數(shù)測(cè)試的成功率和平均有效迭代次數(shù)Table 2 PS and AVIN of function test

從表1和表2的測(cè)試結(jié)果可以看出：FOA和IFOA均具有較強(qiáng)的全局尋優(yōu)能力，但FOA在求解一些特定的優(yōu)化問(wèn)題(如Shubert函數(shù)等)時(shí)表現(xiàn)較差。一方面，在調(diào)用目標(biāo)函數(shù)次數(shù)相同的條件下，無(wú)論平均值還是標(biāo)準(zhǔn)差，IFOA的優(yōu)化結(jié)果均要優(yōu)于FOA，表明IFOA相比于FOA具有更高的收斂精度；另一方面，在相同的收斂精度條件下，IFOA的平均有效迭代次數(shù)小于FOA，表明IFOA的收斂速度更快。因此，本文對(duì)FOA的改進(jìn)是有效的，與FOA相比，IFOA在求解優(yōu)化問(wèn)題時(shí)具有更快的收斂速度和更高的收斂精度，且適用性更為廣泛。

3 翼型優(yōu)化設(shè)計(jì)

翼型優(yōu)化設(shè)計(jì)是飛行器氣動(dòng)外形優(yōu)化設(shè)計(jì)的重要組成部分之一，快速有效地設(shè)計(jì)出滿足工程需要的翼型一直是科研工作者努力的目標(biāo)。本節(jié)將IFOA引入到氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)中，完成了跨聲速翼型的反設(shè)計(jì)以及單/多點(diǎn)減阻優(yōu)化設(shè)計(jì)。

3.1 翼型參數(shù)化

翼型的參數(shù)化描述對(duì)翼型的優(yōu)化設(shè)計(jì)效率和優(yōu)化結(jié)果有重要影響。解析函數(shù)線性疊加法簡(jiǎn)單實(shí)用，通過(guò)基準(zhǔn)翼型和型函數(shù)的線性疊加來(lái)表示翼型函數(shù)，其上下翼面的表達(dá)式為

(17)

式中：ybasic為基準(zhǔn)翼型坐標(biāo)；ck為設(shè)計(jì)變量；M為型函數(shù)的個(gè)數(shù)；fk(x)為所選型函數(shù)。

常用的型函數(shù)有多項(xiàng)式型函數(shù)、Hicks-Henne型函數(shù)和Wagner型函數(shù)等。本文采用改進(jìn)的Hicks-Henne型函數(shù)[23]對(duì)翼型進(jìn)行參數(shù)化描述，即在原Hicks-Henne型函數(shù)[24]后緣處增加一個(gè)函數(shù)項(xiàng)fM(x)=αx(1-x)e-β(1-x)，用以解決Hicks-Henne型函數(shù)不能改變翼型后緣夾角的缺陷，具體表達(dá)式為

(18)

本文選取16個(gè)設(shè)計(jì)變量來(lái)確定翼型，其中上下翼面各8個(gè)設(shè)計(jì)變量。

3.2 流場(chǎng)數(shù)值求解方法

本文的流場(chǎng)求解采用雷諾平均Navier-Stokes方程作為流動(dòng)控制方程，湍流模型選用B-L湍流模型。對(duì)于Navier-Stokes方程的求解，空間離散選用格心格式的中心有限體積法，時(shí)間推進(jìn)采用五步龍格-庫(kù)塔格式，采用無(wú)限插值代數(shù)網(wǎng)格生成方法生成C型結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格。為加快收斂速度，計(jì)算中采用了當(dāng)?shù)貢r(shí)間步長(zhǎng)、隱式殘值光順和多重網(wǎng)格等加速收斂措施。

為了驗(yàn)證流場(chǎng)數(shù)值求解方法的可靠性，選取了RAE2822跨聲速翼型進(jìn)行數(shù)值驗(yàn)證，計(jì)算狀態(tài)為Ma=0.729，α=2.31°，Re=6.5×106，分別采用網(wǎng)格Ⅰ(257×65)、網(wǎng)格Ⅱ(321×85)、網(wǎng)格Ⅲ(369×101)這3套不同密度的網(wǎng)格對(duì)其進(jìn)行計(jì)算。圖4給出了網(wǎng)格密度為321×85的網(wǎng)格示意圖，圖5給出了3套網(wǎng)格計(jì)算壓力系數(shù)Cp分布和實(shí)驗(yàn)結(jié)果[25]的對(duì)比。從圖中可以看出，網(wǎng)格Ⅱ和網(wǎng)格Ⅲ的計(jì)算結(jié)果都能夠很好地反映流動(dòng)規(guī)律，考慮到計(jì)算效率和準(zhǔn)確度問(wèn)題，本文后續(xù)的算例均采用321×85的網(wǎng)格密度分布進(jìn)行流場(chǎng)計(jì)算。

圖4 RAE2822翼型計(jì)算網(wǎng)格(321×85)
Fig.4 Computational grids around RAE2822 airfoil (321×85)

圖5 不同網(wǎng)格密度的計(jì)算壓力系數(shù)分布
Fig.5 Pressure coefficients distribution for different grid density

3.3 翼型反設(shè)計(jì)

對(duì)于給定目標(biāo)壓力分布的反設(shè)計(jì)問(wèn)題，其目標(biāo)函數(shù)的定義為

(19)

式中：CpT為給定的目標(biāo)壓力系數(shù)，積分區(qū)域?yàn)檎麄€(gè)翼型表面s。以NACA0012翼型為基準(zhǔn)翼型，在Ma=0.73，α=2.0°，Re=6.5×106狀態(tài)下進(jìn)行翼型反設(shè)計(jì)，目標(biāo)壓力系數(shù)分布取為RAE2822在該設(shè)計(jì)狀態(tài)下的計(jì)算壓力系數(shù)分布。

翼型反設(shè)計(jì)中取果蠅種群規(guī)模為25，最大迭代次數(shù)為50，慣性權(quán)重函數(shù)的參數(shù)分別取為：k1=10，k2=3。

圖6和圖7分別給出了初始翼型、目標(biāo)翼型和最終設(shè)計(jì)翼型的形狀以及表面壓力系數(shù)分布，從圖中可以看出，設(shè)計(jì)翼型與目標(biāo)翼型RAE2822的幾何外形以及表面壓力系數(shù)分布均吻合良好，僅在局部區(qū)域有很小的誤差，表明了本文建立的流場(chǎng)數(shù)值模擬方法和基于IFOA的氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的可靠性。

圖6 翼型幾何形狀對(duì)比
Fig.6 Comparison of airfoil shapes

圖7 翼型壓力系數(shù)分布對(duì)比
Fig.7 Comparison of pressure coefficients distribution of airfoil

3.4 單目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)

考慮超臨界翼型RAE2822在Ma=0.73，α=2.79°，Re=6.5×106設(shè)計(jì)狀態(tài)下對(duì)該翼型進(jìn)行單點(diǎn)減阻優(yōu)化設(shè)計(jì)。

優(yōu)化目標(biāo)為最小化翼型阻力系數(shù)CD，優(yōu)化過(guò)程加入升力系數(shù)CL、力矩系數(shù)Cm以及翼型面積A等約束條件。優(yōu)化目標(biāo)和約束條件的數(shù)學(xué)描述為

minCD

(20)

式中：下標(biāo)“0”指初始狀態(tài)。

翼型單點(diǎn)減阻優(yōu)化設(shè)計(jì)中取果蠅種群規(guī)模為25，最大迭代次數(shù)為50，慣性權(quán)重函數(shù)的參數(shù)分別取為：k1=10，k2=3。

圖8和圖9分別給出了優(yōu)化前后翼型的形狀以及相應(yīng)的表面壓力系數(shù)分布對(duì)比，表3為優(yōu)化前后的幾何特性以及氣動(dòng)特性，表中K為升阻比。

從翼型優(yōu)化前后的對(duì)比結(jié)果可以看出，IFOA的減阻效果是明顯的，且滿足規(guī)定的約束條件。從幾何形狀上看，優(yōu)化翼型上下表面均發(fā)生不同程度的改變，其中上表面變化較大，最大厚度位置后移，而下表面變化則較?。粡谋砻鎵毫ο禂?shù)分布上看，優(yōu)化翼型的前緣吸力峰值增大，上表面壓力過(guò)渡更為和緩，激波強(qiáng)度顯著減弱；從氣動(dòng)力上看，優(yōu)化翼型的阻力系數(shù)從初始的0.018 69減小到0.014 45，減小了22.69%，升力系數(shù)略有增加，翼型面積基本保持不變，升阻比從42.53增加到55.04，增加了29.41%，氣動(dòng)性能得到較大改善。綜合來(lái)看，翼型上表面形狀的變化對(duì)壓力系數(shù)分布的影響較大，這也反映了跨聲速流動(dòng)的特點(diǎn)。

圖8 單目標(biāo)優(yōu)化翼型幾何形狀對(duì)比
Fig.8 Comparison of airfoil shapes with single-objective optimization

圖9 單目標(biāo)優(yōu)化翼型壓力系數(shù)分布對(duì)比
Fig.9 Comparison of pressure coefficient distribution with single-objective optimization

表3 翼型單目標(biāo)優(yōu)化前后性能對(duì)比

3.5 多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)

對(duì)于多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，通常采用加權(quán)法將多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題。本節(jié)考慮兩點(diǎn)優(yōu)化問(wèn)題，仍以RAE2822作為基本翼型， 設(shè)計(jì)狀態(tài)如下：

1)Ma=0.72,α=2.7°,Re=5.5×106。

2)Ma=0.74,α=2.2°,Re=5.5×106。

在翼型面積和升力系數(shù)不減小的約束條件下，使翼型在2個(gè)設(shè)計(jì)狀態(tài)的阻力系數(shù)均減小。目標(biāo)函數(shù)和約束條件的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

minw1CD1+w2CD2

(21)

式中：CD1、CD2和CL1、CL2分別為2個(gè)設(shè)計(jì)狀態(tài)的阻力、升力系數(shù)；下標(biāo)init表示翼型初始?xì)鈩?dòng)參數(shù)；w1和w2分別為2個(gè)設(shè)計(jì)狀態(tài)下的加權(quán)因子，反映了不同設(shè)計(jì)目標(biāo)的權(quán)重，這里取w1=w2=0.5。多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)中取果蠅種群規(guī)模為20，最大迭代次數(shù)為30，慣性權(quán)重函數(shù)的參數(shù)分別取為：k1=10，k2=3。

表4給出了優(yōu)化前后翼型的幾何特性以及氣動(dòng)特性，在狀態(tài)1，翼型的阻力系數(shù)從0.015 00減小到0.014 19，減小了5.4%，狀態(tài)2的阻力系數(shù)也從0.016 87減小到0.015 10，減小了10.49%，2個(gè)設(shè)計(jì)狀態(tài)下的升力系數(shù)都略有增加，升阻比分別增加了5.75%和11.97%，翼型面積也有所增加。

圖10和圖11分別給出了2個(gè)設(shè)計(jì)狀態(tài)下的表面壓力系數(shù)分布，從圖中可以看出設(shè)計(jì)狀態(tài)1的激波強(qiáng)度減弱，前緣吸力峰值有所增大，設(shè)計(jì)狀態(tài)2的壓力系數(shù)分布也有所改善。圖12給出了優(yōu)化前后的翼型形狀對(duì)比。由于目標(biāo)函數(shù)中加權(quán)因子取值的關(guān)系，2個(gè)設(shè)計(jì)狀態(tài)下的翼型氣動(dòng)特性得到不同程度的改善，可以通過(guò)調(diào)整各設(shè)計(jì)狀態(tài)加權(quán)因子的大小來(lái)確定對(duì)應(yīng)設(shè)計(jì)狀態(tài)在優(yōu)化過(guò)程中所占的權(quán)重，從而改變最終的優(yōu)化結(jié)果。

表4 翼型多目標(biāo)優(yōu)化前后性能對(duì)比

圖10 設(shè)計(jì)狀態(tài)1壓力系數(shù)分布
Fig.10 Pressure coefficient distribution at design state 1

圖11 設(shè)計(jì)狀態(tài)2壓力系數(shù)分布
Fig.11 Pressure coefficient distribution at design state 2

圖12 多目標(biāo)優(yōu)化翼型幾何形狀對(duì)比
Fig.12 Comparison of airfoil shapes with multi-objectives optimization

4 結(jié) 論

1) IFOA在搜索步長(zhǎng)、尋優(yōu)策略兩方面對(duì)FOA的改進(jìn)，使得算法具有良好的全局/局部搜索平衡能力以及更快的收斂速度。函數(shù)測(cè)試結(jié)果表明，F(xiàn)OA和IFOA均具有較強(qiáng)的全局尋優(yōu)能力，但I(xiàn)FOA在收斂速度和收斂精度等方面優(yōu)于FOA，且適用性更為廣泛。

2) 將IFOA引入到氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)中，翼型反設(shè)計(jì)以及單/多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)的算例結(jié)果表明，IFOA只需調(diào)用較少次數(shù)的流場(chǎng)計(jì)算就可以得到較為滿意的優(yōu)化結(jié)果，表現(xiàn)出非常好的尋優(yōu)性能，是一種簡(jiǎn)單高效的優(yōu)化方法，能夠滿足氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)的需求。

3) 本文給出的幾個(gè)氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)算例相對(duì)較為簡(jiǎn)單，對(duì)于更復(fù)雜的氣動(dòng)優(yōu)化問(wèn)題，比如全機(jī)復(fù)雜構(gòu)型體的外形優(yōu)化，同時(shí)兼顧起飛、巡航以及著陸狀態(tài)的多目標(biāo)優(yōu)化等，優(yōu)化算法本身并不會(huì)有本質(zhì)區(qū)別，完全可以通用，只需考慮優(yōu)化系統(tǒng)中的流場(chǎng)求解以及參數(shù)化等問(wèn)題，也就是說(shuō)，IFOA很容易推廣到復(fù)雜氣動(dòng)優(yōu)化問(wèn)題。

FOA是一個(gè)較新的研究領(lǐng)域，目前國(guó)內(nèi)外的相關(guān)文獻(xiàn)還較少，相比遺傳算法等較為成熟的智能優(yōu)化算法來(lái)說(shuō)，F(xiàn)OA的理論和應(yīng)用研究還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠。但不可否認(rèn)，隨著人們對(duì)其研究的不斷深入，F(xiàn)OA的潛能正在不斷被挖掘出來(lái)，進(jìn)而將其應(yīng)用于解決更廣泛和復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題。

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Animprovedfruitflyoptimizationalgorithmanditsapplicationinaerodynamicoptimizationdesign

TIANXu,LIJie*

SchoolofAeronautics,NorthwesternPolytechnicalUniversity,Xi’an710072,China

Asanewswarmintelligenceoptimizationalgorithm,fruitflyoptimizationalgorithm(FOA)hasagoodpropertyofglobalconvergence.InordertofurtherimprovethesearchingperformanceofFOAanduseitforaerodynamicoptimizationdesign,anewalgorithmnamedimprovedfruitflyoptimizationalgorithm(IFOA)ispresented.ThesearchstepismodifiedbyintroducinganinertiaweightfunctiontoIFOA,andthedynamicalbalancebetweentheglobalandthelocalsearchissatisfied.Thesearchingefficiencyandaccuracyofalgorithmisintegrallyimproved.Formulti-dimensionalproblems,onlyonedecisionvariantisrandomlychangedforproducinganewsolutionineachsearch,andthenanewindividualfruitflyisproducedtogiveasearchbycombiningallexcellentindividualsintheiteration.Theconvergencespeedcanthusbegreatlyaccelerated.FunctiontestresultsshowthatIFOAhasobviouslyimprovedthesearchingperformanceofFOA.IFOAisappliedtoaerodynamicoptimizationdesign,andtheexamplesofairfoilinversedesignandsingle/multi-objectiveoptimizationdesigndemonstratethatIFOAisasimpleandefficientoptimizationmethod,andcanbewidelyusedinaerodynamicoptimizationdesign.

fruitflyoptimizationalgorithm;smellconcentration;searchstep;airfoil;aerodynamicoptimizationdesign

2016-04-27；Revised2016-05-26；Accepted2016-06-16；Publishedonline2016-06-231545

URL：www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20160623.1545.002.html

s：NationalNaturalScienceFoundationofChina(11172240);AeronauticalScienceFoundationofChina(2014ZA53002);NationalBasicResearchProgramofChina(2015CB755800)

2016-04-27；退修日期2016-05-26；錄用日期2016-06-16； < class="emphasis_bold">網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間

時(shí)間：2016-06-231545

www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20160623.1545.002.html

國(guó)家自然科學(xué)基金 (11172240)； 航空科學(xué)基金 (2014ZA53002)； 國(guó)家“973”計(jì)劃 (2015CB755800)

＊

.E-maillijieruihao@163.com

田旭， 李杰． 一種改進(jìn)的果蠅優(yōu)化算法及其在氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)中的應(yīng)用J． 航空學(xué)報(bào),2017,38(4):120370.TIANX,LIJ.AnimprovedfruitflyoptimizationalgorithmanditsapplicationinaerodynamicoptimizationdesignJ.ActaAeronauticaetAstronauticaSinica,2017,38(4):120370.

http://hkxb.buaa.edu.cnhkxb@buaa.edu.cn

10.7527/S1000-6893.2016.0198

V211.4

A

1000-6893(2017)04-120370-11

(責(zé)任編輯： 李明敏)

＊Correspondingauthor.E-maillijieruihao@163.com