李平，李旻，馬衛(wèi)武，肖蓮榮

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基于全尺度線熱源解的地?zé)釗Q熱器集群的溫度響應(yīng)

李平1，李旻1，馬衛(wèi)武1，肖蓮榮2

(1. 中南大學(xué)能源科學(xué)與工程學(xué)院，湖南長沙，410083；2. 湖南亞華乳業(yè)有限公司，湖南長沙，410013)

針對地?zé)釗Q熱器集群的跨尺度傳熱難題，運(yùn)用匹配漸進(jìn)展開法和疊加原理，構(gòu)建全尺度線熱源解。計(jì)算2種鉆孔布置形式(單行和矩陣)的溫度響應(yīng)，分析鉆孔間距對地下溫度演化過程的影響。從工程應(yīng)用的角度探討簡化計(jì)算地?zé)釗Q熱器集群平均溫度的問題。研究結(jié)果表明：所提出的全尺度線熱源解擴(kuò)展了國內(nèi)外現(xiàn)有解析解的適用范圍。

地源熱泵；地埋管換熱器；溫度響應(yīng)函數(shù)；全尺度模型

地埋管換熱器傳熱是一個(gè)復(fù)雜的非穩(wěn)態(tài)過程，涉及的時(shí)間長、空間大：從厘米級的埋管管徑到上百米的換熱器群的橫縱向尺寸，共跨4個(gè)數(shù)量級，對應(yīng)的時(shí)間尺度則跨8個(gè)數(shù)量級(數(shù)分鐘到數(shù)十年)[1?2]。大規(guī)模地?zé)釗Q熱器集群的傳熱分析(無論是實(shí)驗(yàn)還是理論研究)的主要問題是如何高效地求解這個(gè)時(shí)空尺度跨度大的難題。地?zé)釗Q熱器的傳熱分析常將傳熱熱阻以鉆孔壁為界分為穩(wěn)態(tài)與非穩(wěn)態(tài)2部分。計(jì)算鉆孔內(nèi)穩(wěn)態(tài)熱阻的模型包括經(jīng)驗(yàn)與理論模型2類。最典型的經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ筒捎谩爱?dāng)量直徑”的概念[3]。經(jīng)驗(yàn)公式簡單易用[4?5]，但缺乏傳熱理論基礎(chǔ)，不具有普適性。理論熱阻模型包括二維模型和準(zhǔn)三維模型[6?8]。常見的二維模型有基于穩(wěn)態(tài)線熱源解和multipole解2類。準(zhǔn)三維模型能計(jì)算流體溫度沿鉆孔軸向的變化，是對二維模型的進(jìn)一步修正[6?8]。鉆孔外的非穩(wěn)態(tài)熱阻歸結(jié)為對溫度響應(yīng)函數(shù)(函數(shù))的計(jì)算。INGERSOLL等[9]提出的無限長圓柱模型與無限長線熱源模型已被廣泛采用和拓展[10?11]。例如，基于鏡像法的有限長線熱源模型能考慮鉆孔端部效應(yīng)[12?13]，適用于長時(shí)間的傳熱過程；運(yùn)用移動熱源法能夠估算地下水滲流的影響[14?15]；基于NEUMANN方法，無限長線熱源解被擴(kuò)展并用于計(jì)算地下水凝固與融化的影響[9]；結(jié)合疊加原理還可以計(jì)算變負(fù)荷工況等[16?17]。這些傳熱模型存在明顯局限性，即鉆孔內(nèi)的穩(wěn)態(tài)傳熱假設(shè)不適合計(jì)算短時(shí)高頻溫度響應(yīng)。高頻溫度響應(yīng)受鉆孔內(nèi)介質(zhì)的熱容影響，與地源熱泵的峰值溫度、最優(yōu)控制和逐時(shí)能耗分析等問題密切相關(guān)，是該領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)和難點(diǎn)[18?21]。其難點(diǎn)在于涉及復(fù)合介質(zhì)和不規(guī)則幾何形狀。目前，國內(nèi)外廣泛采用的方法是數(shù)值解法和簡化問題的幾何形狀。常用的簡化仍是“當(dāng)量直徑”假設(shè)[18?21]。為了拋棄這個(gè)經(jīng)驗(yàn)性假設(shè)，LI等[22?23]提出復(fù)合介質(zhì)線熱源模型，較好地解決了計(jì)算高頻溫度響應(yīng)的難題?；趶?fù)合介質(zhì)線熱源解，進(jìn)一步構(gòu)建適用于所有重要時(shí)空范圍的全尺度線熱源模型[2]和對應(yīng)的準(zhǔn)三維模型[24]。但是，該模型只適用于單個(gè)地埋管換熱器，不能考慮多個(gè)鉆孔之間的影響。為此，本文作者進(jìn)一步拓展全尺度線熱源模型，使其能考慮鉆孔間的影響，從而為地?zé)釗Q熱器集群的設(shè)計(jì)和分析提供更可靠的參考依據(jù)。

1 全尺度線熱源模型的拓展

全尺度線熱源模型將地埋管換熱器換熱過程以U型管壁壁面為界分為2部分(見圖1)：U型管壁面外(包括鉆孔內(nèi)回填材料部分)的非穩(wěn)態(tài)傳熱過程和U型管內(nèi)的準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)傳熱過程。全尺度模型實(shí)際上綜合了地埋管換熱器的3個(gè)解，即適用于短時(shí)間的復(fù)合介質(zhì)線熱源解i，適用于長時(shí)間的有限長線熱源解o和適用于中間時(shí)間的無限長線熱源解m[2]：

其中：為單位階躍負(fù)荷下的溫度響應(yīng)函數(shù)，其量綱與熱阻的相同。復(fù)合介質(zhì)線熱源解i的出發(fā)點(diǎn)是將U型管管腳(不是鉆孔)近似為復(fù)合介質(zhì)中的線熱源[23]。簡而言之，復(fù)合介質(zhì)就是不同區(qū)域傳熱介質(zhì)不同。因?yàn)榈芈窆軗Q熱器鉆孔內(nèi)外的介質(zhì)不一樣，所以，這是1個(gè)復(fù)合介質(zhì)中的導(dǎo)熱問題。i的推導(dǎo)過程見文獻(xiàn)[23?24]。

(a) 單U埋管換熱器；(b) 單U埋管的復(fù)合介質(zhì)線熱源近似；(c) 雙U埋管換熱器；(d) 雙U埋管的復(fù)合介質(zhì)線熱源近似

圖1 地?zé)釗Q熱器的復(fù)合介質(zhì)線熱源假設(shè)示意圖

Fig. 1 Assumption diagrams of composite-medium line-source for one and two U-shaped ground heat exchangers

對于單U型埋管：

對于雙U型埋管：

式中：為時(shí)間；b為回填土熱傳導(dǎo)系數(shù)，W/(m2?℃)；b為回填土的熱擴(kuò)散系數(shù)；為線熱源的徑向位置；r和r分別為圖1中和點(diǎn)的徑向坐標(biāo)；為積分變量；

式中：b為鉆孔半徑；J和Y分別為第一類和第二類階貝塞爾函數(shù)；在方程(2)和(3)中，分別為2和4，為式中求和的指標(biāo)；為量綱一熱擴(kuò)散系數(shù)，= (b/s)1/2；s為土壤熱擴(kuò)散系數(shù)；為量綱一熱傳導(dǎo)率，=s/b；s為土壤熱傳導(dǎo)系數(shù)(W/(m2?℃))。

o為適用于長時(shí)間的傳統(tǒng)有限長線熱源解，其表達(dá)式如下：

式中：′為沿軸的積分變量；為鉆孔高度；erfc()為補(bǔ)余誤差函數(shù)；m為適用于中間時(shí)間的無限長線熱源解，

式中：為積分變量。

求得()后，U型管壁面溫度可表示為

單位階躍冷熱負(fù)荷下循環(huán)水溫度響應(yīng)可用下式表示：

其中：s,0為地下土壤的初始溫度；p為U型管的熱阻，

p為U型管熱傳導(dǎo)率；為熱對流系數(shù)；o和i分別為U型管管腳的外徑和內(nèi)徑。對于單U型管地埋管排布形式，2；對于雙U型地埋管排布形式，=4。

與傳統(tǒng)的模型相比，全尺度模型適用于整個(gè)地埋管使用年限的時(shí)?空尺度，且該模型不含任何經(jīng)驗(yàn)假設(shè)，具備完整的理論基礎(chǔ)。但是，該模型只適用于單個(gè)地埋管換熱器，不能考慮多個(gè)鉆孔之間的影響。

根據(jù)疊加原理，地下任意點(diǎn)的溫度響應(yīng)都可表示為各鉆孔在該點(diǎn)激發(fā)的溫度響應(yīng)的疊加。全尺度線熱源模型以單個(gè)鉆孔為研究對象，為了考慮周圍鉆孔的影響，需加上周圍鉆孔在該鉆孔溫度響應(yīng)的疊加。此時(shí)，周圍鉆孔可以近似為有限長線熱源模型。這樣，由周圍?1(= 1，…，?1)個(gè)鉆孔累加引起的溫度響應(yīng)為

式中：為鉆孔個(gè)數(shù)；i為鉆孔間距離；′為沿軸的積分變量；為鉆孔高度；erfc()為補(bǔ)余誤差函數(shù)。全尺度函數(shù)拓展為以下形式：

值得注意的是：本文采用的有限長線熱源模型涉及二重積分，計(jì)算量較大。CLAESSON和JAMED[25]提出1個(gè)簡化表達(dá)式，將二重積分簡化成一重積分。這兩者是等價(jià)的，都可用在本文提出的全尺度線熱源模型中。

2 結(jié)果與討論

在給定半徑和鉆孔長度的比率b/、地下土壤和鉆孔填充材料的熱擴(kuò)散率比的開方、熱傳導(dǎo)率比以及鉆孔數(shù)量情況下，觀察鉆孔間距不同時(shí)中間位置某一鉆孔的地下溫度響應(yīng)函數(shù)的變化。由圖2和圖3可知：地下溫度響應(yīng)函數(shù)主要受鉆孔間距的影響；前期地下溫度響應(yīng)函數(shù)不隨的變化而變化，并保持與單鉆孔結(jié)果一致；中期開始較小的溫度響應(yīng)曲線先與單鉆孔曲線分離并升高，隨后各情況下的溫度響應(yīng)曲線都與單鉆孔曲線分離并出現(xiàn)上升趨勢；越小，溫度響應(yīng)曲線分離越早，上升梯度越大；越大，溫度響應(yīng)曲線分離越遲，上升梯度較小。當(dāng)時(shí)間足夠長時(shí)，地下?lián)Q熱過程達(dá)到近似穩(wěn)態(tài)，溫度響應(yīng)趨于某定值。決定了達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)的溫度。越小，達(dá)到穩(wěn)定后的地下溫度響應(yīng)越大；越大，達(dá)到穩(wěn)定后的地下溫度響應(yīng)越小。另外，當(dāng)接近無窮大時(shí)，溫度響應(yīng)曲線將不會分離而與單鉆孔溫度響應(yīng)曲線重合。由此可見，不僅決定了分離先后和地下溫度響應(yīng)上升梯度，而且決定了達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)溫度，間距越大，熱阻越小。

(a) 1×2單行布置；(b) 1×4單行布置

鉆孔數(shù)量/個(gè)：(a) 2×2；(b) 3×3；(c) 4×4；(d) 5×5

/m：1—2；2—4；3—6；4—8；5—單鉆孔。

圖3 鉆孔數(shù)量與間距對地埋管集群溫度響應(yīng)的影響

Fig. 3 Influence of borehole number and spacing on temperature responses of ground heat exchangers

在給定b/，，和時(shí)，觀察不同排布方式下中間位置某一鉆孔的地下溫度響應(yīng)函數(shù)的變化。從圖4可知：地下溫度響應(yīng)函數(shù)主要受鉆孔數(shù)量的影響；當(dāng)相同時(shí)，鉆孔數(shù)量越多，地下溫度響應(yīng)函數(shù)越大；反之，則地下溫度響應(yīng)函數(shù)越小。

鉆孔數(shù)數(shù)量/個(gè)：1—單鉆孔；2—2×2；3—3×3；4—4×4；5—5×5。

對比圖5中不同位置的鉆孔溫度響應(yīng)可以發(fā)現(xiàn)不同位置鉆孔的溫度響應(yīng)均不相同。中心孔的溫度響應(yīng)最高，這是因?yàn)橹行目咨釛l件最不理想；鉆孔集群外圍鉆孔的溫度響應(yīng)最小，因?yàn)樗奈恢脹Q定其受其他鉆孔影響最?。恢虚g位置的鉆孔溫度響應(yīng)則介于兩者之間。

實(shí)際運(yùn)用時(shí)，建議選用中間位置的鉆孔來近似計(jì)算平均溫度，這樣既能簡化計(jì)算，又能滿足實(shí)際工程要求。若選用中心孔作為計(jì)算參考點(diǎn)，則會過高估計(jì)其地下溫度響應(yīng)，在設(shè)計(jì)計(jì)算中，依此所得的鉆孔長度比實(shí)際需求的長很多；選用鉆孔集群外圍的鉆孔作為計(jì)算參考點(diǎn)時(shí)，計(jì)算的地下溫度響應(yīng)偏低，導(dǎo)致設(shè)計(jì)計(jì)算時(shí)鉆孔長度達(dá)不到實(shí)際需求。這2種情況都應(yīng)該避免。

短時(shí)高頻溫度響應(yīng)不受鉆孔之間換熱的影響，因而，在計(jì)算短時(shí)高頻溫度響應(yīng)時(shí)，可用原全尺度模型。但中長期的地下溫度響應(yīng)受鉆孔換熱影響較大，因此，考慮中長期的地下溫度響應(yīng)時(shí)必須考慮鉆孔間熱干擾的影響。

值得注意的是，本文提出的拓展的全尺度函數(shù)只考慮了鉆孔之間距離的影響，而沒考慮鉆孔排布角度的影響，這樣簡化會不可避免地導(dǎo)致計(jì)算值與實(shí)際值之間存在誤差。但從工程應(yīng)用角度，人們關(guān)注的是地?zé)釗Q熱器的平均溫度響應(yīng)，因此，這些誤差應(yīng)該在可接受的范圍之內(nèi)。另外，拓展的全尺度函數(shù)模型不能考慮其他影響因素對地下?lián)Q熱過程的影響，如地下滲流、水分遷移等。

(a) 鉆孔數(shù)3×3個(gè)，B=4；(b) 鉆孔數(shù)5×5個(gè)，B=4

3 結(jié)論

1) 拓展的全尺度線熱源模型綜合了復(fù)合介質(zhì)線熱源解有限長線熱源解、無限長線熱源解，既能處理地下短期、中期、長期地下?lián)Q熱過程，又能考慮鉆孔之間換熱過程的理論解。

2) 在實(shí)際工程計(jì)算中，可選用中間位置鉆孔的溫度來近似作為整個(gè)地下的平均溫度，既能滿足實(shí)際工程需要，又能簡化計(jì)算。

3) 拓展的全尺度函數(shù)在考慮鉆孔之間換熱影響時(shí)只考慮了鉆孔之間的距離，而沒考慮鉆孔排布角度的影響，這會不可避免地造成一定誤差，但這些誤差在可接受的范圍之內(nèi)。

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(編輯 陳燦華)

Temperature responses of ground heat exchanger clusters based on full-scale line-source solution

LI Ping1, LI Min1, MA Weiwu1, XIAO Lianrong2

(1. School of Energy Science and Engineering, Central South University, Changsha 410083, China; 2. Hunan AVA Dairy Industry Co. Ltd., Changsha 410013, China)

In order to tackle the problem of heat transfer of GHE spanning diverse time-space scales, a full-scale line-source solution was reported for heat transfer of ground heat exchanger (GHE) clusters, which was an analytical solution that was developed from the method of matched asymptotic expansions and the principle of superposition. Temperature-response curves of line- and matrix-arranged GHE clusters were presented and the impact of borehole spacing on temperature evolution in the ground was analyzed. The results show that full-scale line-source solution simplify the calculation temperature range of GHE clusters.

ground-coupled heat pumps; borehole ground heat exchanger; temperature responses function; full-scale line-source model

10.11817/j.issn.1672?7207.2017.10.035

TU833+.3

A

1672?7207(2017)10?2817?06

2016?11?12；

修回日期：2017?01?10

國家科技支撐計(jì)劃項(xiàng)目(2012BAD12B04)(Project (2012BAD12B04) supported by the National Key Technology R&D Program of China)

李旻，博士，副教授，從事新能源和環(huán)境領(lǐng)域的工程熱物理問題研究；E-mail: cnlimin@csu.edu.cn