李一帆

摘 要：氣溫變化、植物生長(zhǎng)都是連續(xù)變化的，這種現(xiàn)象在函數(shù)關(guān)系上反映就是函數(shù)的連續(xù)性。但有些函數(shù)在其定義域內(nèi)會(huì)出現(xiàn)不連續(xù)的情況，即斷開(kāi)的情況，這樣的點(diǎn)是函數(shù)的間斷點(diǎn)，本文就來(lái)討論這樣的點(diǎn)的類(lèi)型及其計(jì)算方法。

關(guān)鍵詞：不連續(xù) 間斷點(diǎn) 分類(lèi) 計(jì)算方法

中圖分類(lèi)號(hào)：G64 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2017）09（b）-0218-02

我們知道，在數(shù)學(xué)中，基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的，但其他類(lèi)型的函數(shù)存在間斷點(diǎn)，討論函數(shù)間斷點(diǎn)的類(lèi)型和如何計(jì)算的間斷點(diǎn)是本文的重點(diǎn)內(nèi)容。

1 函數(shù)的間斷點(diǎn)

1.1 間斷點(diǎn)的概念

定義：如果函數(shù)在處不連續(xù)，則稱(chēng)為函數(shù)的一個(gè)間斷點(diǎn)。

1.2 產(chǎn)生間斷點(diǎn)的原因

（1）在處沒(méi)有定義

例如：在處沒(méi)有定義。

（2）在處沒(méi)有極限

例如：當(dāng)時(shí)沒(méi)有極限。

（3）

例如：當(dāng)時(shí)。

1.3 間斷點(diǎn)的分類(lèi)

定義：如果是間斷點(diǎn)，當(dāng)在左右極限都存在時(shí)，則稱(chēng)為第一類(lèi)間斷點(diǎn)。若及中至少有一個(gè)不存在，則稱(chēng)為第二類(lèi)間斷點(diǎn)如圖1。

間斷點(diǎn)類(lèi)型可如圖2～4所示。

2 函數(shù)間斷點(diǎn)的計(jì)算方法

例1：求函數(shù)的間斷點(diǎn)，并判斷其分類(lèi)。

解：因?yàn)楹瘮?shù)在處沒(méi)有定義，可以先考察函數(shù)在該點(diǎn)處的左右極限。

左極限：

右極限：

所以，

但在沒(méi)有定義

因此，是第一類(lèi)間斷點(diǎn)，且是可去間斷點(diǎn)。

例2：判斷函數(shù)的間斷點(diǎn)的類(lèi)型。

解：是分段函數(shù)，是其間斷點(diǎn)。

下面分析在處的左右極限。

左極限：

右極限：

則：

因此，是第一類(lèi)間斷點(diǎn)，且是跳躍間斷點(diǎn)。

例3：求正切函數(shù)的間斷點(diǎn)及其類(lèi)型。

解：正切函數(shù)在處沒(méi)有定義，且因此，是正切函數(shù)的第二類(lèi)間斷點(diǎn)，且是無(wú)窮間斷點(diǎn)。

例4：求正弦函數(shù)的間斷點(diǎn)及其類(lèi)型。

解：正弦函數(shù)在點(diǎn)處沒(méi)有定義，且當(dāng)時(shí)，的函數(shù)值在-1和1之間無(wú)限次的變動(dòng)，因此在點(diǎn)的極限不存在，所以，是的第二類(lèi)間斷點(diǎn)，且是振蕩間斷點(diǎn)。

3 結(jié)語(yǔ)

間斷點(diǎn)是不連續(xù)函數(shù)的重要特征，可去間斷點(diǎn)或跳躍間斷點(diǎn)是函數(shù)在該點(diǎn)的左極限、右極限都存在，但第二類(lèi)間斷點(diǎn)是左、右極限至少有一個(gè)不存在。函數(shù)的間斷點(diǎn)在實(shí)際生活中也具有十分重要的作用。

參考文獻(xiàn)

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