張仁武，帥定新

（1.攀枝花學(xué)院交通與汽車工程學(xué)院，攀枝花 617000；2.攀枝花學(xué)院電氣信息工程學(xué)院，攀枝花 617000）

諧波諧振的s域模態(tài)分析法

張仁武1，帥定新2

（1.攀枝花學(xué)院交通與汽車工程學(xué)院，攀枝花 617000；2.攀枝花學(xué)院電氣信息工程學(xué)院，攀枝花 617000）

為了減少頻率掃描的計(jì)算時(shí)間，提高計(jì)算精度，提出了利用s域模態(tài)分析確定諧波諧振頻率的方法。通過牛頓-拉夫遜迭代法對(duì)電力系統(tǒng)在s域中傳遞函數(shù)極點(diǎn)的求解，可得到電力系統(tǒng)中諧振頻率及大小程度等信息。在每次迭代求解過程中，只需更新復(fù)頻率s值即能確定諧振的幅度等信息，不需要頻率掃描，從而節(jié)省計(jì)算時(shí)間并提高計(jì)算精度。測(cè)試系統(tǒng)分析表明，s域模態(tài)分析法對(duì)于諧波諧振的分析簡單有效，快速準(zhǔn)確，是分析諧波諧振及諧振治理的有效工具。

諧波諧振；牛頓-拉夫遜迭代法；復(fù)頻率；測(cè)試；s域模態(tài)分析

隨著電力電子技術(shù)的快速發(fā)展，大量具有非線性特性的電力設(shè)備如電弧爐、電力機(jī)車、變頻設(shè)備等投入運(yùn)行，電力系統(tǒng)中的諧波污染、諧振問題也隨之越來越嚴(yán)重。諧波諧振是電力系統(tǒng)諧波引起的危害之一，易造成因諧波過電壓引發(fā)的設(shè)備故障問題[1-2]。諧波諧振本質(zhì)是由系統(tǒng)中的容性元件和感性元件之間頻繁的無功功率交換造成。

目前在工業(yè)電力系統(tǒng)，如風(fēng)電系統(tǒng)、電氣化鐵道、煤礦電力系統(tǒng)等均發(fā)生諧波諧振現(xiàn)象[3-5]，但鮮有文獻(xiàn)能提出對(duì)該現(xiàn)象有效分析并治理的工具[6-9]。目前，研究諧波諧振的方法有3種：①頻譜分析，頻譜分析對(duì)驅(qū)動(dòng)點(diǎn)阻抗進(jìn)行頻率掃描可識(shí)別諧振存在及確定諧振頻率，但頻譜分析不能提供更多有效的諧振信息[10]；②模態(tài)分析，模態(tài)分析可識(shí)別諧振存在并確定諧振頻率，進(jìn)而準(zhǔn)確定位出諧波諧振區(qū)域、元件敏感度等[11-12]，在電力系統(tǒng)中得到廣泛應(yīng)用；③s域模態(tài)分析，s域模態(tài)分析不僅能得到全面的諧波諧振信息，而且計(jì)算精度與計(jì)算時(shí)間都優(yōu)于模態(tài)分析。

然而，頻譜分析和模態(tài)分析均需對(duì)頻率進(jìn)行掃描，理論上來說當(dāng)頻率精度提高時(shí)，將成倍增加計(jì)算量。對(duì)于模態(tài)分析而言，每次需對(duì)節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣進(jìn)行更新及特征值求解，嚴(yán)重限制了模態(tài)分析在分析大型電力網(wǎng)絡(luò)及頻率精度高等場(chǎng)景的應(yīng)用。節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣在s域中計(jì)算時(shí)，不需要對(duì)每個(gè)頻率點(diǎn)進(jìn)行掃描，只需對(duì)趨于奇異性的節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣進(jìn)行迭代計(jì)算，求解諧振頻率精度高、計(jì)算速度快。

因此，本文將s域分析法應(yīng)用于電力系統(tǒng)的諧波諧振分析，通過建立s域下的系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣，利用牛頓-拉夫遜N-R（Newton-Raphson）迭代法進(jìn)行極點(diǎn)/零點(diǎn)的求取，從而確定系統(tǒng)的并聯(lián)/串聯(lián)諧振頻率及諧振幅度。

1 電力系統(tǒng)s域模型

1.1 s域的節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣

對(duì)某個(gè)電力網(wǎng)絡(luò)，可建立關(guān)系式為

式中：Y（s）為電力系統(tǒng)的s域節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣；x(s)為廣義狀態(tài)空間；u（s）為系統(tǒng)的輸入；y（s）為系統(tǒng)的輸出；B和C分別為與u（s）和x(s)維度匹配的系數(shù)矩陣。

為便于分析網(wǎng)絡(luò)對(duì)于某個(gè)節(jié)點(diǎn)注入電流量的響應(yīng)，可通過式（1）和式（2），得到特定的單輸入單輸出系統(tǒng)的關(guān)系式

式中：b為行向量，其第j個(gè)元素為1，其余元素為0；c為行向量，其第i個(gè)元素為1，其余元素為0；uj表示系統(tǒng)在第j個(gè)節(jié)點(diǎn)的注入電流。當(dāng)在系統(tǒng)的節(jié)點(diǎn)j注入電流時(shí)，可得節(jié)點(diǎn)i的輸出電壓，則輸入阻抗為

輸入阻抗Zij（s）代表節(jié)點(diǎn)i對(duì)節(jié)點(diǎn)j的互阻抗，其物理意義是節(jié)點(diǎn)i對(duì)節(jié)點(diǎn)j的影響。

1.2 s域模型以及關(guān)于s的導(dǎo)數(shù)

節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣Y（s）是對(duì)電力系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及參數(shù)特性的描述，電力系統(tǒng)中的元件可分為RLC元件、傳輸線路、變壓器等元件。

系統(tǒng)的大部分元件可等效為如圖1所示的RLC串聯(lián)或并聯(lián)的形式。通過在時(shí)域中的拉普拉斯變換，可得出電阻、電感、電容在s域中的模型。

圖1 RLC支路模型Fig.1 Model of RLC branch

串聯(lián)RLC支路以及并聯(lián)RLC支路的復(fù)頻域?qū)Ъ{模型為

式（5）和式（6）關(guān)于s的一階導(dǎo)數(shù)分別為

對(duì)于分布參數(shù)傳輸線路模型而言，可等效為圖2的π模型線路，π模型的阻抗和導(dǎo)納分別為

式中：l為單位傳輸線路長度；γ為傳輸線路傳播常數(shù)；Yc為傳輸線路特征導(dǎo)納。Ys應(yīng)被加入到Y(jié)（s）對(duì)角線元素中；而Yp的負(fù)值應(yīng)被加入到Y(jié)（s）的非對(duì)角線元素中。傳輸線路的導(dǎo)納函數(shù)是關(guān)于單位傳輸線路長度l、傳輸線路傳播常數(shù)γ、傳輸線路特征導(dǎo)納Yc的函數(shù)。在單位長度下的傳輸線路傳播常數(shù)γ以及傳輸線路特征導(dǎo)納Yc分別為為單位長度的傳輸線路阻抗，Yu為單位長度的傳輸線路導(dǎo)納。

圖2 傳輸線路等效π模型Fig.2 Equivalent π model of transmission line

Ys、Yp中線路導(dǎo)納Yc關(guān)于s的一階導(dǎo)數(shù)為

2 電力系統(tǒng)傳遞函數(shù)極點(diǎn)計(jì)算

由定義可知系統(tǒng)的極點(diǎn)與系統(tǒng)輸入輸出無關(guān)。故令系統(tǒng)輸出yi=1，系統(tǒng)輸入uj=0，由式（3）得系統(tǒng)傳遞函數(shù)為

式中，G(s)為系統(tǒng)的二階傳遞函數(shù)。

將式（13）運(yùn)用N-R迭代法進(jìn)行迭代，可得

式中：λ為系統(tǒng)傳遞函數(shù)G（s）的極點(diǎn)；k為迭代次數(shù)；Δλ為λ的增量，即

將系統(tǒng)傳遞函數(shù)G（s）及其導(dǎo)數(shù)代入式（14）中，可得迭代增量Δλ為

通過式（1）、式（2）表示的簡單線性系統(tǒng)，可求出式（16）中的cTY-1與Y-1b分別為

將式（17）、式（18）代入式（16）中經(jīng)運(yùn)算，可得

式中：λj為已找到的極點(diǎn)；Rj為對(duì)應(yīng)的留數(shù)（j為已找到極點(diǎn)的指數(shù)）。

若所求解的極點(diǎn)為重極點(diǎn)或者多重極點(diǎn)，則式（21）可表達(dá)為

需要注意到的是在N-R迭代法過程中，當(dāng)Δλ小于某個(gè)給定誤差（如10-6）時(shí)，則停止迭代，否則更新λ，繼續(xù)迭代，直到滿足迭代精度要求為止。迭代初值的選取對(duì)迭代的快慢以及迭代的收斂有著重要的關(guān)系，根據(jù)文獻(xiàn)[13]提出的方法，可消除初值對(duì)迭代的影響。為消除已求出極點(diǎn)對(duì)迭代的影響，在每一次迭代過程中，可先將已求出的極點(diǎn)濾除，再繼續(xù)迭代求解，即

式中：m為多重極點(diǎn)個(gè)數(shù)，m＞1；Rm為傳遞函數(shù)的留數(shù)。

再通過式（16）～式（19）的計(jì)算，可以得出修正后的迭代增量Δλ為

傳遞函數(shù)的留數(shù)，根據(jù)定義，可得

將式（23）迭代求出的值代入式（24）中，有

化簡為

由式（23）可求出傳遞函數(shù)的留數(shù)，即諧振幅度為

3 算例驗(yàn)證

3.1 三母線測(cè)試系統(tǒng)

圖3 三母線測(cè)試系統(tǒng)Fig.3 Three-bus test system

圖4 測(cè)試系統(tǒng)頻譜分析結(jié)果Fig.4 Spectrum analysis results of the test system

圖5 三母線測(cè)試系統(tǒng)模態(tài)阻抗Fig.5 Modal impedances of the three-bus test system

表1 測(cè)試系統(tǒng)模態(tài)分析結(jié)果Tab.1 Modal analysis results of the test system

對(duì)圖3的三母線測(cè)試系統(tǒng)分別使用文中所提到的3種方法進(jìn)行諧波諧振分析。系統(tǒng)中的3條母線可被激勵(lì)產(chǎn)生或觀察到諧波諧振。通過對(duì)母線2注入1 p.u.的電流，得到如圖4的頻譜分析。雖然頻譜分析可得出測(cè)試系統(tǒng)的諧振頻率，但難以確定每條母線所對(duì)應(yīng)的諧振頻率，也即無法定位具體諧振位置。對(duì)測(cè)試系統(tǒng)進(jìn)行模態(tài)分析可得出圖5及表1，通過模態(tài)分析可知母線1的諧振頻率為51.8 p.u.，母線3的諧振頻率為9.8 p.u.。最后對(duì)測(cè)試系統(tǒng)進(jìn)行s域模態(tài)分析，通過N-R迭代計(jì)算可得測(cè)試系統(tǒng)傳遞函數(shù)極點(diǎn)值，對(duì)極點(diǎn)值進(jìn)行處理（虛數(shù)部分除以2π）可得測(cè)試系統(tǒng)諧振頻率及諧振位置，如表2所示。在N-R迭代求解極點(diǎn)計(jì)算過程中，極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的留數(shù)也可一同求出，留數(shù)可以表征諧振幅度，這說明s域模態(tài)分析可確定更多的諧振信息。雖然模態(tài)分析可得出測(cè)試系統(tǒng)的諧振頻率和諧振位置，但由于模態(tài)分析需對(duì)頻率一一掃描，耗時(shí)較長，共耗時(shí)0.14 s，而s域模態(tài)分析共用時(shí)0.001 6 s，耗時(shí)明顯少于模態(tài)分析所用時(shí)間。測(cè)試系統(tǒng)只含有三母線，當(dāng)分析多母線系統(tǒng)時(shí)，s域模態(tài)分析在計(jì)算時(shí)間上的優(yōu)勢(shì)會(huì)更加明顯。

表2 三母線測(cè)試系統(tǒng)極點(diǎn)計(jì)算Tab.2 Calculation of poles in the three-bus test system

3.2 測(cè)試系統(tǒng)

為了驗(yàn)證s域模態(tài)分析方法的性能，本文用如下的測(cè)試系統(tǒng)進(jìn)行s域模態(tài)分析。圖6為一典型的工業(yè)電力系統(tǒng)，基本的網(wǎng)路結(jié)構(gòu)和線路參數(shù)均摘自IEEE Standard 519—1992[14]。電力系統(tǒng)中每一個(gè)輸出負(fù)載都并聯(lián)了功率補(bǔ)償電容，而電容會(huì)引起諧波諧振。圖6所示的電力系統(tǒng)，可由文中前述的建模方法建立等效電路。

圖6 五母線測(cè)試系統(tǒng)Fig.6 Five-bus test system

系統(tǒng)采用工頻50 Hz，系統(tǒng)中各元件的參數(shù)在表3中給出，分別為變壓器T1等效電感和電阻，L1以及R1分別為輸出負(fù)載端的等效電感和電阻。

表3 測(cè)試系統(tǒng)參數(shù)Tab.3 Parameters of the test system

由模態(tài)分析法，可得出測(cè)試系統(tǒng)在頻率范圍1～250 Hz內(nèi)有4個(gè)諧振峰值，如圖7所示，母線1的諧振頻率為143 p.u.，母線2的諧振頻率為16 p.u.，母線3的諧振頻率為65 p.u.，母線4的諧振頻率為172 p.u.。由s域模態(tài)分析，得出表4及圖8。圖8是由測(cè)試系統(tǒng)傳遞函數(shù)極點(diǎn)值畫出，通過圖8與圖7的對(duì)比，可得出s域模態(tài)分析得出的諧振頻率與模態(tài)分析得出的結(jié)果比例幾乎一致，圖8還可揭示出諧振幅度。模態(tài)分析所用時(shí)間為0.094 s，而s域共用時(shí)間為0.015 s，耗時(shí)明顯減少。

圖7 測(cè)試系統(tǒng)模態(tài)阻抗Fig.7 Modal impedances of the test system

表4 測(cè)試系統(tǒng)極點(diǎn)計(jì)算Tab.4 Calculation of poles in the test system

圖8 測(cè)試系統(tǒng)傳遞函數(shù)極點(diǎn)Fig.8 Poles of the test system’s transfer function

4 結(jié) 語

通過在s域?qū)﹄娏ο到y(tǒng)建立節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣，計(jì)算傳遞函數(shù)極點(diǎn)求出電力系統(tǒng)的諧振頻率并與模態(tài)分析法進(jìn)行對(duì)比。結(jié)果表明s域的求解方法不僅能夠揭示出電力系統(tǒng)諧振信息，并且計(jì)算時(shí)間明顯少于現(xiàn)有的其他方法，這是由于s域模態(tài)分析不需要對(duì)頻率掃描，而是直接對(duì)電力系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)進(jìn)行迭代計(jì)算，從而得出電力系統(tǒng)的諧振頻率及幅度信息。s域模態(tài)分析可用于任何大小、任何拓?fù)涞碾娏ο到y(tǒng)諧振分析，在分析多節(jié)點(diǎn)的電力系統(tǒng)時(shí)，計(jì)算時(shí)間會(huì)大幅度減少，s域模態(tài)分析是分析諧波諧振及諧振治理的有效工具。

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s-Domain Modal Analysis Method for Harmonic Resonance

ZHANG Renwu1，SHUAI Dingxin2
（1.School of Transportation and Automotive Engineering，Panzhihua University，Panzhihua 617000，China；2.School of Electrical and Information Engineering，Panzhihua University，Panzhihua 617000，China）

To reduce the calculation time and improve the calculation accuracy of frequency scanning，a method of determining the harmonic resonance frequency is proposed in this paper by usings-domain modal analysis.By using Newton-Raphson method to seek the poles of the power system’s transfer function ins-domain，the proposed method can obtain the resonance frequency and its magnitude of the power system.In each iteration of the solution process，only thesdata of complex frequency needs to be updated to determine the information of resonance（e.g.，amplitude）without scanning the frequency，which saves the calculation time and improves the calculation accuracy.The analysis of a test system shows thats-domain modal analysis is simple，effective，fast and accurate for harmonic resonance，indicating that it is an effective tool for the analysis of harmonic resonance and resonance control.

harmonic resonance；Newton-Raphson method；complex frequency；test；s-domain modal analysis

TM714

A

1003-8930（2017）10-0113-05

10.3969/j.issn.1003-8930.2017.10.019

2016-01-20；

2017-08-02

張仁武（1965—），男，本科，副教授，研究方向?yàn)殡娏ο到y(tǒng)分析。Email：971903609@qq.com

帥定新（1979—），男，博士，副教授，研究方向?yàn)殡娏﹄娮优c電力傳動(dòng)。Email：31775897@qq.com