呂小紅 羅冠煒

?(蘭州交通大學(xué)機電工程學(xué)院，蘭州730070)

?(甘肅省軌道交通裝備系統(tǒng)動力學(xué)與可靠性重點實驗室，蘭州730070)

動力學(xué)與控制

沖擊漸進振動系統(tǒng)相鄰基本振動的轉(zhuǎn)遷規(guī)律1)

呂小紅?,?,2)羅冠煒?

?(蘭州交通大學(xué)機電工程學(xué)院，蘭州730070)

?(甘肅省軌道交通裝備系統(tǒng)動力學(xué)與可靠性重點實驗室，蘭州730070)

沖擊振動現(xiàn)象廣泛存在于動力機械系統(tǒng)中，使得系統(tǒng)表現(xiàn)出復(fù)雜的動力學(xué)響應(yīng).目前對沖擊振動系統(tǒng)的p/1類基本振動的穩(wěn)定性及分岔研究報道較少，而且已有的對沖擊振動系統(tǒng)動力學(xué)的研究基本都是基于單參數(shù)分岔進行分析的.研究以小型振動沖擊式打樁機為工程背景，建立了沖擊漸進振動系統(tǒng)的力學(xué)模型.分析了激振器和緩沖墊發(fā)生碰撞的類型，以及滑塊漸進運動的條件.給出了系統(tǒng)可能呈現(xiàn)的四種運動狀態(tài)的判斷條件和運動微分方程.通過二維參數(shù)分岔分析得到系統(tǒng)在(ω,l)參數(shù)平面內(nèi)存在的各類周期振動的參數(shù)域和分布規(guī)律.詳細分析了相鄰p/1類基本振動的轉(zhuǎn)遷規(guī)律.在5/1基本振動的參數(shù)域的右邊區(qū)域，相鄰p/1基本振動的參數(shù)域臨界線上存在一個奇異點Xp.相鄰p/1類基本振動的分岔特點以奇異點Xp為臨界點.在l小于lXp的區(qū)域內(nèi)，相鄰p/1基本振動經(jīng)實擦邊分岔和鞍結(jié)分岔相互轉(zhuǎn)遷，實擦邊分岔線和鞍結(jié)分岔線之間存在遲滯域，遲滯域內(nèi)，系統(tǒng)存在兩個周期吸引子共存的現(xiàn)象.在l大于lXp的區(qū)域內(nèi)，相鄰p/1類基本振動的參數(shù)域之間存在一個中間過渡區(qū)域.中間過渡區(qū)域內(nèi)，系統(tǒng)呈現(xiàn)(2p+2)/2和(2p+1)/2周期振動等.在5/1基本振動的參數(shù)域的左邊區(qū)域，p/1基本振動經(jīng)多重滑移分岔產(chǎn)生(p+1)/1基本振動.

非光滑系統(tǒng)，沖擊振動，漸進，周期運動，分岔

引言

沖擊振動現(xiàn)象廣泛存在于動力機械系統(tǒng)中，對其動力學(xué)的研究對沖擊機械裝置的動態(tài)性能匹配設(shè)計和噪聲控制等具有重要的意義.近年來，國內(nèi)外學(xué)者利用非線性動力系統(tǒng)理論和計算機技術(shù)研究了沖擊振動系統(tǒng)周期運動的存在性和穩(wěn)定性、以及分岔與混沌[13].同時，沖擊振動系統(tǒng)呈現(xiàn)的豐富的動力學(xué)行為、分岔類型以及應(yīng)用研究也引起了很多學(xué)者的關(guān)注.文獻[4-6]研究了沖擊振動系統(tǒng)的完整顫碰振動和非完整顫碰振動及其分岔.文獻[7-9]研究了沖擊振動系統(tǒng)的Hopf分岔、退化Hopf分岔和余維二分岔以及分岔點鄰域內(nèi)的兩參數(shù)動力學(xué)行為.文獻[10-11]研究了沖擊振動系統(tǒng)的多吸引子共存現(xiàn)象和周期吸引子的吸引域.文獻[12-14]研究了沖擊振動系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜的計算方法，并發(fā)現(xiàn)在不同類型振動的轉(zhuǎn)遷過程中存在遲滯現(xiàn)象.文獻[15-16]以沖擊鉆和鉆孔樁等帶有鉆進運動的機械系統(tǒng)為工程背景，研究了其動力學(xué)模型的分岔特點和動力學(xué)參數(shù)對鉆進性能的影響.Rusinek等[17]建立了描述金屬切削過程的摩擦顫振運動的動力學(xué)模型，解釋了系統(tǒng)豐富的動力學(xué)行為，以及切削速度與顫振運動的關(guān)系.Li等[18]考慮了模擬直線超聲電機定/動子碰撞振動的動力學(xué)模型，討論了系統(tǒng)參數(shù)對黏滯振動的影響.

由于沖擊振動系統(tǒng)存在擦碰周期運動，引起擦碰奇異性，因此一些常規(guī)的光滑動力系統(tǒng)的定性分析方法難以直接應(yīng)用于沖擊振動系統(tǒng)的全局分岔研究.沖擊振動系統(tǒng)運動形式的復(fù)雜性、多樣性及演化特征與沖擊映射的擦碰奇異性有很大的關(guān)系，因此，沖擊振動系統(tǒng)的奇異性及擦邊分岔研究迄今為止仍是國內(nèi)外學(xué)者關(guān)注的研究熱點.張思進等[19]推導(dǎo)了線性碰振系統(tǒng)單碰周期振動的擦邊分岔方程，并以單自由度系統(tǒng)為例驗證了解析結(jié)果的正確性.文獻[20-22]應(yīng)用不連續(xù)幾何的拓撲方法研究了碰撞振動系統(tǒng)在擦邊分岔點附近存在鞍結(jié)分岔的條件.Liu等[23]研究了三自由度碰撞振動系統(tǒng)的光滑和非光滑分岔，揭示了系統(tǒng)在擦邊分岔點附近的不連續(xù)跳躍和多解共存現(xiàn)象.馮進鈐等[2425]基于圖胞映射理論研究了確定和隨機兩種情形下，杜芬(Du ffing)碰撞振子擦邊誘導(dǎo)的兩種激變形式，以及鞍結(jié)分岔、混沌鞍激變分岔和混沌內(nèi)部激變分岔等三類分岔的動力學(xué).其余關(guān)于沖擊振動系統(tǒng)擦邊分岔的研究見文獻[26-29].

在低激振頻率條件下，簡諧激勵沖擊振動系統(tǒng)通常會呈現(xiàn) p/1類基本振動.一個振動周期內(nèi)的激振力周期數(shù)不變，但是碰撞次數(shù)會隨著系統(tǒng)參數(shù)的變化而發(fā)生變化.國內(nèi)外對此類周期振動的穩(wěn)定性及分岔研究報道較少，而且已有的對沖擊振動系統(tǒng)動力學(xué)的研究基本都是基于單參數(shù)分岔進行分析的.本文以小型振動沖擊式打樁機為工程背景，建立考慮緩沖墊和支撐介質(zhì)黏彈性的沖擊漸進振動系統(tǒng)的力學(xué)模型.通過兩參數(shù)協(xié)同仿真分析得到系統(tǒng)的各類周期振動在二維參數(shù)(激振頻率ω和預(yù)壓量l)平面內(nèi)的參數(shù)域及其分布規(guī)律，研究p/1基本振動的分岔特點，揭示相鄰p/1類基本振動的轉(zhuǎn)遷規(guī)律，為解決特定工程實際問題提供一定的理論依據(jù)和參考.

1 力學(xué)模型和運動微分方程

圖1所示為沖擊漸進振動系統(tǒng)的力學(xué)模型.激振器M1通過振動彈簧懸掛于質(zhì)塊M2的頂部.振動彈簧的剛度系數(shù)為K1，黏滯阻尼系數(shù)為C1.質(zhì)塊M2的底部裝有一個剛度系數(shù)和黏滯阻尼系數(shù)分別為K3和C3的緩沖墊，用來減小沖擊產(chǎn)生的磨損和裂痕等不良影響，其質(zhì)量忽略不計.支撐質(zhì)塊M2的彈簧剛度和黏滯阻尼系數(shù)分別為K2和C2.滑塊的質(zhì)量忽略不計，其表面受到干摩擦力F的作用.激振器M1上作用有簡諧激振力 Psin(?T+τ).激振器 M1，質(zhì)塊M2，緩沖墊和滑塊的位移分別用X1，X2，X3和X4表示.振動彈簧和緩沖墊的預(yù)壓量分別為L0和ˉL0，滿足K1L0=K3ˉL0，令L=L0+ˉL0.引入以下無量綱參數(shù)

式中 j=1,3,i=1,2,3,4,Lk表示滑塊在激振器M1第k次沖擊緩沖墊后瞬間的漸進量.

圖1 力學(xué)模型Fig.1 Mechanical model

當(dāng)x1?x3=l，且˙x1?˙x3＜0時，激振器M1沖擊緩沖墊，沖擊方程為

式中，下標“?”和“+”分別表示沖擊前、后的瞬時速度.沖擊后，激振器M1與緩沖墊黏滯向下運動.沖擊前后，激振器M1的速度不變，但緩沖墊的速度發(fā)生突變.黏滯向下運動時，激振器M1與緩沖墊之間具有相互作用力F1，有

激振器M1與緩沖墊黏滯向下運動過程中，F(xiàn)1＞0.待F1減小至零時，兩者分離.黏滯運動結(jié)束瞬間，F(xiàn)1=0，x1=x3+l.黏滯運動結(jié)束后，激振器M1自由振動，緩沖墊在其自身彈性和阻尼的作用下恢復(fù)到平衡狀態(tài)，伴隨質(zhì)塊M2一起自由振動.

如果激振器M1與緩沖墊以相等或近似相等的速度發(fā)生碰撞，即或且，則激振器M1與緩沖墊發(fā)生擦碰接觸振動.接觸前后，系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和運動狀態(tài)不發(fā)生變化，但是擦碰接觸導(dǎo)致系統(tǒng)發(fā)生擦邊分岔.根據(jù)文獻[30-31]，擦邊分岔有實擦邊分岔和虛擦邊分岔.實擦邊分岔時碰撞質(zhì)塊擦碰接觸時的速度相等，導(dǎo)致系統(tǒng)在一個振動周期內(nèi)的激振力周期數(shù)不變，但激振器M1與緩沖墊的碰撞次數(shù)增加一次.實擦邊分岔過程是不可逆的，相反的分岔為鞍結(jié)分岔，導(dǎo)致系統(tǒng)在一個振動周期內(nèi)的激振力周期數(shù)不變，但激振器M1與緩沖墊的碰撞次數(shù)減少一次.虛擦邊分岔時碰撞質(zhì)塊擦碰接觸時的速度近似相等，導(dǎo)致系統(tǒng)在一個振動周期內(nèi)的激振力周期數(shù)和碰撞次數(shù)都發(fā)生變化或由周期振動直接轉(zhuǎn)遷為混沌.

用P0表示作用于滑塊的彈性恢復(fù)力和阻尼力的合力，有

當(dāng)激振器M1第k次沖擊緩沖墊后，兩者黏滯向下運動，彈簧K3被壓縮，最終使得作用于滑塊的合力P0的絕對值增加.當(dāng)P0滿足?P0＞f時，滑塊克服干摩擦力f漸進運動，漸進的深度為lk，同時系統(tǒng)向下平移lk.當(dāng)P0的絕對值減小至等于干摩擦力 f時，滑塊漸進運動過程結(jié)束，作用于滑塊的摩擦力 f由動摩擦力變?yōu)殪o摩擦力，直到滑塊開始下一次漸進運動為止.不管滑塊處于哪種狀態(tài)，系統(tǒng)的靜平衡位置相對滑塊而言都沒有改變.

以激振器M1沖擊緩沖墊的時刻作為系統(tǒng)運動的初始時刻(t=0)，沖擊后瞬間的狀態(tài)作為系統(tǒng)隨后運動的初始條件，分析系統(tǒng)在任意相鄰兩次沖擊之間的運動過程.在不同參數(shù)情況下，相鄰兩次沖擊之間，系統(tǒng)可能呈現(xiàn)出四種不同的運動狀態(tài).下面給出每種運動狀態(tài)的判斷條件及運動微分方程：

(1)當(dāng)x1?x3＞l，且時，激振器M1與緩沖墊分別自由振動，滑塊靜止.

(2)當(dāng)x1?x3＞l，且時，激振器M1與緩沖墊分別自由振動，滑塊漸進運動.

(3)當(dāng)x1?x3=l，和同時滿足時，激振器M1與緩沖墊黏滯運動，滑塊靜止.

(4)當(dāng)x1?x3=l，f+2ζ(˙x2?˙x4)+x2?x4＜0和2ζˉC3(˙x2?˙x1)+ˉK3(x2?x3)＞0同時滿足時，激振器M1與緩沖墊黏滯運動，滑塊漸進運動.

在不同的系統(tǒng)參數(shù)條件下，圖1所示系統(tǒng)可能呈現(xiàn)不同類型的周期振動.用符號p/n區(qū)分周期振動的類型，n表示一個振動周期內(nèi)的激振力周期數(shù)，p表示一個振動周期內(nèi)激振器M1與緩沖墊的碰撞次數(shù).特別地，當(dāng)激振頻率 ω比較小時，系統(tǒng)可能呈現(xiàn) p/1(p=1,2,3,···)類周期振動，振動的周期等于激振力周期，區(qū)別在于一個振動周期內(nèi)的碰撞次數(shù) p有所不同.文獻 [31]將此類周期振動稱為基本振動.定義一個振動周期內(nèi)的沖擊次數(shù)序列m=(1,2,3,···)，以激振器 M1的沖擊速度最大的一次為序數(shù)的第一項，簡稱第一次沖擊.在沖擊次數(shù)序列中，m值越大，第m次振動的幅值和沖擊速度越小.

式中，X∈R6,v為實參數(shù),v∈Rm(m=1或2),

2 基本振動的參數(shù)域和轉(zhuǎn)遷規(guī)律

選取無量綱參數(shù) μm=0.35，μk1=0.01，μc1=0.01，μk3=0.7，μc3=0.7，ζ=0.1，f=0.5，數(shù)值計算ω在0.04～1，l在0～15變化時的二維參數(shù)(ω,l)分岔圖如圖2所示，圖3(a)和圖3(b)分別為圖2中低激振頻率區(qū)域的細化圖和分岔線示意圖.在圖3(b)中，PD Bif表示周期倍化分岔，GrBif表示實擦邊分岔，GbBif表示虛擦邊分岔，SN Bif表示鞍結(jié)分岔，S Bif表示滑移分岔.圖2，圖3(a)和圖3(b)清晰地呈現(xiàn)了各類周期振動的參數(shù)域及其分布規(guī)律，圖中用符號p/n區(qū)分，沒有用符號p/n表示的灰色區(qū)域有3種情況：①周期振動的參數(shù)域很小，圖中不能明顯顯示；②周期振動的p或n比較大，難以準確判斷；③混沌.

由圖2可見，系統(tǒng)存在的周期振動主要有 p/1(p=1,2,3,4)類基本振動，1/n(n≥2)類單碰亞諧振動和2/2n(n≥2)類周期振動等.預(yù)壓量l對p/1基本振動的參數(shù)域的影響很小.l增大，存在1/1周期振動的ω范圍略有增大，并向ω增加的方向傾斜.1/1周期振動的參數(shù)域的右邊界線為1/1周期振動的周期倍化分岔線，左邊界線為3/2周期振動的鞍結(jié)分岔線.在二維參數(shù)(ω,l)平面內(nèi)，增加ω或減小l，1/1周期振動發(fā)生周期倍化分岔，穿越周期倍化分岔線，系統(tǒng)嵌入2/2周期振動的參數(shù)域.繼續(xù)增大ω或減小l，1/1周期振動經(jīng)倍周期序列通向長周期多沖擊運動或混沌.

圖2 二維參數(shù)分岔Fig.2 Two-dimensional parameter bifurcation diagram

Luo等[32]研究了兩自由度單邊碰撞振動系統(tǒng)周期運動的分岔特點和演化過程，發(fā)現(xiàn)在相鄰p/1類基本運動的參數(shù)域臨界線上，存在若干奇異點和舌形域.舌形域內(nèi)存在(np+1)/n(n≥2)類周期振動的參數(shù)島，(np+1)/n周期振動由p/1基本運動和1/n亞諧振動相互作用而產(chǎn)生.圖1所示系統(tǒng)也存在這種現(xiàn)象.如圖3(a)所示，在1/1基本振動和2/1基本振動的參數(shù)域之間存在一個奇異點X1，此奇異點是1/1基本振動的實擦邊分岔線和虛擦邊分岔線，以及3/2周期振動的實擦邊分岔線的交點.在二維參數(shù)(ω,l)平面內(nèi)，減小ω或增大l，1/1基本振動發(fā)生實擦邊分岔或虛擦邊分岔.圖4(a)和圖4(b)給出了兩種情況下，基本振動1/1和2/1之間相互轉(zhuǎn)遷的雙向分岔圖，細灰色線為ω增大時的分岔圖，粗黑色線為ω減小時的分岔圖.在l小于lX1的區(qū)域內(nèi)，減小ω或增大l，1/1周期振動經(jīng)擦邊分岔產(chǎn)生4/2周期振動.由于z=4/2=2/1，即在一個激振力周期內(nèi)，質(zhì)塊M1與緩沖墊的平均碰撞次數(shù)增加一次，因此，此擦邊分岔為實擦邊分岔.繼續(xù)減小ω或增大l，系統(tǒng)經(jīng)4/2周期振動的逆周期倍化分岔嵌入2/1基本振動的參數(shù)域內(nèi)，見圖4(a).在l大于lX1的區(qū)域內(nèi)，減小ω或增大l，1/1基本振動經(jīng)擦邊分岔產(chǎn)生3/2周期振動.由于系統(tǒng)在一個振動周期內(nèi)的激振力周期數(shù)n和碰撞次數(shù)p都發(fā)生了變化，因此，此擦邊分岔為虛擦邊分岔.根據(jù)文獻[32]可知，3/2周期振動由1/1基本振動和1/2亞諧振動相互作用而產(chǎn)生，3/2=1/1+1/2.繼續(xù)減小ω或增大l，3/2周期振動經(jīng)實擦邊分岔產(chǎn)生4/2周期振動，然后，系統(tǒng)經(jīng)4/2周期振動的逆周期倍化分岔嵌入2/1基本振動的參數(shù)域，見圖4(b).1/1基本振動到2/1基本振動的分岔過程總結(jié)如下，在l小于lX1的區(qū)域內(nèi)

在l大于lX1的區(qū)域內(nèi)

基本振動1/1和2/1之間的轉(zhuǎn)遷過程是不可逆的.相反的分岔過程為

1/1基本振動的擦邊分岔線和3/2周期振動的鞍結(jié)分岔線之間存在比較寬的遲滯域，見圖3(a)中用HR1表示的區(qū)域.遲滯域內(nèi)，系統(tǒng)存在1/1基本振動和3/2周期振動兩個周期吸引子共存的現(xiàn)象，而且兩個周期吸引子都是穩(wěn)定的.

如圖3(a)所示，在2/1基本振動和3/1基本振動的參數(shù)域之間存在一個奇異點X2，此奇異點是四條分岔線的交點，分別是2/1基本振動的實擦邊分岔線和虛擦邊分岔線，3/1基本振動的鞍結(jié)分岔線和周期倍化分岔線.2/1基本振動和3/1基本振動之間的轉(zhuǎn)遷特點以奇異點X2為臨界點.在l小于lX2的區(qū)域內(nèi)，減小ω或增大l，2/1基本振動發(fā)生實擦邊分岔,產(chǎn)生3/1基本振動，一個激振力周期內(nèi)，激振器M1與緩沖墊的碰撞次數(shù)增加一次.相反，3/1基本振動到2/1基本振動的分岔為鞍結(jié)分岔，一個激振力周期內(nèi)，激振器M1與緩沖墊的碰撞次數(shù)減少一次.2/1基本振動的實擦邊分岔線和3/1基本振動的鞍結(jié)分岔線之間存在遲滯域，見圖3(a)中用HR2表示的區(qū)域.遲滯域內(nèi)，系統(tǒng)存在2/1基本振動和3/1基本振動兩個周期吸引子共存的現(xiàn)象.圖4(c)為l=0.5時，2/1基本振動和3/1基本振動相互轉(zhuǎn)遷的雙向分岔圖.在l大于lX2的區(qū)域內(nèi)，減小ω或增大l，2/1基本振動發(fā)生虛擦邊分岔，產(chǎn)生5/2周期振動.由于5/2=2/1+1/2，因此，5/2周期振動由2/1基本振動和1/2亞諧振動演化而來.繼續(xù)減小ω或增大l，5/2周期振動經(jīng)實擦邊分岔轉(zhuǎn)遷為6/2周期振動，然后，系統(tǒng)經(jīng)6/2周期振動的逆周期倍化分岔嵌入3/1基本振動的參數(shù)域內(nèi).當(dāng)ω增大或l減小時，5/2周期振動經(jīng)鞍結(jié)分岔轉(zhuǎn)遷為2/1基本振動.2/1基本振動的虛擦邊分岔線和5/2周期振動的鞍結(jié)分岔線之間存在遲滯域.遲滯域內(nèi)，系統(tǒng)存在2/1基本振動和5/2周期振動兩個周期吸引子共存的現(xiàn)象.圖4(d)為l=15.0時，2/1基本振動和3/1基本振動相互轉(zhuǎn)遷的雙向分岔圖.圖5(a)和圖5(b)分別為l=0.5，系統(tǒng)分別呈現(xiàn)2/1基本振動和3/1基本振動時，激振器M1與緩沖墊相對運動的時間歷程圖.

圖3 低激振頻率區(qū)域的細化Fig.3 Detail diagram of low exciting frequency region

圖4 雙向分岔圖Fig.4 Two-way bifurcation diagrams

由圖2，圖3(a)和圖3(b)可見，系統(tǒng)在低激振頻率區(qū)域交錯出現(xiàn)了3/1基本振動和4/1基本振動的參數(shù)域.p/1基本振動的分岔特點以5/1基本振動的參數(shù)域為分界線.由前面的分析可以推斷，在5/1基本振動參數(shù)域的右邊區(qū)域，p/1(p=2,3,4)基本振動和(p+1)/1基本振動的參數(shù)域之間，都存在奇異點Xp.在二維參數(shù)(ω,l)平面內(nèi)，Xp的位置隨著碰撞次數(shù)p的增大而升高.奇異點Xp是四條分岔線的交點，產(chǎn)生兩種類型的轉(zhuǎn)遷域：遲滯域和中間過渡區(qū)域.在l小于lXp的區(qū)域內(nèi)，p/1基本振動和(p+1)/1基本振動經(jīng)實擦邊分岔和鞍結(jié)分岔相互轉(zhuǎn)遷.p/1基本振動的實擦邊分岔線和(p+1)/1基本振動的鞍結(jié)分岔線沒有重合，兩條線之間形成了一定的遲滯域.遲滯域內(nèi)，系統(tǒng)存在p/1基本振動和(p+1)/1基本振動兩個周期吸引子共存的現(xiàn)象.p/1(p=2,3,4)基本振動到(p+1)/1基本振動的分岔為實擦邊分岔.在2/1基本振動的參數(shù)域內(nèi)，減小ω或增大l，系統(tǒng)依次發(fā)生三次實擦邊分岔.每穿越一次實擦邊分岔線，系統(tǒng)在一個激振力周期內(nèi)的碰撞次數(shù)增加一次，依次呈現(xiàn)3/1,4/1和5/1基本振動.相反，(p+1)/1基本振動到p/1基本振動的分岔為鞍結(jié)分岔.在(p+1)/1基本振動的的參數(shù)域內(nèi)，增加ω或減小l，激振器M1第p+1次沖擊緩沖墊的速度逐漸減小.在鞍結(jié)分岔線上，第p+1次沖擊速度減小至0，即在第p+1次沖擊瞬間，激振器M1與緩沖墊的速度相等.當(dāng)ω或l穿越鞍結(jié)分岔線繼續(xù)變化時，第p+1次沖擊消失，系統(tǒng)在一個激振力周期內(nèi)的碰撞次數(shù)減少一次，產(chǎn)生 p/1基本振動.只有在奇異點Xp(p＞1)，p/1基本振動和(p+1)/1基本振動之間的相互轉(zhuǎn)遷過程是連續(xù)而且可逆的.p/1基本振動的實擦邊分岔點與(p+1)/1基本振動的鞍結(jié)分岔點重合，p/1基本振動經(jīng)實擦邊分岔轉(zhuǎn)遷為(p+1)/1基本振動，或者相反,(p+1)/1基本振動經(jīng)鞍結(jié)分岔轉(zhuǎn)遷為p/1基本振動.

圖4 雙向分岔圖(續(xù))Fig.4 Two-way bifurcation diagrams(continued)

圖5 相對運動的時間歷程圖Fig.5 Time series of relative motion

圖5 相對運動的時間歷程圖(續(xù)1)Fig.5 Time series of relative motion(continued 1)

圖5 相對運動的時間歷程圖(續(xù)2)Fig.5 Time series of relative motion(continued 2)

在l大于lXp的區(qū)域內(nèi)，p/1基本振動和(p+1)/1基本振動的參數(shù)域之間存在一個中間過渡區(qū)域.中間過渡區(qū)域的右邊界線為p/1基本振動的虛擦邊分岔線，左邊界線為 (p+1)/1基本振動的周期倍化分岔線.中間過渡區(qū)域內(nèi)，系統(tǒng)呈現(xiàn) (2p+2)/2和(2p+1)/2周期振動等.其中，(2p+2)/2周期振動由(p+1)/1基本振動的周期倍化分岔產(chǎn)生，(2p+1)/2周期振動由p/1基本振動的虛擦邊分岔產(chǎn)生.由于(2p+1)/2=p/1+1/2，因此，(2p+1)/2周期振動由p/1基本振動和1/2亞諧振動演化而來，對應(yīng)于p/1基本振動的碰撞次數(shù)p和1/2亞諧振動的激振力周期數(shù)n=2.(2p+1)/2周期振動和(2p+2)/2周期振動之間經(jīng)實擦邊分岔和鞍結(jié)分岔相互轉(zhuǎn)遷.

在5/1基本振動參數(shù)域的左邊區(qū)域，出現(xiàn)了3/1基本振動和4/1基本振動的參數(shù)域，兩類基本振動的參數(shù)域交錯出現(xiàn).p/1(p=3,4)基本振動到(p+1)/1基本振動的分岔為多重滑移分岔(multi-sliding bifurcation)，見圖 3(b)中的 S Bif.圖 5(c)為 l=0.5，ω=0.08，系統(tǒng)呈現(xiàn)3/1基本振動時，激振器M1和緩沖墊的相對位移時間歷程圖.一個激振力周期內(nèi)，激振器M1三次沖擊緩沖墊.每次沖擊后瞬間，兩者黏滯運動，見圖5(c)中的水平直線.其中第三次沖擊后的黏滯運動時間最長.當(dāng)ω增加至0.09附近時，第三次黏滯期內(nèi)出現(xiàn)了激振器M1與緩沖墊短暫分離的現(xiàn)象，即所謂的隆起現(xiàn)象，見圖5(d)，使得系統(tǒng)在一個激振力周期內(nèi)的碰撞次數(shù)和黏滯次數(shù)各增加一次，呈現(xiàn)4/1基本振動.Wagg在文獻[33]研究了兩自由度振動系統(tǒng)在黏滯期內(nèi)的隆起現(xiàn)象，由此產(chǎn)生的分岔稱為Rising分岔，然后證明了Rising分岔在性質(zhì)上與摩擦振動系統(tǒng)和繼電反饋系統(tǒng)中的多重滑移分岔相似.因此，圖3(a)中最左邊3/1基本振動和4/1基本振動的參數(shù)域之間分界線為3/1基本振動的多重滑移分岔線.ω繼續(xù)增加，第四次黏滯期內(nèi)再次出現(xiàn)隆起現(xiàn)象，見圖5(e)，4/1基本振動經(jīng)多重滑移分岔轉(zhuǎn)遷為5/1基本振動.ω進一步增加，第五次黏滯期逐漸縮短，最終趨向于0，系統(tǒng)發(fā)生鞍結(jié)分岔，使得一個激振力周期內(nèi)的碰撞次數(shù)和黏滯次數(shù)各減少一次，產(chǎn)生4/1基本振動，見圖5(f).更進一步增加ω，第四次黏滯期逐漸縮短，最終趨向于0，4/1基本振動經(jīng)鞍結(jié)分岔轉(zhuǎn)遷為3/1基本振動，見圖5(g).

3 系統(tǒng)參數(shù)對沖擊速度和漸進量的影響

為了更全面、更深入的認識圖1所示系統(tǒng)的動力學(xué)性能，需要研究系統(tǒng)參數(shù)對沖擊速度及滑塊漸進率的影響.圖6和圖7分別為激振器M1的沖擊速度和滑塊在有限時間內(nèi)(t=300)的漸進量與系統(tǒng)參數(shù)(ω,l)的關(guān)聯(lián)關(guān)系圖.圖中，單碰周期振動的響應(yīng)用黑色表示，其它類型周期振動和混沌的響應(yīng)統(tǒng)一用灰色表示，各類周期振動的參數(shù)域在(ω,l)參數(shù)平面內(nèi)的分布如圖2所示.由圖2，圖6和圖7可見，在3/1基本振動的參數(shù)域內(nèi)，系統(tǒng)的沖擊速度和滑塊在有限時間內(nèi)的漸進量最大.但是，3/1基本振動意味著系統(tǒng)在一個激振力周期內(nèi)發(fā)生三次碰撞，是1/1基本振動的三倍.相同時間內(nèi)的平均碰撞次數(shù)越多，引起不利的后果越明顯.因此，綜合考慮各方面因素，實際工程應(yīng)用應(yīng)優(yōu)先選擇1/1周期振動的最大漸進量.l增大，存在1/1周期振動的ω區(qū)間略有增加，1/1周期振動沖擊速度的峰值和樁體在有限時間內(nèi)(t=300)的最大漸進量略有減小.選擇合適的預(yù)壓量，并確定動力學(xué)參數(shù)的合理匹配規(guī)律，有利于使系統(tǒng)在較寬的激振頻率區(qū)間呈現(xiàn)穩(wěn)定的1/1周期振動，從而獲取較大的瞬時沖擊速度和較好的漸進效果.

圖6 沖擊速度˙x1與參數(shù)(ω,l)的關(guān)聯(lián)關(guān)系Fig.6 Correlative relationship between impact velocity˙x1and parameters(ω,l)

圖7 滑塊的漸進量與參數(shù)(ω,l)的關(guān)聯(lián)關(guān)系Fig.7 Correlative relationship between progression of the slider and parameters(ω,l)

4 結(jié)論

本文以小型振動沖擊式打樁機為工程背景，建立了考慮緩沖墊和支撐介質(zhì)黏彈性的沖擊漸進振動系統(tǒng)的力學(xué)模型.通過分析二維參數(shù)分岔得到在(ω,l)參數(shù)平面內(nèi)，系統(tǒng)存在的各類周期振動的參數(shù)域及其分布規(guī)律.揭示了相鄰p/1類基本振動經(jīng)實擦邊分岔、虛擦邊分岔、鞍結(jié)分岔或多重滑移分岔等非光滑分岔相互轉(zhuǎn)遷的規(guī)律，以及存在于其參數(shù)域臨界線上的奇異點和兩類轉(zhuǎn)遷域：遲滯域和中間過渡區(qū)域.

(1)在低激振頻率區(qū)域，系統(tǒng)主要呈現(xiàn)p/1(p=1,2,3,4)類基本振動，而且，3/1基本振動和4/1基本振動的參數(shù)域交錯出現(xiàn).p/1基本振動的分岔特點以5/1基本振動的參數(shù)域為分界線.

(2)在5/1基本振動參數(shù)域的右邊區(qū)域，相鄰p/1類基本振動的參數(shù)域臨界線上，存在一個奇異點Xp.相鄰 p/1基本振動的分岔特點以奇異點Xp為臨界點.在l小于lXp的區(qū)域內(nèi)，p/1基本振動經(jīng)實擦邊分岔產(chǎn)生(p+1)/1基本振動，相反方向的分岔為鞍結(jié)分岔.實擦邊分岔線和鞍結(jié)分岔線之間存在遲滯域，遲滯域內(nèi)，系統(tǒng)存在兩個周期吸引子共存的現(xiàn)象.在l大于lXp的區(qū)域內(nèi)，相鄰 p/1基本振動的參數(shù)域之間存在一個中間過渡區(qū)域.中間過渡區(qū)域的邊界線為p/1基本振動的虛擦邊分岔線和(p+1)/1基本振動的周期倍化分岔線.中間過渡區(qū)域內(nèi)，系統(tǒng)呈現(xiàn)(2p+2)/2和(2p+1)/2周期振動等.在5/1基本振動參數(shù)域的左邊區(qū)域，p/1基本振動經(jīng)多重滑移分岔產(chǎn)生(p+1)/1基本振動.

(3)在3/1基本振動的參數(shù)域內(nèi)，系統(tǒng)的沖擊速度和滑塊在有限時間內(nèi)的漸進量最大.然而，實際工程應(yīng)用應(yīng)優(yōu)先選擇1/1周期振動的最大漸進量.在設(shè)計和改造沖擊漸進機械設(shè)備時，通過多參數(shù)協(xié)同仿真分析可以確定動力學(xué)參數(shù)的合理匹配規(guī)律，有利于使系統(tǒng)工作于穩(wěn)定的1/1周期振動，同時獲取較大的瞬時沖擊速度和更好的漸進效果.

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TRANSITION LAW OF ADJACENT FUNDAMENTAL MOTIONS IN VIBRO-IMPACT SYSTEM WITH PROGRESSION1)

L¨u Xiaohong?,?,2)Luo Guanwei??(School of Mechanical Engineering，Lanzhou Jiaotong University，Lanzhou 730070，China)
?(Key Laboratory of System Dynamics and Reliability of Rail Transport Equipment of Gansu Province，Lanzhou 730070，China)

The vibro-impact phenomena which widely exists in power mechanical system will make the system exhibit complex dynamic response.So far the research on stability and bifurcation of p/1 fundamental motions of vibro-impact system is still rare,and most studies of vibro-impact dynamics are based on single-parameter bifurcation analysis.In this paper,taking a small vibro-impact driver as engineering background,a mechanical model of a vibro-impact system with progressive motions is established.Types of impact between the vibration exciter and the cushion,and conditions of progressive motions of the slider are analyzed.Judgment conditions and motion equations of four probable motion states presented by the system are put forward.Based on bifurcation analysis of two-dimensional parameters,existence regions and distribution laws of di ff erent types of periodic motions of the system are obtained in the(ω,l)parameter plane.Transition laws of adjacent p/1 fundamental motions are analyzed in detail.In the right region of the existence region of 5/1 fundamental motion,there exists a singular point Xpon the boundary between adjacent regions of p/1 fundamental motions,which is the critical point of bifurcation characteristics of adjacent p/1 fundamental motions.In the region with l less than lXp,adjacent p/1 fundamental motions are transited mutually by real-grazing bifurcation and saddle-node bifurcation.Two periodic attractors can coexist in the hysteresis region,which exists between real-grazing bifurcation boundary and saddle-node bifurcation boundary.In the region with l more than lXp,there exists a transition region between adjacent regions of p/1 fundamental motions.The system exhibits(2p+2)/2 and(2p+1)/2 motions in the transition region.In the left region of the existence region of 5/1 fundamental motion,p/1 fundamental motion transits to(p+1)/1 fundamental motion via multi-sliding bifurcation.

non-smooth system，vibro-impact，progression，periodic motion，bifurcation

O322,TH113.1

A

10.6052/0459-1879-17-037

2017–02–13收稿，2017–06–08 錄用,2017–06–22 網(wǎng)絡(luò)版發(fā)表.

1)國家自然科學(xué)基金(11362008,11462012)和蘭州市人才創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)計劃(2014-RC-33)資助項目.

2)呂小紅,副教授,主要研究方向:非線性動力學(xué).E-mail:lvxh@mail.lzjtu.cn

呂小紅,羅冠煒.沖擊漸進振動系統(tǒng)相鄰基本振動的轉(zhuǎn)遷規(guī)律.力學(xué)學(xué)報,2017,49(5):1091-1102

Lu¨ Xiaohong,Luo Guanwei.Transition law of adjacent fundamental motions in vibro-impact system with progression.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2017,49(5):1091-1102