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(北京林業(yè)大學(xué)工學(xué)院，北京 100083)

研究與設(shè)計(jì)

六自由度輕型機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)誤差分析

李亞奇，肖愛(ài)平*

(北京林業(yè)大學(xué)工學(xué)院，北京 100083)

輕型機(jī)械臂廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域，其有許多優(yōu)點(diǎn)，但也存在一些問(wèn)題，如剛度低、易產(chǎn)生柔性變形等。建立了機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)誤差模型，分析了其在彈性變形時(shí)產(chǎn)生的誤差，同時(shí)討論了減小誤差、提高末端精度的方法。

輕型機(jī)械臂；誤差模型；運(yùn)動(dòng)誤差；柔性誤差

輕型機(jī)械臂在我們的日常生產(chǎn)、生活中發(fā)揮著越來(lái)越重要的作用，其具有許多優(yōu)點(diǎn)，如質(zhì)量輕、功耗低、操作靈活、運(yùn)輸方便等，但也存在剛度較低，容易產(chǎn)生柔性變形等問(wèn)題，這樣就使得輕型機(jī)械臂末端的位置和姿態(tài)誤差較大，定位精度較低。

機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)誤差是衡量機(jī)械臂性能的重要指標(biāo)之一，目前在計(jì)算機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)時(shí)一般是假設(shè)構(gòu)件為剛性體，各個(gè)運(yùn)動(dòng)副之間都是零誤差的理想狀態(tài)來(lái)構(gòu)建模型，但實(shí)際應(yīng)用中構(gòu)件往往會(huì)發(fā)生變形，構(gòu)件的柔性會(huì)對(duì)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程產(chǎn)生影響，如果不考慮構(gòu)件的柔性，在運(yùn)動(dòng)學(xué)分析中就會(huì)產(chǎn)生很大的誤差。本文采用D-H參數(shù)法來(lái)分析機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)誤差[1]。

1 坐標(biāo)系的建立

機(jī)械臂的構(gòu)型如圖1所示，根據(jù)構(gòu)型建立的各連桿坐標(biāo)系如圖2所示，相應(yīng)的連桿參數(shù)見(jiàn)表1。利用齊次變換矩陣表示相鄰兩個(gè)坐標(biāo)系之間的相對(duì)位姿和運(yùn)動(dòng)關(guān)系，將這些矩陣依次相乘得到的變換矩陣就是末端坐標(biāo)系相對(duì)于基坐標(biāo)系的齊次變換矩陣。

圖1 機(jī)械臂構(gòu)型

圖2 各連桿坐標(biāo)系

表1 連桿參數(shù)

連桿i坐標(biāo)n坐標(biāo)變換連桿參數(shù)αi-1ai-1θidi/mm10A100θ1021A2-900θ2032A30300θ3043A3-9050θ440054A4900θ5065A5-900θ60

表中：αi-1為從Zi-1到Zi繞Xi-1旋轉(zhuǎn)的角度；ai-1為從Zi-1到Zi沿Xi-1偏移的距離；di為從Xi-1到Xi沿Zi偏移的距離；θi為從Xi-1到Xi繞Zi旋轉(zhuǎn)的角度。

2 微分運(yùn)動(dòng)

(1)

因此，第i個(gè)桿件相對(duì)于末端坐標(biāo)系的變換矩陣Ti等于各變換矩陣右乘。從而得到的結(jié)果如下：

末端執(zhí)行器的變換矩陣為：

變換矩陣可表示為：

(3)

nx6=C1[C23(C4C5C6-S4S6)-S23S5C6]

+S1(S4C5C6+C4S6)

ny6=S1[C23(C4C5C6-S4S6)-S23S5C6]

-C1(S4C5C6+C4S6)

nz6=-S23(C4C5C6-S4S6)-C23S5C6

ox6=C1[C23(-C4C5S6-S4C6)+S23S5S6]

+S1(C4C6-S4C5S6)

oy6=S1[C23(-C4C5S6-S4C6)+S23S5S6]

-C1(C4C6-S4C5S6)

oz6=-S23(-C4C5S6-S4C6)+S23S5C6

ax6=-C1(C23C4S5+S23C5)-S1S4S5

ay6=-S1(C23C4S5+S23C5)+C1S4S5

az6=S23C4S5-C23C5

px6=C1[300C2+50C23-400S23]

py6=S1[300C2+50C23-400S23]

pz6=-50S23-300S2-400C23

式中：Cn=cosθn，Sn=sinθn，C23=C2C3-S2S3，S23=C2S3+S2C3

假設(shè)機(jī)械臂的第i根桿件發(fā)生彈性變形的坐標(biāo)系統(tǒng)相對(duì)于沒(méi)有發(fā)生彈性變形坐標(biāo)系統(tǒng)的微分變化為：

式中：di為第i根桿發(fā)生的微分位移；δi為第i根桿發(fā)生的微分旋轉(zhuǎn)。

現(xiàn)在假定只有第i根桿件發(fā)生了微變形，其余的桿件均保持不變，則這根桿件引起末端坐標(biāo)系的微分變化為：

(4)

式中：JΔ為第i根桿件的坐標(biāo)系與末端坐標(biāo)系的微分轉(zhuǎn)換方程，[2]其表達(dá)式為：

(5)

通過(guò)式(1)～(5)可以求出末端的微分變化，再將其進(jìn)行疊加就可以得到微分變化下末端坐標(biāo)系總的位置和姿態(tài)的誤差，表達(dá)式為：

6δx=(C1δx1+S1δyi)+(C1C2δx2+S1C2δy2-S2δz2)

+(C1C23δx3+S1C23δy3-S23δz3)

+[(C1C23C4-(-C1S2-S1)S4)δx4+(S1C23C4

-(-S1S2+C1)S4)δy4+(-S23C4+C2S4)δz4]

+[((C1C23C4-(-C1S2-S1)S4)C5-C1S23C5)δx5

+((S1C23C4-(-S1S2+C1)S4)C5-S1S23C5)δy5

+((-S23C4+C2S4)C5-C23S5)δz5]

+[(C1(C23(C4C5C6-S4S6)-S4S6)-S23S5C6)

+S1(S4C5C6+C4S6))δx6+(S1(C23(C4C5C6

-S4S6)-S23S5C6)-C1(S4C5C6+C4S6))δy6

+(-S23(C4C5C6-S4S6)-C23S5C6)δz6]

由于6dx、6dy、6dz、6δy、6δz的表達(dá)式都很復(fù)雜，這里不再詳細(xì)列出。

3 連桿柔性誤差

在剛性機(jī)械臂中只需要考慮幾何誤差即可，但在柔性連桿中，不僅存在幾何誤差，同時(shí)還存在柔性誤差。連桿的柔性對(duì)于機(jī)械臂的影響非常復(fù)雜，要想分析其產(chǎn)生的誤差，首先要知道其在受力情況下是如何變形的。圖3所示為梁受到均布載荷Q、集中作用力F及彎矩τ三種典型力的作用，當(dāng)梁受到不同的載荷影響時(shí)，可以通過(guò)對(duì)不同載荷造成的變形進(jìn)行疊加，從而得到總的變形量。圖中l(wèi)為梁的長(zhǎng)度、θ為梁的末端轉(zhuǎn)角，ω為梁末端的撓度[3-6]。

圖3 梁的變形

在集中載荷F的作用下，末端的撓度和轉(zhuǎn)角分別為：

式中：E為彈性模量，I為梁的截面慣性矩。同理，在其他載荷作用情況下的撓度和轉(zhuǎn)角也可以求出。

圖3所表示的只是連桿在平面內(nèi)的受力情況，但實(shí)際情況下連桿受到的力往往是在空間范圍內(nèi)的，它引起的變形不僅產(chǎn)生位置誤差，而且還會(huì)產(chǎn)生姿態(tài)誤差。連桿受到空間力旋量作用示意圖如圖4所示。

圖4 連桿受到空間力旋量作用示意圖

將連桿一端固定，并在其上固連一個(gè)坐標(biāo)系OXYZ，另一端為O′X′Y′Z′，其中O′X′Y′Z′是由OXYZ沿X軸平移得到的，在坐標(biāo)系原點(diǎn)受到外力F=(fx,fy,fz,τx,τy,τz)T的作用時(shí)，利用有限元法對(duì)機(jī)械手進(jìn)行分析，ei=Si·Fi。

式中：E為彈性模量，G為剪切模量，Iz為連桿截面相對(duì)于z軸的慣性矩，Iy為連桿截面相對(duì)于y軸的慣性矩，Ip為連桿截面相對(duì)于坐標(biāo)系原點(diǎn)的極慣性矩，A為連桿的截面。

根據(jù)以上公式，忽略連桿自重引起的變形，可以得到連桿坐標(biāo)系的彈性變形矢量，表達(dá)式為：

式中：ei為連桿坐標(biāo)系i的彈性變形矢量；Si為連桿坐標(biāo)系i的柔度矩陣；Fi為連桿i末端所受的外力矩陣。

將上式的彈性變形矢量轉(zhuǎn)化到機(jī)械手末端坐標(biāo)系中，可得：

式中：C為變換矩陣的旋轉(zhuǎn)矩陣。

機(jī)械手末端的彈性變形為所有桿件的變形之和，則彈性變形的位置向量DN和方向向量ψN分別為：

式中：k=1，2…N。

根據(jù)以上的位姿誤差模型，給出運(yùn)動(dòng)參數(shù)和對(duì)應(yīng)的原始誤差就可以求得機(jī)器人末端坐標(biāo)系在桿件發(fā)生彈性變形時(shí)在絕對(duì)坐標(biāo)系中的位置誤差和姿態(tài)誤差[7]。

4 減小運(yùn)動(dòng)誤差的方法

機(jī)械臂誤差產(chǎn)生的原因很多，因此要確定誤差的變化規(guī)律有一定的難度，根據(jù)以上的理論和誤差模型主要分析了由于桿件彈性變形引起的誤差變化。在實(shí)際應(yīng)用中可得到每個(gè)桿的變形量，然后帶入相關(guān)公式即可得到機(jī)械臂末端的位置和姿態(tài)誤差。

在實(shí)際工作中也可以通過(guò)以下方法來(lái)減小運(yùn)動(dòng)誤差。

(1)軟件補(bǔ)償。通過(guò)控制軟件進(jìn)行補(bǔ)償，從而減小運(yùn)動(dòng)誤差的影響，提高機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)精度。

(2)通過(guò)實(shí)際測(cè)量結(jié)果與理論計(jì)算來(lái)分析誤差產(chǎn)生的原因，明確哪些是系統(tǒng)誤差、哪些是隨機(jī)誤差，對(duì)隨機(jī)誤差要通過(guò)最小二乘法來(lái)計(jì)算其均值，從而在實(shí)際的路徑規(guī)劃中減小這些誤差的影響。

(3)在每個(gè)桿件上安裝傳感器來(lái)測(cè)量桿件的彈性變形，再通過(guò)控制器在每個(gè)關(guān)節(jié)中增加一個(gè)補(bǔ)償量，以達(dá)到減小誤差的目的。

(4)利用宏/微型機(jī)器人減小誤差。在一個(gè)大的機(jī)械臂末端安裝一個(gè)微型機(jī)器人，從而使整體的精度得到提高。

(5)選用質(zhì)量輕、剛度好的材料來(lái)制造機(jī)械臂的桿件。

[1] 熊有倫.機(jī)器人學(xué)[M].北京：北京工業(yè)大學(xué)出版社，1992.

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AnalysisofMotionErrorsofSixDOFLightMechanismArms

LIYa-qi，XIAOAi-ping*

(College of Technology，Beijing Forestry University，Beijing 100083，China)

Light mechanisms are widely used in various areas，with many advantages，involving some problems as well like low stiffness and easy flexible deformation.A motion error model has been established for mechanical arms，with errors produced during elastic deformation analyzed and the methods to reduce errors and improve end precision discussed.

light mechanical arm；error model；motion error；flexible error

TM301；TP242

A

2095-2953(2017)11-0015-05

2017-07-01

李亞奇(1991-)，男，河北石家莊人，在讀碩士研究生，研究方向?yàn)楝F(xiàn)代制造工藝及自動(dòng)化裝備，E-mail：1098085384@qq.com。

*通訊作者：肖愛(ài)平(1971-)，男，湖南株洲人，副教授，博士后，主要從事智能機(jī)器人的研究，E-mail：xxaapp@sina.com。

(責(zé)任編輯 張雅芳)