謝靈燕, 陳光淦

(四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610066)

帶非齊次Dirichlet邊界的隨機(jī)非線性Schr?dinger方程解的整體存在性

謝靈燕, 陳光淦*

(四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610066)

研究帶有非齊次Dirichlet邊界條件且?guī)в屑有园自肼暤碾S機(jī)非線性Schr?dinger方程在H1(R+)空間中的整體解存在性.在偏微分方程理論、泛函分析和隨機(jī)分析等知識(shí)基礎(chǔ)上,在質(zhì)量泛函和能量泛函的基礎(chǔ)上引入第三個(gè)“橋梁”泛函,通過It公式建立3個(gè)泛函之間的關(guān)系,最終獲得帶非齊次Dirichlet邊界的隨機(jī)非線性Schr?dinger方程在具有競爭非線性的各種情況下解的有界性,從而獲得方程的解的整體存在性.

隨機(jī)非線性Schr?dinger方程; 非齊次Dirichlet邊界條件; 加性白噪聲; 整體存在性

近年來非線性Schr?dinger方程廣泛地應(yīng)用在量子力學(xué)、光學(xué)、物理、電磁等多個(gè)領(lǐng)域中.對(duì)于非線性Schr?dinger方程,非線性項(xiàng)會(huì)影響到解的適定性以及解的爆破行為.目前,非線性Schr?dinger方程方面的研究非常多[1-9].隨機(jī)非線性Schr?dinger方程描述光或者波在隨機(jī)介質(zhì)中的傳播過程,這個(gè)過程和時(shí)間相關(guān),并且光或者波在傳播的過程中會(huì)受到不確定因素的干擾.

本文研究同時(shí)具有噪聲和非齊次的邊界條件的非線性Schr?dinger方程的整體解,因此,考慮一類帶非齊次Dirichlet邊界且具有加性白噪聲的隨機(jī)非線性Schr?dinger方程

iut=uxx+k|u|p-2u+

x∈R+,t≥0,

(1)

賦予非齊次Dirichlet邊界條件

u(0,t)=Q(t),t≥0,

(2)

初值為

u(x,0)=u0(x),

x∈R+,

(3)

對(duì)于帶非齊次Dirichlet邊界條件的非線性Schr?dinger方程的研究,文獻(xiàn)[10-11]給出了方程的局部適定性、解的整體存在性以及有限時(shí)間內(nèi)爆破,但此方法不適用于帶非齊次Dirichlet邊界條件的隨機(jī)非線性Schr?dinger方程相關(guān)的問題.對(duì)于帶齊次邊界條件的隨機(jī)非線性Schr?dinger方程,文獻(xiàn)[12-13]獲得了具有加性噪聲或者乘性噪聲的系統(tǒng)的局部適定性、解的整體存在性以及爆破,但他們的方法仍然不適用于帶非齊次Dirichlet邊界條件的隨機(jī)非線性Schr?dinger方程.

本文研究非齊次Dirichlet邊界和白噪聲同時(shí)對(duì)非線性Schr?dinger方程的影響.為了克服非齊次邊界條件和白噪聲同時(shí)給方程帶來的困難,運(yùn)用偏微分方程理論、泛函分析和隨機(jī)分析的相關(guān)知識(shí),詳細(xì)地分析系統(tǒng)的特征,在質(zhì)量泛函和能量泛函的基礎(chǔ)上引入第三個(gè)“橋梁”泛函,通過It公式建立3個(gè)泛函之間的關(guān)系,最終獲得帶非齊次Dirichlet邊界的隨機(jī)非線性Schr?dinger方程在具有競爭非線性的各種情況下解的有界性,從而獲得方程的解的整體存在性.

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)(Ω,F,P)是一個(gè)完備的概率樣本空間,并賦予一個(gè)域流(Ft)t≥0,另外定義由相互獨(dú)立的實(shí)值布朗運(yùn)動(dòng)組成的序列(βe)e∈N,相關(guān)于域流(Ft)t≥0,賦予1個(gè)希爾伯特正交基(ee)e∈N∈L2(R+),φ∈L2(R+)是有界線性算子.關(guān)于W這個(gè)維納過程有

t≥0,x∈R+,ω∈Ω,

y.

此噪聲的相關(guān)函數(shù)為

其中

其中(ee)e∈N是空間H上的任意標(biāo)準(zhǔn)正交基.

[14]-[15],有如下局部適定性.

τ*(u0,ω)=+∞,

2 系統(tǒng)的特征分析

現(xiàn)在定義3個(gè)泛函,質(zhì)量泛函

能量泛函

▽u(x)|2dx-

第三個(gè)泛函

x.

M(u(t))=M(u0)-

(4)

證明對(duì)M(u)運(yùn)用It公式得

M(u(t))=M(u0)+

iλ|u|q-2u)ds+

(5)

其中Mu(u)h是一階Fréchet微分,h∈H,H是一個(gè)Hilbert空間,計(jì)算可得

x.

Muu(u)(h1,h2)是二階Fréchet微分,h1,h2∈H,H是一個(gè)Hilbert空間,計(jì)算可得

x.

進(jìn)一步可得:

(6)

ik|u|p-2-iλ|u|q-2u)ds=

(7)

(8)

將(6)～(8)式代入(5)式可得(4)式.

λ|u|q-2u)φee(x)dxdβe(s)-

(9)

證明對(duì)H(u)運(yùn)用It公式得

iλ|u|q-2u)ds+

(10)

Hu(u)h是一階Fréchet微分,h∈H,H是一個(gè)Hilbert空間,計(jì)算可得

Huu(u)(h1,h2)是二階Fréchet微分,h1,h2∈H,H是一個(gè)Hilbert空間,計(jì)算可得

進(jìn)一步可得:

(11)

iλ|u|q-2u)ds=

(12)

(13)

將(11)～(13)式代入(10)式可得(9)式.

(14)

證明同樣用It公式計(jì)算得到

ik|u|p-2-iλ|u|q-2u)ds+

(15)

其中Iu(u)h是一階Fréchet微分,h∈H,H是一個(gè)Hilbert空間,可得

其中Iuu(u)(h1,h2)是二階Fréchet微分,h1,h2∈H,H是一個(gè)Hilbert空間,可得

Iuu(u)(h1,h2)=

進(jìn)一步得:

(16)

ik|u|p-2-iλ|u|q-2u)ds=

(17)

(18)

將(16)～(18)式代入(15)式可得(14)式.

3 系統(tǒng)的解的整體存在性

3.1非線性項(xiàng)系數(shù)k=1,λ=1時(shí)方程的解的整體存在性

則方程(1)的解整體存在.

證明令

通常習(xí)慣用C表示常數(shù).對(duì)任給的T0>0,任給停時(shí)τ

τR=inf{t≤τ*(u0),‖u(t)‖H1(R+)≥R}.

由(14)式得

(19)

對(duì)以上等式兩邊同時(shí)取期望,通過H?lder不等式和BDG不等式等工具的處理可得

還可得

‖u(t)‖2]≤

(21)

當(dāng)k=1,λ=1時(shí),有

▽u(x)|2dx-

對(duì)H(u)兩邊同時(shí)估計(jì)期望,化簡得

‖ux‖2]≤

(22)

(23)

由(20)～(23)式,運(yùn)用Young不等式可得

‖ux‖2]≤E(H(u0))+

(24)

將(21)式代入(24)式得

‖ux‖2]≤E(H(u0))+

(25)

3.2非線性項(xiàng)系數(shù)k=1,λ=-1時(shí)方程的解的整體存在性

則方程(1)的解整體存在.

證明令

對(duì)任給的T0>0,任給停時(shí)τ

τR=inf {t≤τ*(u0),‖u(t)‖H1(R+)≥R}.

當(dāng)k=1,λ=-1有

▽u(x)|2dx-

對(duì)H(u)兩邊同時(shí)估計(jì)期望可得

‖ux‖2]≤E(H(u0))+

(26)

由Gagliardo-Nirenberg和Young不等式可得

(27)

將(20)、(21)和(27)式代入(26)式得

‖ux‖2]≤E(H(u0))+

(28)

在(20)和(21)式的基礎(chǔ)上,運(yùn)用Young不等式可得

‖ux‖2]≤E(H(u0))+

(29)

3.3非線性項(xiàng)系數(shù)k=-1,λ=-1時(shí)方程的解的整體存在性

則方程(1)的解整體存在.

證明令

對(duì)任給的T0>0,任給停時(shí)τ

τR=inf{t≤τ*(u0),‖u(t)‖H1(R+)≥R}.

當(dāng)k=-1,λ=-1時(shí)有

▽u(x)|2dx+

對(duì)H(u)兩邊同時(shí)估計(jì)期望得

‖ux‖2]≤E(H(u0))+

(30)

在(20)和(21)式基礎(chǔ)上,對(duì)(30)式用Young不等式進(jìn)一步計(jì)算有

‖ux‖2]≤E(H(u0))+

(31)

參考文獻(xiàn)

[1] UEDA T, KATH W L. Dynamics of optical pulses in randomly birefrengent fibers[J]. Physica D Nonlinear Phenomena,1992,55(1/2):166-181.

[2] CHEN G G, ZHANG J. Remark on global existence for the superctitical nonlinear Schr?dinger equation with a harmonic potential[J]. J Math Anal Appl,2006,320(4):591-598

[3] CHEN G G, DUAN J Q, ZHANG J. Geometric shape of invariant manifolds for a class of stochastic partial differential equations[J]. J Math Phys,2011,52(7):072702.

[4] 舒級(jí),張健. 一類帶無界勢(shì)的非線性Schr?dinger方程的整體性[J]. 四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2005,28(4):20-22.

[5] 步起躍. 半無窮直線上的非線性薛定諤方程[J]. 數(shù)學(xué)年刊,2000,21(4):437-448.

[6] CARROL R, BU Q Y. Solution of the forced nonlinear Schr?dinger equation using PDE techniques[J]. Appl Anal,1991,41(1):33-51.

[7] BRZEZNIAK Z, PESZAT S. Space-time continuous solutions to SPDE’s driven by a homogeneous Wiener process[J]. Studia Math,1999,123(1):261-299.

[8] BOUARD D A, DEBUSSCHE A. A Finite time blow-up in the additive supercritical stochastic nonlinear Schr?dinger euqation:the real noise case[J]. Contemp Math,2002,301(4):183-194.

[9] BANG O, CHRISTIANSEN P L. White noise in the two-dimensional nonlinear Schr?dinger euqation[J]. Appl Anal,1995,57(7):3-15.

[10] BU C. Forced cubic Schr?dinger equation with Robin boundary data:continuous dependency result[J]. ANZIAM J,2000,41(3):301-311.

[11] GUO B L, WU Y H. Global existence and nonexistence of the solution of a forced nonlinear Schr?dinger equation[J]. I Math Phys,1995,36(7):3479-3483.

[12] BOUARD D A, DEBUSSCHE A. The stochastic nonlinear Schr?dinger equation inH1(Rn)[J]. Stochastic Anal Appl,2003,21(5):97-126.

[13] BOUARD D A, DEBUSSCHE A. On the effect of a noise on the solutions of the focusing supercritical nonlinear Schr?dinger Equations[J]. Probab Theory Related Fields,2002,123(1):76-96.

[14] BU Q. On well-posedenss of the forced NLS equation[J]. Appl Anal,1992,46(1):219-239.

[15] STRAUSS W. An inhomogeneous boundary value problem for nonlinear Schr?dinger equation[J]. J Diff Eqns,2001,173(1):79-91.

Global Existence of a Stochastic Nonlinear Schr?dinger Equation with Inhomogeneous Dirichlet Boundary Value

XIE Lingyan, CHEN Guanggan

(CollegeofMathematicsandSoftwareScience,SichuanNormalUniversity,Chengdu610066,Sichuan)

We study the global existence of solutions in the energy spaceH1(R+) for the stochastic nonlinear Schr?dinger equation with Dirichlet boundary value. Based on the partial differential equations theories, functional analysis and stochastic analysis, we introduce the third bridge functional on the basis of quality functional and energy functional and establish the relationship among these three functionals by Itformula. We get the boundedness of the solution of the the stochastic nonlinear Schr?dinger equation with inhomogeneous Dirichlet boundary value, additive white noise and competitive nonlinear terms in each cases and finally obtain the global existence of solution of the equation.

stochastic nonlinear Schr?dinger equation; inhomogeneous Dirichlet boundary value; white noise; global existence

2015-04-08

國家自然科學(xué)基金(11347102)和四川省杰出青年帶頭人培育計(jì)劃基金(2012JQ0041)

*通信作者簡介：陳光淦(1978—),男,教授,主要從事隨機(jī)偏微分方程的研究,E-mail:chenguanggan@hotmail.com

O159

A

1001-8395(2017)05-0593-07

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.05.005

2010MSC：60H15; 35L05; 60H30

(編輯 鄭月蓉)