劉榮輝, 周 疆

(新疆大學 數(shù)學與系統(tǒng)科學學院, 烏魯木齊 新疆 830046)

雙線性分數(shù)次Hardy算子交換子在Herz-Morrey空間上的估計

劉榮輝, 周 疆*

(新疆大學 數(shù)學與系統(tǒng)科學學院, 烏魯木齊 新疆 830046)

證明了雙線性分數(shù)次Hardy算子和雙線性分數(shù)次共軛Hardy算子分別與中心BMO函數(shù)生成的交換子在Herz-Morrey空間上的有界性,同時得到了雙線性Hardy算子交換子和雙線性共軛Hardy算子的相應結(jié)果.

1 預備知識

雙線性算子的研究起源于20世紀70年代,文獻[1-2]發(fā)現(xiàn)Calderón-Zygmund交換子的研究可以歸結(jié)為一類雙線性奇異積分算子的研究.隨后雙線性算子的有界性問題得到眾多研究者的關注,如文獻[3-6]等在此方面有非常出色的工作.與此同時,關于Hardy算子的研究也得到了迅速的發(fā)展,參見文獻[7-10].

1920年,Hardy在證明Hilbert雙重級數(shù)定理的過程中得到了Hardy積分不等式,此后Hardy算子的研究便引起了眾多學者的廣泛關注,他們不僅研究了Hardy積分不等式的各種不同形式的證明,而且還對其進行了推廣和應用[11-12].

1995年,M. Chirst等[13]給出了n維Hardy算子

2007年，傅尊偉等[14]首次給出了n維分數(shù)次Hardy算子

并建立了它們在Lebesgue 空間和齊次Herz 空間中的有界性，同時研究了與(中心BMO 空間) 函數(shù)所生成的交換子的有界性，其中,0≤β

首先介紹n維雙線性分數(shù)次Hardy算子的定義.

下面給出Herz-Morrey空間的定義.設Bk={x∈Rn:|x|≤2k}對于k∈Z,記Ak=BkBk-1且χk=χAk,其中χAk是Ak的特征函數(shù).

其中

注1.2中心BMO空間被認為是BMO空間中的球心在原點時的BMO空間,但事實上,中心BMO空間不是BMO空間的一種簡單形式,比如中心BMO空間不滿足John-Nirenberg不等式,且

BMO(Rn),

在2003年,C.Pérez等[11]研究了如下定義的雙線性Calderón-Zygmund算子交換子:

[T,b]1(f,g)=T(bf,g)-bT(f,g),

[T,b]2(f,g)=T(f,bg)-bT(f,g),

C.Pérez等[11]討論了交換子[T,b]i(i=1,2)在Lebesgue空間上的有界性,即如果b∈BMO(Rn),1

‖[T,b]1(f,g)‖Lp(Rn),‖[T,b]2(f,g)‖Lp(Rn)≤

C‖b‖BMO(Rn)‖f‖Lp1(Rn)‖g‖Lp2(Rn),

同時也研究了當1/2

受上述工作的啟發(fā),首先給出雙線性分數(shù)次Hardy算子交換子和雙線性分數(shù)次共軛Hardy算子交換子的定義.

本文是齊次Herz-Morrey空間上的結(jié)果,但是對于非齊次的Herz-Morrey空間同樣成立,文中的C通常表示與空間維數(shù)等有關的常數(shù),每次出現(xiàn)時有可能其值并不相同,對于Rn中的可測子集E,用|E|表示E的Lebesgue測度.

2 主要結(jié)論

定理2.1設0

定理2.2設0

令

0≤β<2n/max(q1,q2),

α=α1+α2,λ=λ1+λ2,

則有：

在定理2.1中令β=0,有如下推論.

推論2.1設0

在定理2.2中令β=0,有如下推論.

3 定理的證明

引理3.1[14]設b∈CMO1(Rn)且i,k∈Z,則

|b(t)-bBk|≤|b(t)-bBi|+

C|i-k|‖b‖CMO1(Rn).

引理3.2設0<β

‖Iβf‖Lq2(Rn)≤C‖f‖Lq1(Rn).

令1/u=1/q1+1/q2,則1/q=1/u-β/n.注意到

χBj(x)≤C2-jβIβ(χBj)(x),

使用H?lder不等式得

‖χk‖Lq(Rn)≤‖χBk‖Lq(Rn)≤C2-kβ‖Iβ(χBk)‖Lq(Rn)≤C2-kβ‖χBk‖Lu(Rn)≤C2-kβ‖χBk‖Lq1(Rn)‖χBk‖Lq2(Rn).

利用上式可得

下面估計J,由引理2.1可得

對于J1,通過H?lder不等式,類似于I的估計得

對于J2,由H?lder不等式,類似于I的估計有

J2≤C‖

基于對I、I1和I2的估計可得

因為

定理2.1(ii)的證明與定理2.1(i)的證明類似，只是將交換子與函數(shù)f2結(jié)合，因此省略證明的細節(jié).

現(xiàn)在分別估計I和J,對于I,由H?lder不等式

以及條件

可得

對于J,由引理2.1得

下面分別估計J1和J2.對于J1,由H?lder不等式類似I的估計得

對于J2,由H?lder不等式類似估計有

J2≤C‖

結(jié)合I、J1和J2的估計可得

令1/p1+1/p2=1/γ,則1/γ-β/n=1/p,從而p>γ利用H?lder不等式和α=α1+α2,可得

S≤C‖

所以,利用條件αi>λi+β/2-n/qi(i=1,2)

定理2.2(ii)的證明與定理2.2(i)的證明類似,因此不再贅言.

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Estimate of the Commutators of Bilinear Fractional Hardy Operators on Herz-Morrey Spaces

LIU Ronghui, ZHOU Jiang

(CollegeofMathematicsandSystemSciences,XinjiangUniversity,Urumqi830046,Xinjiang)

In this paper, it is proved that the commutators of bilinear operators and conjugate operators generated by central BMO functions and bilinear fractional Hardy operators are bounded on the Herz-Morrey, respectively. The similar results for bilinear Hardy operators and bilinear conjugate Hardy operators are also obtained.

2016-11-15

國家自然科學基金(11661075)

*通信作者簡介：周 疆(1968—),男,教授,主要從事調(diào)和分析的研究,E-mail:zhoujiang@xju.edu.cn

O174.2

A

1001-8395(2017)05-0621-07

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.05.010

2010MSC:42B20; 42B45

(編輯 李德華)