鄭 濤，陳 杰

(武漢鐵路局 武漢工務(wù)大修段，湖北 武漢 430050)

軌道工程

基于改進(jìn)GM(1,1)模型的軌道不平順預(yù)測(cè)

鄭 濤，陳 杰

(武漢鐵路局 武漢工務(wù)大修段，湖北 武漢 430050)

在分析傳統(tǒng)灰色GM(1,1)求解過(guò)程的基礎(chǔ)之上，指出了GM(1,1)模型的不合理之處，并加以改進(jìn)，使該模型達(dá)到了更高的道路路基沉降預(yù)測(cè)精度。

軌道不平順；GM(1，1); 改進(jìn)；預(yù)測(cè)

1 改進(jìn)的GM(1,1)算法

X(0)={x(0)(k1)，x(0)(k2)，…，x(0)(kn)}定義為一預(yù)測(cè)對(duì)象的原始數(shù)據(jù)監(jiān)測(cè)采樣序列，若ki-ki-1恒定，則稱(chēng)該序列為等間距序列。

為建立灰色預(yù)測(cè)模型，對(duì)該數(shù)據(jù)序列進(jìn)行一次累加

X(1)={x(1)(k1)，x(1)(k2)，…，x(1)(kn)}其中，

(1)

那么，對(duì)X(1)可以建立白化微分方程

(2)

式(2)的解為

(3)

(4)

令Z(1)(ki)=μX(1)(ki)+(1-μ)X(1)(ki-1)

(5)

那么，Z(1)(k)稱(chēng)(2)式背景值，μ稱(chēng)權(quán)系數(shù)。

通常，μ取0.5，那么

(6)

那么，(2)式的離散化形式為

X(1)(ki)-X(1)(ki-1)+aZ(1)(ki)=u

(7)

(8)

其中

Yn=(X(0)(k1)，X(0)(k2)，…，X(0)(kn)T)

求得a之后則易得u。

(3)式離散化后的結(jié)果為

(9)

(10)

代入(9)式有

(11)

以上計(jì)算求出的是一次累加后的預(yù)測(cè)值，必須用下式將數(shù)據(jù)還原為X(0)(k)

(12)

那么，X(0)的預(yù)測(cè)序列可全部求出。

通過(guò)分析灰色GM(1,1)模型及其求結(jié)過(guò)程，發(fā)現(xiàn)存在下列問(wèn)題。

(1)在GM(1,1)模型中，背景值假定為一次累加序列的緊鄰等權(quán)生成，即取μ=0.5。但理論上卻無(wú)法證明μ=0.5時(shí)，此模型精度會(huì)達(dá)到最優(yōu)。

(2)將X(0)(k1)作為求解白化微分方程的初值，即假定擬合曲線一定會(huì)過(guò)初值所在的點(diǎn)。但是，按照最小二乘法原理，擬合曲線卻并不一定通過(guò)原始數(shù)據(jù)中的某一點(diǎn)，所以將原始數(shù)據(jù)中的第一點(diǎn)作為求解白化微分方程的初值是沒(méi)有意義的。

先取μ=0，代入(7)式有

X(1)ki-X(1)(ki-1)+aX(1)(ki-1)=u

(13)

其最小二乘解

(14)

Bu=0可由μ=0時(shí)代入(5)式求出。

(15)

計(jì)算(9)式的累減式，可以得到實(shí)測(cè)序列的估計(jì)方程

(16)

令C=c(1-ea)，代入(9)式與(16)式中有

(17)

(18)

將(17)式代入，有

(19)

(20)

此時(shí)，這個(gè)模型的精度最高。將C代入(17)和(18)式，即可求得預(yù)測(cè)值。再用(15)式計(jì)算出在該權(quán)重下的S值。

此后，在此基礎(chǔ)上增加一個(gè)大于0的微小增量，如以0.001為增量逐次增加直到μ=1為止。在這種情況下我們可以得到1 000個(gè)權(quán)值，取S最小者對(duì)應(yīng)的權(quán)值作為最佳權(quán)值。最終以此權(quán)值作為改進(jìn)GM(1，1)模型的權(quán)值。自此，最優(yōu)權(quán)值和初值已全部取得。

2 預(yù)測(cè)模型的精度檢驗(yàn)

預(yù)測(cè)模型的模型精度與預(yù)測(cè)值與實(shí)際值的相對(duì)誤差有關(guān)，同時(shí)也與方差比c和小概率誤差p有關(guān)。

模型所生成的序列

那么可以定義殘差序列：

ε(0)(k)=ε(1)，ε(2)，…，ε(n)

其中，

3 算例分析

3.1 焦柳線上行K584.0～K584+200區(qū)段分析

以武漢鐵路局轄內(nèi)焦柳線上行K584.0～K584+200的TQI檢測(cè)數(shù)據(jù)為例，對(duì)2014-9-25～2015-9-26期間的TQI檢測(cè)數(shù)據(jù)作為數(shù)據(jù)樣本進(jìn)行預(yù)測(cè)，取2015-6-24～2015-9-26之間12個(gè)實(shí)測(cè)TQI值與預(yù)測(cè)值對(duì)比，如表1和圖1所示。

圖1 K584.0～K584+200軌道不平順 預(yù)測(cè)效果對(duì)比

圖2 K584.0～K584+200軌道不平順預(yù)測(cè)效果對(duì)比

3.2 焦柳線上行K614+100～K614+300區(qū)段分析

再以焦柳線上行K584.0～K584+200的TQI檢測(cè)數(shù)據(jù)為例，對(duì)2014-9-25～2015-9-26期間的TQI檢測(cè)數(shù)據(jù)作為數(shù)據(jù)樣本進(jìn)行預(yù)測(cè)，取2015-6-24～2015-9-26之間12個(gè)實(shí)測(cè)TQI與預(yù)測(cè)值對(duì)比，如表1和圖2所示。

表1 預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比表

根據(jù)表1和圖1、圖2可知，本文預(yù)測(cè)算法達(dá)到了較好的預(yù)測(cè)精度，相對(duì)誤差均值分別為1.75%和1.62%，方差比為0.147和0.126，小誤差概率為0.987和0.959，精度等級(jí)達(dá)到I級(jí)。

4 結(jié) 論

(1)通過(guò)構(gòu)建基于背景值優(yōu)化和權(quán)值選擇的改進(jìn)GM(1,1)模型，將其用于軌道不平順預(yù)測(cè)，取得了較好的效果。

(2)對(duì)傳統(tǒng)的GM(1，1)模型進(jìn)行了改進(jìn)，對(duì)解決工程領(lǐng)域中常見(jiàn)的預(yù)測(cè)問(wèn)題具有廣泛的使用價(jià)值。

[1] 陳仁朋, 江朋, 段翔,等. 高速鐵路板式無(wú)砟軌道不平順下路基動(dòng)應(yīng)力的概率分布特征[J]. 鐵道學(xué)報(bào), 2016, 38(9):86-91.

[2] 許玉德, 李海峰, 周宇. 鐵路軌道高低不平順的預(yù)測(cè)方法[J]. 同濟(jì)大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2003, 31(3):291-295.

[3] 陳憲麥. 軌道不平順時(shí)頻域分析及預(yù)測(cè)方法的研究[D]. 鐵道部科學(xué)研究院, 2006.

U212

C

1008-3383(2017)09-0191-02

2017-06-18

鄭濤(1973-)，男，湖北襄陽(yáng)人，助理工程師，從事線路大修管理工作。