彭雪純 湖南省長(zhǎng)沙市麓山國(guó)際實(shí)驗(yàn)學(xué)校

基于平面幾何性質(zhì)的向量問(wèn)題思考

彭雪純 湖南省長(zhǎng)沙市麓山國(guó)際實(shí)驗(yàn)學(xué)校

高中學(xué)習(xí)，幾何是十分重要的知識(shí)點(diǎn)，具有很強(qiáng)的包容性。而向量問(wèn)題能夠?qū)ξ覀兊倪壿嬎季S進(jìn)行培養(yǎng)，具有著代數(shù)和幾何的雙重性質(zhì)，因此這種題型在高考中十分的常見(jiàn)。本文以實(shí)際例題為基礎(chǔ)，對(duì)平面幾何性質(zhì)的向量問(wèn)題進(jìn)行了深入的思考。

向量 平面幾何 例題解析

1 距離的相關(guān)概念

向量模長(zhǎng)是兩點(diǎn)之間距離的表現(xiàn)，對(duì)這種模長(zhǎng)進(jìn)行理解與考核，是向量幾何性質(zhì)中最根本的呈現(xiàn)。

例題1：已知e1，e2是空間單位向量，而e1e2,若是空間向量b滿足了be1=2，be2=，并且對(duì)任意x，y∈R，我們?cè)趯?duì)這道題目進(jìn)行仔細(xì)閱讀之后，可以得知能夠使用代數(shù)化方式進(jìn)行解答，不過(guò)相對(duì)復(fù)雜，并且也不能夠呈現(xiàn)出向量幾何性質(zhì)。其首先要理解的是b的重點(diǎn)是處在和e1，e2形成平面，Ian的垂線上運(yùn)動(dòng)，經(jīng)由平面向量相關(guān)的定理能夠知道（xe1，ye2）體現(xiàn)的向量和e1，e2處在同個(gè)平面中。而表示的則是（圖1）中在B進(jìn)行任意移動(dòng)時(shí)，距離最小時(shí)當(dāng)且只當(dāng)Q的位置是線和面的垂足，以三角形方面的定理可以知道這個(gè)時(shí)候x0=1，y0=2。因此在這道題的關(guān)鍵是對(duì)距離的理解，對(duì)其進(jìn)行運(yùn)用和構(gòu)圖就是解題的突破口。

圖1

2 平行四邊形的性質(zhì)

我們學(xué)習(xí)了平面四邊形知識(shí)后，會(huì)了解到一個(gè)關(guān)鍵性質(zhì)，即對(duì)角線平方和等于鄰邊平方和的2倍。在這個(gè)性質(zhì)上就可以知道向量和之差是平面四邊形最基本的幾何表現(xiàn)。在這個(gè)性質(zhì)的基礎(chǔ)上，對(duì)向量問(wèn)題進(jìn)行解答就十分的容易。

例題2：如圖2，CD兩個(gè)點(diǎn)在△PAB的邊AB之上，AC=BD若是∠CPD+90°，并且PA2+PB2=10，那么2AB+CD最大值是多少？

圖2

解析：取CD重點(diǎn)O，在這個(gè)基礎(chǔ)上連接PO，由于PA2+PB2=10，因此 2（PO2+AO2）=10，又因?yàn)?AO=AB，PO=CD，所以2（[）2+（）2]=10，因 此 AB2+CD2=20．記 x=AB，y=CD， 則 就 會(huì) 有x2+y2=20，Z=2x+y，使用線性定理能夠得到（2x+y）max=10這道理是使用兩個(gè)平行四邊形對(duì)角線的特征。使用上面的結(jié)論進(jìn)行有效的轉(zhuǎn)化，進(jìn)而減少了對(duì)題目的運(yùn)算量。

3 極化恒等式

這個(gè)等式是對(duì)向量數(shù)量積和向量和之差之間關(guān)系進(jìn)行體現(xiàn)的式子，在這個(gè)基礎(chǔ)上進(jìn)行解題，就能夠避免了內(nèi)部凌亂的預(yù)算關(guān)系出現(xiàn)，從而實(shí)現(xiàn)了便捷解答問(wèn)題的目的。

解析：經(jīng)過(guò)對(duì)題目的閱讀之后可以得知題目中出現(xiàn)了a-c和ac，所以在a+c的基礎(chǔ)上就能夠得知這三者之間一恒等關(guān)系：對(duì)于a+c而言，在△OAC之中，取AC中點(diǎn)M，那么所以在對(duì)ac的最大值進(jìn)行求解時(shí)，只用求的最大值就行。在這個(gè)圓中，因?yàn)锳C=3，因此我們就能夠知道OM經(jīng)過(guò)圓心時(shí)獲取最大值，在這個(gè)基礎(chǔ)上就能夠得到所以代入就能夠得到ac最大值是（92-9）=18。解此題時(shí)，我們知道，計(jì)劃恒等式的存在就不需要在內(nèi)部對(duì)數(shù)量關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)換，在日常學(xué)習(xí)以及考試中，這種題型比較常見(jiàn)。在遇到這種問(wèn)題時(shí)要對(duì)題目進(jìn)行詳細(xì)的閱讀，以此判定這道題是否能夠使用計(jì)劃恒等式的方式對(duì)題目進(jìn)行解答。合理運(yùn)用這種方式能提升我們對(duì)知識(shí)的運(yùn)用能力，和解題速度。

4 幾何圖形的構(gòu)成

對(duì)向量幾何意義進(jìn)行考查時(shí)，離不開(kāi)對(duì)幾何圖形的構(gòu)建，這其中常見(jiàn)的幾何圖形是對(duì)向量問(wèn)題進(jìn)行解決的關(guān)鍵所在。我們?cè)诮忸}的時(shí)候要對(duì)幾何圖形進(jìn)行仔細(xì)觀察，還需要掌握幾何圖形的相關(guān)性質(zhì)，例如三角形和圓的結(jié)構(gòu)等等。

解析：向量ab滿足于夾角120°，并且a-c和b-c夾角是60°，使用四個(gè)點(diǎn)公圓進(jìn)行圖形的構(gòu)建，如圖3，設(shè)=b，則∠ACB=60°，由此可知點(diǎn)C軌跡是優(yōu)弧上面的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)C是優(yōu)弧中點(diǎn)時(shí)，取得最大值，其即為OABC四點(diǎn)處在圓的直徑，在這個(gè)基礎(chǔ)上就能夠得到而根據(jù)三角形的正弦定理就能夠得到：

平面幾何是考察我們數(shù)學(xué)知識(shí)區(qū)分和運(yùn)用能力，而把向量問(wèn)題中存在的平面幾何性質(zhì)進(jìn)行研究，在這個(gè)基礎(chǔ)上就能夠讓我們?cè)趲缀涡再|(zhì)的基礎(chǔ)上進(jìn)行向量題目的解答，從而在解答過(guò)程中對(duì)我們的解題思路進(jìn)行正確的引導(dǎo)，開(kāi)辟出在解題中的新思路。

圖3

[1]印金鳳.基于平面幾何性質(zhì)的向量問(wèn)題思考[J].數(shù)理化學(xué)習(xí):高中版,2016(10):10-12.