李?yuàn)檴? 王智勇

(南京信息工程大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 江蘇 南京 210044)

一類分?jǐn)?shù)階邊值問題解的存在性

李?yuàn)檴? 王智勇*

(南京信息工程大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 江蘇 南京 210044)

研究一類非齊次分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題

其中,λ>0,h∈L2([0,T],RN)且h(t)?0.利用山路引理和Ekeland變分原理,得到上述問題至少存在2個(gè)非平凡解.

分?jǐn)?shù)階邊值問題; 山路引理; Ekeland變分原理

1 主要結(jié)果

考慮如下分?jǐn)?shù)階邊值問題

(A) 對(duì)?x∈RN,F(t,x)關(guān)于t是可測的,對(duì)a.e.t∈[0,T],F(t,x)關(guān)于x是連續(xù)可微的,且存在a∈C(R+,R+),b∈L1([0,T],R+)使得:

|F(t,x)|≤a(|x|)b(t),

|▽F(t,x)|≤a(|x|)b(t),

對(duì)?x∈RN和a.e.t∈[0,T]成立.

當(dāng)β=0,λ=0時(shí),問題(1)退化為

上述邊值問題具有較為簡單的變分結(jié)構(gòu),其解的存在性和多重性已有很多結(jié)果,如文獻(xiàn)[1-4].

當(dāng)λ=0時(shí),問題(1)則變?yōu)?/p>

2011年,Jiao F.等[5]首次給出了問題(2)的變分結(jié)構(gòu),利用極小作用原理和山路引理,得到問題(2)至少存在一個(gè)解.自此以后,位勢函數(shù)F(t,x)在各種增長條件下,關(guān)于問題(2)解的存在性和多解性涌現(xiàn)了大量的結(jié)果,如文獻(xiàn)[6-8]及其參考文獻(xiàn).

受上述結(jié)果的啟發(fā),本文利用山路引理及Ekeland變分原理,討論了問題(1)的2個(gè)解的存在性.

定理1.1假設(shè)F滿足條件(A),且存在常數(shù)r>2,μ>r-2以及Λ0>0,使得下列條件成立:

其中,Γ為通常的伽馬函數(shù),α=1-β/2;則當(dāng)λ∈(0,Λ0)時(shí),問題(1)至少存在2個(gè)非平凡解.

注1.1在文獻(xiàn)[9]中,利用山路引理討論了問題(2)在條件(A)、(A3)～(A5)及

本文考慮帶擾動(dòng)項(xiàng)h(t)的問題(1)多個(gè)解的存在性問題.事實(shí)上,擾動(dòng)項(xiàng)h(t)的存在對(duì)弱解的多解性在本文中起著關(guān)鍵作用.

2 預(yù)備知識(shí)

下面介紹一些分?jǐn)?shù)階微積分的基本概念,并且給出問題(1)的工作空間和變分結(jié)構(gòu).

定義2.1[10]設(shè)γ>0,函數(shù)f(t)定義在[a,b]上,它的γ階左和右Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)積分分別定義為:

和

其中右在[a,b]上逐點(diǎn)有定義.

定義2.2[10]設(shè)γ>0,函數(shù)f(t)定義在[a,b]上,它的γ階左和右Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)分別定義為:

和

其中,t∈[a,b],n-1≤γ

記AC([a,b],RN)為絕對(duì)連續(xù)函數(shù)空間,對(duì)k∈N,

ACk([a,b],RN)={f∈Ck-1([a,b],RN):

f(k-1)∈AC([a,b],RN)}.

定義2.3[10]設(shè)γ≥0,n∈N,若γ∈[n-1,n)且f(t)∈ACn([a,b],RN);則函數(shù)f(t)的γ階左和右Caputo分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)于[a,b]上幾乎處處存在,且分別定義為:

和

L2([0,T],RN),u(0)=u(T)=0,1/2<α≤1},

易知它是自反的可分的Banach空間,其范數(shù)為

命題2.4[11]設(shè)0<α≤1,1

(3)

進(jìn)一步,若α>1/p且1/p+1/q=1,則有

特別地,當(dāng)p=2時(shí),有以下2個(gè)不等式成立:

(4)

(5)

注2.1由(5)式,Eα上的范數(shù)‖·‖等價(jià)于如下定義的‖·‖α,即

引理2.5[5]設(shè)0<α≤1,11/p.若序列{un}在Eα上弱收斂于u,即un?u;則在C([0,T],RN)上有un→u,即當(dāng)n→+∞時(shí),‖un-u‖∞→0.

定義2.6若對(duì)u∈Eα以及?v∈Eα,有

則稱u為問題(1)的弱解.

定義泛函φ:Eα→R為

λh(t)u(t)-F(t,u(t))]dt;

(6)

根據(jù)條件(A),由文獻(xiàn)[5]中定理4.1,可知φ∈C1(Eα,R)且有

(7)

進(jìn)一步可知,u∈Eα為問題(1)的弱解當(dāng)且僅當(dāng)u為泛函φ的臨界點(diǎn).

引理2.7[5]若1/2<α≤1,則對(duì)?u∈Eα,有

|cos(πα)|‖u‖α2≤

(8)

定義2.8[1]設(shè)X是實(shí)Banach空間,φ∈C1(X,R),如果{un}?X,φ(un)有界且φ′(un)→0(n→+∞);則稱序列{un}?X為φ的(PS)序列.如果它的每一(PS)序列都有一收斂子列,則稱泛函φ滿足(PS)條件.

定義2.9[1]設(shè)X是實(shí)Banach空間,φ∈C1(X,R),如果{un}?X,φ(un)有界,且(1+‖un‖α)‖φ(un)‖α→0(n→+∞);則稱序列{un}?X為φ的(C)序列.如果它的每一(C)序列都有一收斂子列,則稱泛函φ滿足(C)條件.

引理2.10[2](山路引理) 設(shè)X為實(shí)Banach空間,φ∈C1(X,R)滿足(PS)條件,φ(0)=0,且有:

(I1) 存在常數(shù)ρ,β>0,使得φ|?Bρ≥β;

(I2) 存在e∈XBρ,使得φ(e)≤0,

則φ存在一個(gè)臨界值c≥β,且

注2.2由文獻(xiàn)[12]可知,山路引理在(C)條件下依然成立.

3 定理的證明

為了敘述方便,令Ci(i=1,2,3,…)表示一系列不同的正常數(shù).

引理3.1假設(shè)條件(A)、(A4)、(A5)成立,則泛函φ滿足條件(C).

證明令X=Eα,首先證明{un}在X上有界.假設(shè){un}是泛函φ的(C)序列,即{φ(un)}有界,且當(dāng)n→+∞時(shí),有‖φ′(un)‖α(1+‖un‖α)→0;則對(duì)?n∈N有

φ(un)≤C1,

‖φ′(un)‖α(1+‖un‖α)≤C1.

(9)

根據(jù)條件(A4),存在常數(shù)R1>0,使得對(duì)?|x|≥R1以及a.e.t∈[0,T],有

F(t,x)≤C2|x|r.

(10)

結(jié)合(10)式和條件(A),對(duì)?x∈RN和a.e.t∈[0,T],可知

F(t,x)≤C2|x|r+g1(t),

(11)

(12)

由條件(A5),存在常數(shù)R2>0,使得對(duì)?|x|≥R2和a.e.t∈[0,T],有

(▽F(t,x),x)-2F(t,x)≥C5|x|μ;

因此,再由條件(A),對(duì)?x∈RN和a.e.t∈[0,T],可得

(▽F(t,x),x)-2F(t,x)≥C5|x|μ-g2(t), (13)

下面分2種情形進(jìn)行討論.

情形1若μ>r,利用H?lder不等式和帶ε的Young不等式有

(14)

考慮(6)、(7)、(9)、(13)和(14)式有

所以可得

(16)

根據(jù)(12)、(16)式及H?lder不等式,可知

注意到,μ>r,因此‖un‖α有界.

(17)

其中,p′=μ-r+2,1/p′+1/q′=1.利用(15)和(17)式可得

因此

(18)

由于μ>r-2,利用(12)、(18)式和H?lder不等式,并注意到ε的定義有

因此,‖un‖α有界.

綜上所述,對(duì)于μ>r-2,總有{un}在X中有界.

最后證明{un}在X上有強(qiáng)收斂子列.因?yàn)閧un}在X上有界,則存在子序列,不妨仍記為{un},使得在X上,有un?u.于是,當(dāng)n→+∞時(shí),有

〈φ′(un)-φ′(u),un-u〉=

〈φ′(un),un-u〉-〈φ′(u),un-u〉≤

‖φ′(un)‖α‖un-u‖α-

〈φ′(u),un-u〉→0.

(19)

由(5)式和引理2.5,可知{un}在C([0,T],RN)上有界;并且當(dāng)n→+∞時(shí),有‖un-u‖∞→0.因此,再依據(jù)條件(A),當(dāng)n→+∞時(shí),有

(20)

此外,由(7)、(8)、(20)式以及H?lder不等式有

〈φ′(un)-φ′(u),un-u〉=

所以結(jié)合(19)式可得,當(dāng)n→+∞時(shí),‖un-u‖α→0,即φ滿足(C)條件.

引理3.2假設(shè)F滿足條件(A2)、(A4),則存在常數(shù)ρ>0,β>0和Λ0>0,使得當(dāng)‖u‖α=ρ,λ∈(0,Λ0)時(shí),有φ(u)≥β.

證明根據(jù)條件(A2)、(A4)可知,存在常數(shù)ε1∈(0,|cos(πα)|),對(duì)?x∈RN和a.e.t∈[0,T],有

C12|x|r.

(21)

由(3)、(6)、(8)、(21)式及H?lder不等式有

λh(t)u(t)-F(t,u(t))]dt≥

引理3.3假設(shè)F滿足條件(A)、(A3),則存在e∈X且‖e‖α>ρ,使得φ(e)<0.

證明由條件(A3)知,存在常數(shù)ε2>0和R3>0,使得對(duì)?|x|≥R3以及a.e.t∈[0,T]有

F(t,x)≥

再由條件(A),對(duì)?x∈RN和a.e.t∈[0,T]有

(22)

(23)

根據(jù)(6)、(8)、(22)、(23)式和H?lder不等式,當(dāng)s→+∞時(shí)有

λsh(t)u0(t)-F(t,su0(t))]dt≤

所以,存在充分大的s0使得φ(s0u0)<0,取e=s0u0∈X,有φ(e)<0.

引理3.4假設(shè)條件(A1)成立,則

其中ρ由引理3.2給出.

證明由條件(A1)知,存在常數(shù)δ>0,使得對(duì)?|x|≤δ以及a.e.t∈[0,T]有

F(t,x)≥0.

(24)

λsh(t)φ(t)-F(t,sφ(t))]dt≤

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Existence of Two Solutions for a Class of Nonhomogenous Fractional Boundary Value Problems

LI Shanshan, WANG Zhiyong

(SchoolofMathematicsandStatistics,NanjingUniversityofInformationScienceTechnology,Nanjing210044,Jiangshu)

In this paper, we deal with the following nonhomogeneous fractional boundary value problem

whereλ>0,h∈ ([0,T],RN) andh(t)?0. Using mountain pass lemma and Ekeland’s variational principle, we prove that the above boundary value problem has at least two nontrivial solutions.

fractional boundary value problem; mountain pass lemma; Ekeland’s variational principle

2016-09-22

國家自然科學(xué)基金(11026213、11571176)

*通信作者簡介:王智勇(1979—),男,副教授,主要從事非線性泛函分析的研究,E-mail:mathswzhy@126.com

O175.1

A

1001-8395(2017)05-0615-06

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.05.009

2010MSC:26A33; 35G60

(編輯 余 毅)