石培澤

(西南交通大學土木工程學院， 四川成都 610031)

基于正交最小二乘法既有線平面線形擬合

石培澤

(西南交通大學土木工程學院， 四川成都 610031)

文章為了提高既有線平面線形擬合的精度，探討基于正交最小二乘法擬合線形的方法。首先根據(jù)軌檢小車配合全站儀對既有線進行復測得到其坐標，并通過坐標轉(zhuǎn)換得既有線左右軌的高程，利用計算所得的既有線線路高程的變化，進行平面分界點的判斷分段。根據(jù)分段結(jié)果，分別選取直線、圓曲線上的測點，利用正交最小二乘法的基本原理，以撥距量的平方和最小為目標，擬合直線方程以及圓曲線的曲線半徑和圓心坐標。通過實例驗算，利用正交最小二乘法進行平面線形擬合，計算結(jié)果能夠滿足精度要求，且正交最小二乘法的計算易通過計算機編程實現(xiàn)，有較強的適用性。

既有線； 正交最小二乘法； 曲線擬合； 線形分段

鐵路既有線在受到自然環(huán)境以及行車荷載的反復作用，引發(fā)線路幾何形位的不斷變化，導致曲線地段鋼軌磨耗變形會不斷的累積，線路的技術(shù)參數(shù)會不斷的發(fā)生變化[1]。

在曲線地段，軌道經(jīng)過一段時間的運營，其平面曲線線形會發(fā)生較大的變化，嚴重影響列車運營的安全、平穩(wěn)和旅客的舒適性，所以需要定期地對既有線進行復測，并根據(jù)測得點的坐標，對曲線進行擬合。目前，擬合理論較為成熟的方法有牛頓多項式插值擬合、拉格朗日多項式插值擬合、埃爾米特差值擬合、最小二乘法擬合等。相比于最小二乘法，其他幾種方法計算量大，且不易計算，而最小二乘法容易通過計算機的簡單程序?qū)崿F(xiàn)，且能達到較好的效果。

1 最小二乘法擬合鐵路既有線平面線形的可行性

由擬合的數(shù)學定義可知：擬合是求得一個簡單的，且計算量小的函數(shù)f(x)，并可以用f(x)近似替代以離散數(shù)據(jù)形式給定的函數(shù)[2]。按最小二乘法的數(shù)學定義：對于給定的測量數(shù)據(jù)p1(x1,y1)、p2(x2,y2)…pn(xn,yn),存在唯一的多項式pn(x)=a0+a1x+…+anxn，且要求多項式盡可能接近給定的數(shù)據(jù)，即：

由最小二乘法的數(shù)學定義可知，最小二乘法是求一連續(xù)函數(shù)f(x)，使得各離散點到函數(shù)f(x)的距離平方和達到最小。而鐵路線路在進行重構(gòu)時，是以軌道調(diào)整量總體上達到最小為最優(yōu)方案，這與最小二乘法的原理，即擬合的各點到函數(shù)距離平方和最小目標相同。所以，以最小二乘法擬合鐵路平面曲線是可行的。

2 平面線形分段

鐵路既有線平面由直線、圓曲線和曲率不斷變化的緩和曲線三部分組成。想要根據(jù)實測數(shù)據(jù)擬合出使得既有線線撥距量最小的線形，首先要根據(jù)實測數(shù)據(jù)判斷平面上分界點的位置，即確定直緩(ZH)點、緩圓(HY)點、圓緩(YH)點、緩直(HZ)點的坐標位置。

李紅艷[3]通過坐標法測取并計算各測點的坐標，而后進行正矢值的計算，可根據(jù)正矢值的變化，確定分界點ZH點、HY點的位置。選取圓曲線上的點，擬合其圓心坐標以及曲線半徑。但是因為測量中存在誤差，正矢值不斷的發(fā)生變化，進而很難判斷分界點。

陳海軍[4]根據(jù)測得的測點坐標，計算出相鄰測點之間的斜率，并求得相鄰斜率差，根據(jù)斜率差的變化特點，實現(xiàn)了平面的概略分段，然后通過迭代的方法，不斷逼近分段點的準確位置，而后分段進行擬合。但是，對于既有線鐵路，由于列車運行后，線形已偏離設計線位置，且測量誤差的存在，使得對分界點的判斷產(chǎn)生誤差。

對于線路的超高，可根據(jù)軌檢小車配合全站儀對既有線進行復測，并通過坐標轉(zhuǎn)換得既有線左右軌的高程，利用計算所得的既有線線路高程的變化，能夠較好較直觀地區(qū)別既有線各特征點[5]。

3 正交最小二乘擬合鐵路平面圓曲線

3.1 求解圓曲線參數(shù)的概略值

式中：x0、y0和R0分別為圓曲線圓心坐標和半徑的概略值。

3.2 圓曲線擬合殘差方程推導

假設某檢測點pi(xi,yi)到圓曲線(x-X0)2+(y-Y0)2=R2的距離公式為Si，則：

(1)

式中：Si為最小二乘法擬合中pi點的擬合誤差。

設圓心坐標(X0,Y0)概略值為(x0,y0),曲線半徑R的概略值為R0，則：

X0=x0+δx,Y0=y0+δy,R=R0+δR

(2)

將式(2)代入(1)式，并用si代替Si，可得圓曲線在擬合時的殘差方程；

(3)

將式(3)按泰勒級數(shù)展開，并保留前兩項，得：

si(x+δx,y+δy,R+δR)=si(x,y,R)+

簡化上式得：

(4)

式中：

將上述四式代入式(4)得：

(5)

簡化式(5)，得：

Sy=Aδl-B

其中：

(6)

4 正交最小二乘擬合鐵路平面直線

4.1 求解直線參數(shù)的概略值

根據(jù)線形分段結(jié)果，選取直線上的兩點p1(x1,y1)、pm(xm,ym)，計算直線的概略方程：y=a0x+b0，其中：

式中：a0、b0分別為直線參數(shù)的概略值。

4.2 直線擬合殘差方程推導

假設某檢測點pi(xi,yi)到直線y=ax+b的距離公式為Si，則：

(7)

設a概略值為a0,b的概略值為b0，則：

a=a0+δa，b=b0+δb

(8)

將式(8)代入式(7)，并用si代替Si，可得直線在擬合時的殘差方程；

(9)

將式(9)按泰勒級數(shù)展開，并保留前兩項，得：

簡化上式得：

(10)

其中：

將上述四式代入式(10)得：

(11)

簡化式(11)，得：

Sz=Aδl-B

(12)

其中：

式(12)為直線擬合殘差方程，可計算未知參數(shù)的法方程，從而求得基于正交最小二乘法確定圓曲線的方程：y=ax+b。

5 緩和曲線的確定

緩和曲線是曲率不斷變化的特殊曲線，是連接直線和圓曲線的特殊曲線，當圓曲線和直線確定了以后，與之相匹配的緩和曲線是唯一的，具體的計算見參考文獻[4]，此處不再贅述。

6 擬合精度評價

由前文可知，由于軌道變形的原因，實際測量結(jié)果與擬合結(jié)果存在偏移量，通常稱擬合殘差。而由數(shù)理統(tǒng)計與多元統(tǒng)計可知，誤差方差σ2=Var(s)可以看作是實測軌道線形與擬合線形偏差的一種度量[6]。故將殘差方差的大小作為衡量實測線形與擬合線形的標準。誤差方差的無偏估計量：

(13)

式中：n為參與擬合點的個數(shù)；t為擬合計算時的必要測點數(shù)，直線時取2，圓曲線時取3。

7 算例

參照上述計算，以圓曲線擬合為例，對上述計算進行驗證。以某既有線實測曲線數(shù)據(jù)為依據(jù)，實測坐標如表1所示。

表1 測點坐標

將上述測點坐標代入式(6)，并利用MATLAB進行編程，計算可得圓曲線圓心坐標為(943.382,606.983)，圓曲線半徑R為799.607 m。則圓曲線的方程為：

(x-943.382)2+(y-606.983)2=799.6072

擬合精度的計算，如式(13)所示：

(13)

將表1中的坐標代入式(13)可計算得：

σ2=0.057

由數(shù)理統(tǒng)計與多元統(tǒng)計可知，σ2越小，殘差平方和S也會越小[6]，通過計算σ2=0.057，可知殘差平方和很小，證明圓曲線方程可以很好地擬合測點坐標。

8 結(jié)論

本文推導以距離殘差平方和最小為原則的圓曲線最小二乘擬合計算的數(shù)學模形，通過擬合的方式確定的軌道線形能夠在保證線路平順、規(guī)范的前提下使既有線線路上軌道調(diào)整量整體上達到最小，從而降低了線路運營維護的成本和工作量。

[1] 易思蓉.鐵路選線設計[M].成都：西南交通大學出版社,2004.

[2] 徐躍良.數(shù)值分析[M].成都：西南交通大學出版社,2004.

[3] 李紅艷,陳治亞,邢誠.鐵路既有線曲線復測計算方法[J].中國鐵道科學,2009,30(2).

[4] 陳海軍.既有線線有砟軌道優(yōu)化現(xiàn)行算法研究計取軟件研制[D].西南交通大學,2013.

[5] 陳峰,楊岳.鐵路既有線復測平面曲線優(yōu)化方法[J].鐵道科學與工程學報,2012,9(9)：55-57.

[6] 何平.數(shù)理統(tǒng)計與多元統(tǒng)計[M].成都:西南交通大學出版社,2007.

U216.3

A

[定稿日期]2017-06-06

石培澤(1991～)，男，碩士研究生，研究方向為鐵路既有線重構(gòu)。

住房城鄉(xiāng)建設部關(guān)于加強歷史建筑保護與利用工作的通知

建規(guī)[2017]212號

各省、自治區(qū)住房城鄉(xiāng)建設廳，海南省規(guī)劃委員會，直轄市規(guī)劃局(規(guī)劃國土委、規(guī)劃國土局)，新疆建設兵團建設局：

黨中央、國務院歷來重視歷史建筑保護工作。習近平總書記指出，要保護弘揚中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，延續(xù)城市歷史文脈，保留中華文化基因。要保護好前人留下的文化遺產(chǎn)，包括文物古跡、歷史文化名城名鎮(zhèn)名村、歷史文化街區(qū)、歷史建筑、工業(yè)遺產(chǎn)以及非物質(zhì)文化遺產(chǎn)，既要保護古代建筑，也要保護近代建筑，既要保護單體建筑，也要保護街巷街區(qū)、城鎮(zhèn)格局。為貫徹落實習近平總書記系列重要講話精神，進一步做好歷史建筑的保護和利用工作，現(xiàn)通知如下：

一、充分認識保護歷史建筑的重要意義

歷史建筑是指經(jīng)城市、縣人民政府確定公布的具有一定保護價值，能夠反映歷史風貌和地方特色，未公布為文物保護單位，也未登記為不可移動文物的建筑物、構(gòu)筑物，是城市發(fā)展演變歷程中留存下來的重要歷史載體。加強歷史建筑的保護和合理利用，有利于展示城市歷史風貌，留住城市的建筑風格和文化特色，是踐行新發(fā)展理念、樹立文化自信的一項重要工作。

二、加強歷史建筑的保護與利用

(一)做好歷史建筑的確定、掛牌和建檔。各地要加快推進歷史建筑的普查確定工作，摸清家底，多保多留不同時期和不同類型的歷史建筑。要注重改革開放前城市近現(xiàn)代建筑遺產(chǎn)的保護，做到應保盡保。建立歷史建筑保護清單和歷史建筑檔案，對歷史建筑予以掛牌保護。

(二)最大限度發(fā)揮歷史建筑使用價值。支持和鼓勵歷史建筑的合理利用。要采取區(qū)別于文物建筑的保護方式，在保持歷史建筑的外觀、風貌等特征基礎(chǔ)上，合理利用，豐富業(yè)態(tài)，活化功能，實現(xiàn)保護與利用的統(tǒng)一，充分發(fā)揮歷史建筑的文化展示和文化傳承價值。積極引導社會力量參與歷史建筑的保護和利用。鼓勵各地開展歷史建筑保護利用試點工作，形成可復制可推廣的經(jīng)驗。同時探索建立歷史建筑保護和利用的規(guī)劃標準規(guī)范和管理體制機制。

(三)不拆除和破壞歷史建筑。各地應加強對歷史建筑的嚴格保護，嚴禁隨意拆除和破壞已確定為歷史建筑的老房子、近現(xiàn)代建筑和工業(yè)遺產(chǎn)，不拆真遺存，不建假古董。

(四)不在歷史建筑集中成片地區(qū)建高層建筑。在歷史文化街區(qū)以及其他歷史建筑集中成片地區(qū)，禁止在對其歷史風貌產(chǎn)生影響的范圍內(nèi)建設高層建筑和大洋怪的建筑。新建建筑應與歷史建筑及其歷史環(huán)境相協(xié)調(diào)，保護好歷史建筑周邊地區(qū)的歷史肌理、歷史風貌，嚴格按照保護規(guī)劃要求控制建筑高度。

各省(區(qū)、市)住房城鄉(xiāng)建設規(guī)劃主管部門要加強指導和監(jiān)督檢查，2017年底前將本通知落實情況報我部，我部將適時組織督查。

摘自中華人民共和國住房和城鄉(xiāng)建設部網(wǎng)站